高校数学II 三次方程式の実数解の個数—水平線と極値の高さを比べて数える｜武蔵野個別指導塾

三次関数の極大値と極小値に水平線を重ね、接する境界で重解を1個と数える手順を通して実数解の個数を数えます。

よくあるのは、三次方程式を因数分解したところ、同じ因数が2回現れ、重解を異なる2つの解として数えてしまう場面です。式の中に因数が何個あるかと、条件を満たす異なる実数が何個あるかは別の問いです。グラフと水平線を重ねて、接する高さを境に交点がどう変化するかを追いましょう。

何を数えるかを先に決める

三次関数 f(x) に対して方程式 f(x) = k の実数解を求める問題では、曲線 y = f(x) と水平線 y = k の共有点の x 座標を数えます。曲線上では1つの x に対する y は1つなので、異なる x 座標の個数と共有点の個数は一致します。解の具体的な値を求めなくても、増減と水平線の高さから個数を決められます。

問われ方には、与えられた k で個数を求める型、個数が指定されたときの k の範囲を求める型があります。いずれも等号を含む境界を後回しにしないことが大切です。特に水平線が極大点や極小点を通るとき、隣り合う2つの単調な部分で同じ点を共有します。両方に1回ずつ数えると重複します。

「実数解の個数」は、ここでは異なる実数の個数を意味します。例えば (x − 1)²(x + 2) = 0 の解は x = 1 と x = -2 の2個です。1は重解ですが、異なる数としては1個です。重複度を合わせれば3となることと区別しましょう。

高さと交点を結ぶ考え方

f が多項式ならすべての実数で連続かつ微分可能です。したがって導関数の符号から増減を調べられます。最高次係数が正の三次関数で、異なる2点 a < b において f′(x) = 0 となり、符号が順に正、負、正なら、a で極大、b で極小です。極大値を M = f(a)、極小値を m = f(b) とすると M > m です。

図1のように、水平線の高さを m と M で区切ります。k が両者の間にあれば、左の増加部分、中央の減少部分、右の増加部分にそれぞれ1個の交点があります。各部分では単調なので同じ部分に2個の交点はありません。また連続性と両端での値の変化により、それぞれの交点が存在します。三次の最高次係数が正なら、x が負の方向へ限りなく大きくなると f(x) は負の方向へ、正の方向では正の方向へ限りなく大きくなります。

図1では中間の高さに3交点があります。高さが M または m と一致すると、極値を取る点では2つの部分の交点が重なり、別の部分の交点と合わせて2個です。高さが M より上、または m より下なら1個です。最高次係数が負の場合も、実際の極大値と極小値を比較すれば同じ個数の分類になります。ただし増減の順序は逆になるので、符号を調べずに点の名前を決めてはいけません。

導関数に異なる2つの実数解がない場合もあります。常に増加する例や、導関数が1点で零になっても前後で正のままの例では、極大値と極小値の間という区間は作れません。そのときは増減を直接調べます。三次関数は左右の端で値が反対方向へ限りなく大きくなるため、連続かつ全体で狭義単調なら水平線と1回だけ交わります。

停留点が1つのとき

例えば r(x) = x³ + 6 とすると、r′(x) = 3x² です。x = 0 で導関数は零ですが、その左右では正なので、そこで増加から減少には変わりません。したがって極大値と極小値の2つの高さを作って場合分けすることはできません。実際、x < 0 と x > 0 の各区間では増加し、r(x) は x < 0 で 6 より小さく、x > 0 で 6 より大きいです。2区間をまたいでも値の順序が保たれるため、全体で狭義単調に増加します。

この場合 r(x) = k は、どの実数 k に対しても異なる実数解を1個持ちます。特に k = 6 では x³ = 0、つまり x = 0 です。3重の解ですが、異なる数としては1個です。導関数の零点の数だけを見て、極値の数や方程式の解の個数を決めないようにします。

基本例題：高さの境界を含めて数える

方程式 x³ − 3x = k の異なる実数解の個数を、実数 k の範囲ごとに求めてください。答えは k の不等式と個数で示します。

f(x) = x³ − 3x と置きます。多項式なので連続かつ微分可能です。導関数を因数分解します。

f′(x) = 3x² - 3
       = 3(x + 1)(x - 1)

x < -1 で f′(x) > 0、-1 < x < 1 で f′(x) < 0、1 < x で f′(x) > 0 です。よって x = -1 で極大、x = 1 で極小となります。高さを求めます。

