高校数学II 微分による最大最小の利用—数量の条件から変域を決めて最適値を探す｜武蔵野個別指導塾

柵で囲む長方形と紙から作る箱を例に、正の長さと端点の条件から絞る最適値です。

よくあるのは、長方形の面積を最大にする計算で、導関数が0になる値を求めたものの、負の長さまで答えにしてしまう場面です。式の上で見つかった数が、もとの図形を作れる数とは限りません。文字を置く前に、何が正の長さで、どの端まで許されるかを整理すると、計算結果を場面へ戻して判断できます。

数量を1つに絞る前に読む条件

最大最小の利用では、まず変化する量と固定された量を区別します。たとえば、壁を利用して3辺に柵を置く長方形なら、壁に垂直な辺を2本使います。柵の合計から残りの1辺を表すとき、同じ長さを2回引くことが必要です。2本分を1本分として引くと、あとで微分を正しく行っても、別の図形の答えになります。

紙の四隅を切り取って箱を作る問題では、切り取る正方形の一辺が箱の高さです。底面の縦と横はそれぞれ切り口2個分だけ短くなります。高さだけでなく底面の2辺も正であることから、文字の範囲を決めます。切る長さを大きくしすぎると、式の積が正になっても、負の長さを掛け合わせている場合があります。

もう1つの型は、材料や設置場所によって長さに上限や下限がある場合です。上限ちょうどを使ってよいのか、未満なのかで端点の扱いが変わります。条件を書き出してから式を作ると、内側の停留点と端点のどちらが候補になるかを落ち着いて比べられます。

変域と最大値の関係

変数 x が取りうる値の集合を変域といいます。許されたすべての x に対して f(x) ≦ M が成り立ち、実際に f(x) = M となる x があるとき、M を最大値といいます。同様に、すべての許された x で f(x) ≧ m が成り立ち、実際にその値を取るなら、m が最小値です。近づけるだけで、そこに達しない値は最大値や最小値ではありません。

多項式の関数は実数の範囲で連続かつ微分可能です。閉区間 a ≦ x ≦ b で最大値や最小値を調べる場合は、区間の内部で f′(x) = 0 となる点と、両端 a、b を候補にして値を比べます。内部で増加から減少に変わればその点は極大ですが、区間全体の最大値を求めるには端点との比較も必要です。微分可能な関数が内部で極値を取るなら、その点の導関数は0です。

端点を含まない変域では、閉区間の端の値をそのまま答えにできません。たとえば図1のように、長方形の2辺が x と 10 − x で、両方が正なら 0 < x < 10 です。0 と 10 に近づくことはできますが、長方形の辺が0になるので、問題の長方形としては採用しません。端点に近づくと面積 x(10 − x) は0に近づきますが、面積0を実際に取らないため、この変域に最小値はありません。一方、x = 5 は範囲内なので、最大値は取れます。

図1の白い丸は、端の数を含まないことを示しています。図形の条件と区間の記号を対応させると、「極限として近づく値」と「実際に取る最小値」を区別できます。式が最大になる位置が範囲内かどうかも、微分を始める前に書いた変域と照合します。

基本例題：壁と柵で囲む面積

壁を1辺として利用し、残りの3辺に合計24 mの柵を使って長方形を作ります。壁に垂直な辺の長さを x m とするとき、面積が最大となる辺の長さと最大面積を求めてください。長さは m、面積は m² で、整数または分数で答えます。壁の長さは十分にあり、柵は余らせません。

図2のように、壁に垂直な2辺をそれぞれ x m、壁に平行な柵の辺を y m とします。柵を使う辺は3本なので、条件は 2x + y = 24 です。x と y はともに正ですから、変域は次のようになります。

y = 24 - 2x
x > 0
24 - 2x > 0
0 < x < 12

図2では壁そのものには柵を置かず、反対側の辺と垂直な2辺に柵を置いています。面積を S m² として、y を消去してから微分します。

S = xy
S = x(24 - 2x)
S = 24x - 2x²
S′ = 24 - 4x
S′ = 0 のとき x = 6

0 < x < 6 では S′ > 0、6 < x < 12 では S′ < 0 です。S は前半で増加し、後半で減少するので、変域に含まれる x = 6 で最大になります。両端の x = 0、12 では長方形が作れませんが、増減を変域全体で調べたため、端点の値を候補として採用する必要はありません。

y = 24 - 2・6
y = 12
S = 6・12
S = 72

したがって、壁に垂直な辺は6 m、平行な辺は12 m、最大面積は72 m²です。もとの場面へ戻すと、柵の長さは 6 + 6 + 12 = 24 m で、両方の辺も正です。面積も 6・12 = 72 m² となり、求めた値と一致します。

