高校数学II 指数不等式の置換—二次不等式の解と正の範囲を重ねて元の文字へ戻す｜武蔵野個別指導塾

二次不等式の解を正の範囲と重ね、底が1より小さい場合も端点を保ち、区間を戻す指数不等式の置換です。

よくあるのは、高2が指数を文字で置き換えて二次不等式を解いた後、正の条件を重ねずに元の文字へ戻そうとする場面です。二次式の答えに負の部分があっても、指数関数の値はそこを通りません。数直線に両方の範囲を書けば、どの部分を残すか判断できます。さらに底が1より小さいときは、残した区間の左右が元の文字では逆になります。

解く前に見つけたい形

指数に同じ文字があり、一方の指数が他方の2倍なら、指数法則によって二次式にまとめられることがあります。例えばa>0でa≠1のとき、aの2x乗は(aˣ)²です。aˣをtと置けば、二次不等式を解く道具が使えます。ただし、tは任意の実数ではなく正の数です。

出方は主に3通りあります。二次式が負になる2つの境界の間を求める型、正になる境界の外側を求める型、係数に文字があり境界の位置で場合分けする型です。いずれも、まずtで解いた範囲とt>0の共通範囲を取ります。その後、指数関数の増減を使ってxの範囲を求めます。

必要なのは指数法則、因数分解、二次不等式、数直線の読み方です。学習指導要領に挙げられた指数関数の変化とグラフを使い、ここでは二次不等式とのつながりを考えます。対数を使うと表せる境界もありますが、以下では指数の値に戻しやすい境界を選びます。

正の範囲を重ねてから戻す

底aが正で1と異なるとき、指数関数y=aˣの定義域は実数全体、値域は正の実数全体です。したがってt=aˣと置いたら、必ずt>0です。逆に任意の正のtに対応する実数xがあり、その対応は1対1です。このため、共通範囲を取った後にxへ戻すとき、正のtの値を取り残しません。

二次不等式は一度、tを実数全体で動かして解きます。たとえば境界が負と正の2つなら、境界の間のうち負の部分と0は、t>0に合わないので除きます。0は指数関数の値にならないため、二次不等式が0を許しても置換の条件では許されません。図1のように、二次不等式の範囲と正の範囲を別々に描き、その重なりを読みます。

図1では二次不等式の範囲を -2≤t≤3 とした場合を示しています。共通範囲は0<t≤3です。左端の0に白丸を付けるのは、負の値と同様に0も取れないからです。二次不等式の境界3は元の不等式に等号があるので残ります。

底が1より大きければ、指数が大きいほど値も大きくなります。一方、0<a<1なら指数が大きいほど値は小さくなります。正の数を底の累乗で表して比較するとき、後者では大小関係を逆にします。等号を含むかどうかは、その境界に実際に到達できるかで決めます。向きが逆になることと、等号が消えることは別の話です。

例えば0<a<1でa²≤aˣ<a⁻¹なら、減少することから -1<x≤2 です。左側と右側を別々に比べてから共通範囲を取ると、端点を取り違えにくくなります。aˣ>0の条件は、x>0という意味ではありません。負のxでも指数関数の値は正です。

基本例題：負の境界を除く

次の不等式を解き、xの範囲を不等号で答えてください。

4のx乗 - 2ˣ - 6 ≤ 0

底2は正で1より大きく、4のx乗は(2ˣ)²です。t=2ˣと置けばt>0で、元の不等式は次のようになります。

t² - t - 6 ≤ 0
(t + 2)(t - 3) ≤ 0
-2 ≤ t ≤ 3

上に開く二次式なので、2つの根の間で0以下です。等号があるため根自体は二次不等式の解に入ります。しかし、置換の条件と重ねると次のようになります。

-2 ≤ t ≤ 3 かつ t > 0
0 < t ≤ 3

図2のように、負の区間を消し、正の部分を残します。3は2の整数乗ではありませんが、底2の対数を用いれば正確に戻せます。底2は正で1ではなく、真数3も正です。指数関数は増加するので、答えはx≤log₂ 3です。下側の0には対応する実数の境界がなく、xに下限はありません。

元の式にも戻してみます。境界x=log₂ 3では2ˣ=3、4のx乗=9なので、左辺は9 − 3 − 6=0です。例えばx=0なら左辺は1 − 1 − 6=-6で条件を満たし、x=2なら16 − 4 − 6=6で満たしません。これらの代入は境界と向きの確認です。解全体の網羅性は、二次不等式と単調性によって説明しています。

もし二次式の解をそのまま -2≤2ˣ≤3 と書いても、左の不等式は常に成り立ちます。負の数を底2の累乗として表そうとする必要はありません。正の範囲に直してから考えると、この点が見えます。