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)
      = 2
f(1) = 1³ - 3(1)
     = -2

図2のように極大値は 2、極小値は -2 です。-2 < k < 2 なら3個、k > 2 または k < -2 なら1個です。境界では重なりを式でも見ます。

k = 2:  x³ - 3x - 2 = 0
         (x + 1)²(x - 2) = 0
         x = -1, 2
k = -2: x³ - 3x + 2 = 0
         (x - 1)²(x + 2) = 0
         x = 1, -2

図2の極値の位置と因数分解した解を照合すると、どちらの境界も異なる解は2個です。答えは、k < -2 または k > 2 で1個、k = -2 または k = 2 で2個、-2 < k < 2 で3個です。実際に f(-1) = 2、f(2) = 2、f(1) = -2、f(-2) = -2 です。境界の各解を元の条件に戻せます。

標準例題：係数を移して高さにする

方程式 x³ − 6x² + 9x + 4 = t が異なる実数解を3個持つような実数 t の範囲を求めてください。答えは不等式で示します。

左辺を g(x) とします。g は多項式なので連続かつ微分可能です。極値の位置は次のように求まります。

g′(x) = 3x² - 12x + 9
       = 3(x - 1)(x - 3)
g(1) = 1 - 6 + 9 + 4
     = 8
g(3) = 27 - 54 + 27 + 4
     = 4

導関数の符号は左から正、負、正です。x = 1 で極大値 8、x = 3 で極小値 4 となります。水平線の高さ t が両者の間にあるとき、3つの単調な部分のそれぞれに交点があります。

4 < t < 8

等号は含みません。t = 8 なら g(x) − 8 = (x − 1)²(x − 4)、t = 4 なら g(x) − 4 = x(x − 3)² です。各境界で異なる解は2個です。たとえば t = 8 で x = 1 と x = 4 を元の左辺に入れると、いずれも 8 になります。境界を除く理由を、重解が生じることと結びつけて記述できます。

発展例題：水平線の高さが文字の式の場合

方程式 x³ − 3x = u² − 3u の異なる実数解が3個となる実数 u の範囲を求めてください。答えは根号を使った不等式で示します。

左辺の関数は基本例題と同じで、極大値が 2、極小値が -2 です。右辺は x について定数なので、高さ k = u² − 3u の水平線とみなせます。3個の条件を先に立てます。

-2 < u² - 3u < 2

2つの不等式を別々に解いて、共通部分を取ります。

u² - 3u + 2 > 0
(u - 1)(u - 2) > 0
u < 1 または u > 2
u² - 3u - 2 < 0
(3 - √17)/2 < u < (3 + √17)/2

ここで √17 > 3、また √17 > 1 なので、左端は 1 より小さく、右端は 2 より大きいです。共通部分は次の2区間です。

(3 - √17)/2 < u < 1
または
2 < u < (3 + √17)/2

端の値で高さを確かめます。u = 1 または 2 では u² − 3u = -2 です。また u = (3 ± √17)/2 は u² − 3u − 2 = 0 を満たすので、高さは 2 です。どちらも接する境界であり、3個にならないため除きます。例えば u = 0 では高さ 0 で、元の方程式は x(x² − 3) = 0 となり、異なる実数解は3個です。一方、区間の間にある u = 3/2 では高さが -9/4 となり、極小値より下なので1個です。

重解を2回数えた答案を直す

基本例題の k = 2 で「(x + 1)²(x − 2) = 0 だから x = -1, -1, 2 の3個」とするのは誤りです。因数が2回現れることは x = -1 が2重の解であることを表しますが、数として異なる解が2個あるという意味ではありません。図3のように、接点の左右にある曲線の部分は同じ点を共有します。

図3では接点と別の交点をそれぞれ1回数えます。修正後は「x = -1 は重解であり、x = 2 と合わせて異なる実数解は2個」です。グラフだけで接しているように見えても、境界の高さを代入して因数分解できるなら、その式でも確認します。