この問題では、平方完成して S = -2(x − 6)² + 72 とする方法でも最大値を求められます。ただし、平方の部分が0になる x = 6 が実際に許されるかの確認は、微分を使うときと同じです。変域を見ずに頂点だけを答えにする手順では、次の条件付きの問題を正しく扱えません。

標準例題：上限があるときの端点

壁を1辺として、残り3辺に合計30 mの柵を使い、長方形の区画を作ります。壁に垂直な辺は6 m以下、各辺の長さは正とします。壁は十分に長く、柵は余らせません。面積の最大値と、そのときの辺の長さを、m² と m で整数または分数で求めてください。

壁に垂直な辺を x m、平行な辺を y m とします。2x + y = 30 であり、x は正、y も正です。加えて6 m以下という制限があるので、変域は次のとおりです。

y = 30 - 2x
x > 0
30 - 2x > 0
x ≦ 6
0 < x ≦ 6

面積を A m² とすると、微分とその符号は次のようになります。

A = xy
A = x(30 - 2x)
A = 30x - 2x²
A′ = 30 - 4x
A′ = 0 のとき x = 15/2

15/2 は 6 より大きく、変域の外です。しかも 0 < x ≦ 6 では 30 − 4x ≧ 6 > 0 なので、面積は許された範囲で増加し続けます。右端の6は「以下」という条件に含まれるため、x = 6 で最大です。

y = 30 - 2・6
y = 18
A = 6・18
A = 108

最大面積は108 m²、壁に垂直な辺は6 m、平行な辺は18 mです。柵に戻すと 6 + 6 + 18 = 30 m で、上限も満たしています。導関数が0になる点が範囲外でも、端点で最大を取ることがあるとわかります。

もし問題の制限が「6 m未満」なら、変域は 0 < x < 6 に変わります。面積は108 m²にいくらでも近づきますが、108 m²は取れません。どの許された x を選んでも、x と6の間にもう少し大きい許された値があり、面積も大きくなるので、最大値は存在しません。「以下」と「未満」は、答えが存在するかどうかを左右する条件です。

発展例題：紙から作る箱の容積

縦12 cm、横18 cmの長方形の紙の四隅から、同じ大きさの正方形を切り取ります。残りを折り上げてふたのない箱を作るとき、容積を最大にする切り取る正方形の一辺と最大容積を、根号を用いた正確な値で求めてください。紙の厚さは考えず、切り取る長さと底面の2辺は正とします。

切り取る正方形の一辺を x cm と置きます。箱の高さは x cm、底面は (18 − 2x) cm と (12 − 2x) cm です。四隅を切るので、どちらの方向も両端で x ずつ短くなります。正の長さという条件を別々に書きます。

x > 0
18 - 2x > 0
12 - 2x > 0
x < 9
x < 6
0 < x < 6

容積を V cm³ とし、積を展開してから多項式を微分します。

V = x(18 - 2x)(12 - 2x)
V = x(216 - 60x + 4x²)
V = 4x³ - 60x² + 216x
V′ = 12x² - 120x + 216
V′ = 12(x² - 10x + 18)
V′ = 12((x - 5)² - 7)
V′ = 0 のとき x = 5 - √7, 5 + √7

√7 は2より大きく3より小さいので、5 − √7 は2と3の間にあり、0 < x < 6 を満たします。5 + √7 は7より大きく、6より外です。実際、後者では底面の短い辺 12 − 2x が負になるため、箱を作れません。

0 < x < 5 − √7 では V′ > 0、5 − √7 < x < 6 では V′ < 0 です。容積は変域内で増加から減少へ変わるため、x = 5 − √7 で最大です。最大値の計算は、√7 を r と置いて整理すると追いやすくなります。

r = √7
r² = 7
x = 5 - r
18 - 2x = 8 + 2r
12 - 2x = 2 + 2r
V = (5 - r)(8 + 2r)(2 + 2r)
V = (5 - r)(44 + 20r)
V = 80 + 56r