標準例題：減少する底と端点

次の不等式を解き、xの範囲を不等号で答えてください。

(1/9)のx乗 - 4(1/3)ˣ + 3 < 0

底1/3は正で1より小さく、(1/9)のx乗は((1/3)ˣ)²です。t=(1/3)ˣと置くとt>0です。二次不等式を解きます。

t² - 4t + 3 < 0
(t - 1)(t - 3) < 0
1 < t < 3

この区間は全体が正ですから、t>0との共通範囲も1<t<3です。ここで1=(1/3)⁰、3=(1/3)⁻¹です。底が1未満なので、指数が大きくなると値は小さくなります。2つの比較を分けると次の通りです。

1 < (1/3)ˣ から x < 0
(1/3)ˣ < 3 から x > -1

両方を満たす答えは -1<x<0 です。厳密な不等号なので、両端は含みません。実際、x=-1では元の左辺が9 − 12 + 3=0、x=0では1 − 4 + 3=0で、どちらも0未満ではありません。区間内のx=-1/2では(1/3)ˣ=√3となり、左辺は6 − 4√3です。6と4√3はともに正なので、6<4√3は平方して36<48と確かめられます。したがって6 − 4√3は負です。

区間の外も調べます。x=1ではt=1/3となり、左辺は1/9 − 4/3 + 3=16/9で正です。x=-2ではt=9となり、左辺は81 − 36 + 3=48で正です。これは上の区間の向きと一致します。代表点だけでは全体を証明できませんが、符号の取り違えを見つける助けになります。

発展例題：境界が動く場合

実数定数kに対し、次の不等式を解き、kによって場合分けしてxの範囲を答えてください。

9のx乗 - (k + 2)3ˣ + 2k ≤ 0

3は正で1より大きく、t=3ˣと置くとt>0です。9のx乗=t²に注意して因数分解します。

t² - (k + 2)t + 2k ≤ 0
(t - k)(t - 2) ≤ 0

2つの根はkと2です。上に開く二次式は根の間で0以下ですが、根の順序と正の条件を同時に考える必要があります。kが0以下か、0より大きく2以下か、2より大きいかに分けます。

k≤0なら、二次不等式の解はk≤t≤2です。t>0と重ねると0<t≤2です。底3の対数は真数2が正なので定義され、増加性からx≤log₃ 2となります。k=0でもt=0は取れず、同じ答えです。

0<k≤2なら共通範囲はk≤t≤2です。kは正なのでlog₃ kが定義されます。増加性からlog₃ k≤x≤log₃ 2です。k=2では両端が一致し、x=log₃ 2という1つの値を得ます。重解のときも0以下には等号の点が入ります。

k>2なら根の順序が逆になり、共通範囲は2≤t≤kです。よってlog₃ 2≤x≤log₃ kです。以上をまとめます。

k ≤ 0       : x ≤ log₃ 2
0 < k ≤ 2   : log₃ k ≤ x ≤ log₃ 2
k > 2       : log₃ 2 ≤ x ≤ log₃ k

境界を元の式で調べると、t=2では常に4 − 2(k + 2) + 2k=0です。k>0のときt=kでもk² − k(k + 2) + 2k=0です。k≤0でt=kを採用しないのは、等号が成り立っても指数関数の値にならないためです。例えばk=-1、x=0では元の左辺は1 − 1 − 2=-2で条件を満たします。k=4、x=0では1 − 6 + 8=3で満たさず、x=1では9 − 18 + 8=-1で満たします。各場合の代表点も区間と合います。

別の見方では、2つの根のうち小さい方から大きい方までをまず書き、正の半直線と重ねます。ただし、記号だけで大小を済ませると、負の根に対数を付ける誤りが起きがちです。kの符号を先に分ける方法なら、対数の真数条件も明示できます。

誤答から修正する

基本例題で -2≤t≤3 を得て、「-2≤x≤3」と答えるのは誤りです。tはxそのものではなく2ˣです。さらに、t=-2は指数関数の値として実現しません。図3のように、置換、共通範囲、逆向きの変換を別の段階として扱います。

誤答の原因は、二次不等式を解き終えた時点で文字の意味を忘れることです。修正には、答えの横に「t=2ˣ>0」と書き直します。次に0<t≤3とし、2ˣ≤3からx≤log₂ 3を得ます。例えば誤答の範囲外にあるx=-3でも、元の左辺は1/64 − 1/8 − 6=-391/64で0以下です。負のxを一律に外せないことが、元の問題で確かめられます。