もう1つの失敗は、極値を取る x 座標と極値そのものを比べることです。基本例題で -1 と 1 は横の位置、2 と -2 は縦の高さです。k は水平線の高さなので、比較相手は 2 と -2 です。増減表では位置の行と関数値の行を分けて書くと取り違えを防げます。

練習問題

各問で異なる実数解の個数を数え、範囲は不等式、解を求める場合は整数または根号で答えてください。

1. x³ − 12x = 0 の異なる実数解を求め、その個数を答えてください。
2. x³ − 12x = 16 の異なる実数解を求め、その個数を答えてください。
3. x³ − 12x = s が異なる実数解を3個持つ実数 s の範囲を求めてください。
4. x³ + 3x = v の異なる実数解の個数を、実数 v の値に応じて求めてください。
5. x³ − 3x + 5 = w の異なる実数解が2個となる実数 w を求めてください。

練習の答えと解き方

1

x³ - 12x = 0
x(x² - 12) = 0
x = 0, 2√3, -2√3

異なる実数解は3個です。0 を元の左辺に入れると 0 です。x = ±2√3 では x² = 12 なので x(x² − 12) = 0 となり、どちらも元の条件を満たします。

2

x³ - 12x - 16 = 0
(x + 2)²(x - 4) = 0
x = -2, 4

異なる実数解は2個です。x = -2 では -8 + 24 = 16、x = 4 では 64 − 48 = 16 です。-2 は重解ですが、1個として数えます。

3

h(x) = x³ − 12x は連続かつ微分可能です。

h′(x) = 3x² - 12
       = 3(x + 2)(x - 2)
h(-2) = -8 + 24
      = 16
h(2) = 8 - 24
     = -16

導関数の符号は左から正、負、正です。したがって極大値 16 と極小値 -16 の間が求める範囲です。

-16 < s < 16

s = 16 は問2のとおり2個です。s = -16 では h(x) + 16 = (x − 2)²(x + 4) となり、解は 2 と -4 の2個です。元の式に戻しても h(2) = h(-4) = -16 なので、両端を含めないことを確かめられます。

4

p(x) = x³ + 3x とします。多項式なので連続かつ微分可能です。

p′(x) = 3x² + 3
       > 0

p は全実数で狭義単調に増加し、両端で値がそれぞれ負と正の方向へ限りなく大きくなります。連続性によりどの実数 v に対しても交点が存在し、単調性により複数にはなりません。答えはすべての実数 v で1個です。v = 0 なら x = 0 を元の式に入れると両辺が 0 になり、この場合の個数とも一致します。

5

q(x) = x³ − 3x + 5 とします。連続かつ微分可能であり、

q′(x) = 3x² - 3
       = 3(x + 1)(x - 1)
q(-1) = -1 + 3 + 5
      = 7
q(1) = 1 - 3 + 5
     = 3

増減は正、負、正なので極大値は 7、極小値は 3 です。異なる解が2個となるのは水平線が極値を通るときです。

w = 3 または w = 7

w = 3 では q(x) − 3 = (x − 1)²(x + 2)、w = 7 では q(x) − 7 = (x + 1)²(x − 2) です。前者は x = 1, -2、後者は x = -1, 2 です。各値を q に代入するとそれぞれ 3、7 に戻ります。

手元に残す要点

• 解の個数は水平線との異なる交点の個数です。
• 導関数の符号で極大値と極小値を決めます。
• 高さが両極値の間なら3個、境界なら2個です。
• 重解は異なる実数として1個です。
• 極値がないときは増減を直接調べます。

途中式でつまずきを見分ける

個数が合わないときは、まず横の位置と縦の高さを別々に書けているかを見ます。例えば基本例題なら、x = -1 の横に f(-1) = 2 と書き、水平線の高さと比べる数を明示します。次に、増減の区間ごとの交点数を指で追い、共通の端点を二重に数えていないかを確認します。

個別指導で説明するなら、「k = 2 のときの x = -1 は左右のどちらにも現れるが、座標はいくつか」と問い、因数分解と図の両方で答えを照らすと原因を絞れます。極値を持たない問題では、導関数が常に正か、零になる点の前後で符号が変わるかを式に戻して調べます。高さの境界を明示すれば、重なった交点も数え落とさずに済みます。