もう1つの失敗は、標準例題で底が1/3なのに増加すると扱い、0<x<-1とすることです。この連立範囲は空ですが、x=-1/2は元の不等式を満たします。境界を底の累乗で書き、指数が増えたとき値が減ることをそれぞれの比較で確認すれば修正できます。端点の等号も、減少するから消えるのではなく、問題の不等号に従って決まります。

練習：範囲を重ねる5問

それぞれ不等式を解き、xの範囲を不等号で答えてください。解がない場合はその旨を答えてください。

1. 25のx乗 + 4・5ˣ − 5 < 0
2. 16のx乗 − 5・4ˣ + 4 ≥ 0
3. (1/16)のx乗 − 5(1/4)ˣ + 4 ≤ 0
4. 36のx乗 + 6ˣ + 1 ≤ 0
5. 実数定数pについて、49のx乗 − (p + 7)7ˣ + 7p < 0 をpで場合分けして解く。

練習の答えと道筋

1

5は正で1より大きいのでt=5ˣ>0と置きます。

t² + 4t - 5 < 0
(t + 5)(t - 1) < 0
-5 < t < 1
0 < t < 1

増加性と1=5⁰より、答えはx<0です。x=0では元の左辺は1 + 4 − 5=0で含みません。x=-1では1/25 + 4/5 − 5=-104/25で負、x=1では25 + 20 − 5=40で正です。元の不等式の向きに合います。

2

4は正で1より大きいのでt=4ˣ>0と置きます。

t² - 5t + 4 ≥ 0
(t - 1)(t - 4) ≥ 0
t ≤ 1 または t ≥ 4
0 < t ≤ 1 または t ≥ 4

1=4⁰、4=4¹より、答えはx≤0またはx≥1です。端点の元の左辺はそれぞれ1 − 5 + 4=0、16 − 20 + 4=0です。間のx=1/2では4 − 10 + 4=-2で条件を満たしません。外側のx=-1では1/16 − 5/4 + 4=45/16、x=2では256 − 80 + 4=180で、どちらも正です。

3

1/4は正で1より小さいのでt=(1/4)ˣ>0と置きます。

t² - 5t + 4 ≤ 0
(t - 1)(t - 4) ≤ 0
1 ≤ t ≤ 4

区間は正であり、1=(1/4)⁰、4=(1/4)⁻¹です。減少性により答えは -1≤x≤0 です。元の左辺はx=-1で16 − 20 + 4=0、x=0で1 − 5 + 4=0です。x=-1/2では4 − 10 + 4=-2です。外側のx=-2では256 − 80 + 4=180、x=1では1/16 − 5/4 + 4=45/16なので、区間と符号が一致します。

4

6は正で1より大きく、t=6ˣ>0です。元の左辺はt²+t+1となります。t>0では各項が正なので、この和は常に正です。したがって解なしです。例えばx=0では左辺は3で、0以下になりません。この代入は一例の確認であり、解がない理由は各項の正負です。

5

7は正で1より大きいのでt=7ˣ>0と置きます。

t² - (p + 7)t + 7p < 0
(t - p)(t - 7) < 0

p≤0なら根の間と正の範囲の共通部分は0<t<7です。よってx<1です。p=7なら左辺は(t − 7)²で負にならず、解なしです。0<p<7ならp<t<7、p>7なら7<t<pです。真数pは後の2つの場合に正なので対数が定義されます。答えは次の通りです。

p ≤ 0       : x < 1
0 < p < 7   : log₇ p < x < 1
p = 7       : 解なし
p > 7       : 1 < x < log₇ p

t=7では元の左辺は49 − 7(p + 7) + 7p=0です。p>0でt=pのときもp² − p(p + 7) + 7p=0ですから、厳密な不等号では両端を含みません。p=0のときx=0で1 − 7=-6、p=7のときx=0で1 − 14 + 49=36、p=49のときx=1で49 − 392 + 343=0です。各場合の符号や境界と矛盾しません。

手元に残す要点

t=aˣと置いたら、t>0を必ず記します。 二次不等式の解と正の範囲を数直線で重ねます。 底が1より大きければ順序を保ち、1より小さければ逆に戻します。 境界の等号と、元の式での値を確かめます。

どこで止まったかを言葉にする

答案が合わないときは、最終行だけでなく、置換後の文字が何を表すかを声に出して説明してみてください。二次不等式の範囲を描けるか、そこから0以下を除けるか、底の増減を使って端点を戻せるかは別々に確かめられます。個別指導では、例えば底を1より小さく変えたときに左右の端点がどう動くか、本人の数直線と式を見比べます。境界の値を元の式に代入し、等号が必要かまで説明できれば、置換した区間と元の文字の対応が確かになります。