切り取る一辺は (5 − √7) cm、最大容積は (80 + 56√7) cm³です。もとの紙へ戻すと、横方向は (8 + 2√7) + 2(5 − √7) = 18 cm、縦方向は (2 + 2√7) + 2(5 − √7) = 12 cm です。底面の辺と高さが正で、その積が求めた容積になることも確かめられます。

式 V は x > 9 でも2つの負の因数を掛けるため正になることがあります。しかし、負の底辺を持つ箱は作れません。式の値の符号だけでは実現可能性を判定できず、各長さの条件が必要です。また、x = 0 や x = 6 に近づくと容積は0に近づきますが、どちらも箱を作れない端なので、容積の最小値はありません。

箱の増減をどこまで調べるか

導関数の符号は、2つの解の位置と変域を並べて考えます。0 < x < 5 − √7 では、x − 5 は -√7 より小さいので、その平方は7より大きく、V′ は正です。5 − √7 < x < 6 では、x − 5 は -√7 と1の間にあります。この区間でその平方は7より小さく、V′ は負です。実際の変域の中で符号がどう変わるかを記すことが、最大値を選ぶ根拠です。

候補が1つしか残らないことと、その候補が最大であることは同じ意味ではありません。もし関数が範囲内で減少してから増加すれば、内部の候補は最小を与えます。符号の順序を調べれば、この違いが見えます。長さの条件を満たした候補を探す段階と、目的の数量の大小を比べる段階を分けると、考えが整理できます。

また、この紙では短い辺が12 cmなので x < 6 が先に効きます。もし長い辺だけを見て x < 9 とすると、6以上の幅が変域に紛れ込みます。実際に x = 7 を代入すると、18 − 2x = 4 ですが、12 − 2x = -2 です。片方の辺が正であっても、もう片方が負なら底面は作れません。複数の不等式は、それぞれを解いたあと共通部分を取ります。

誤答を条件に戻して直す

発展例題で V′ = 0 を解き、2つの解のうち大きい 5 + √7 を「切り取る一辺」と答えたとします。導関数を零にする x の値ではあっても、箱の底面の辺を正に保つ条件から外れています。図3のように、短い辺12 cmから両端の切り取りを引くと、残りの長さが負になります。

図3の数直線では、5 + √7 が切り取り幅として6 cmを超えることを示しています。上下からその幅を取ろうとすると重なり、底面が残りません。一方、5 − √7 は0と6の間にあり、12 − 2x も 18 − 2x も正です。導関数の解を出した後は、変域と各辺に戻してふるい分けます。

別の誤りは、正しい候補 5 − √7 が残った時点で、符号の確認を省いて最大と断定することです。導関数が0でも、増加から減少への変化がなければ最大とは限りません。また、閉じた範囲で内側に極大があっても、端点の値がそれを上回る場合があります。候補の採用と大小の判定は別の作業です。

単位の確認も最後に行います。切り取る幅は cm、底面積は cm²、容積は cm³ です。式の値を求めたあと、何の量を表す式だったか問題文へ戻ると、辺の長さと容積を取り違えずに済みます。

端点を比べるための見取り図

端点が両方とも含まれる設定なら、その値を具体的に代入して候補を比較します。たとえば、ある面積が B = 16x − x²、許される範囲が 1 ≦ x ≦ 6 なら、B′ = 16 − 2x はこの範囲で正です。B は左から右へ増えるので、右端で最大、左端で最小です。B(6) = 60、B(1) = 15 となり、両端とも実際に取れる値です。

この例で B′ = 0 となる x = 8 は、区間の外にあります。式全体の頂点が見えても、制限された範囲ではそこまで移動できません。反対に、停留点が区間の内部にあり、増加から減少に変わる場合でも、別の山や端点を含む関数なら、候補の値を比べる必要があります。多項式は指定された閉区間で連続なので、最大値と最小値は実際に存在し、内部の停留点と端点から候補を調べられます。

開いた端を持つ区間では、この閉区間の手順をそのまま使わず、端へ近づくときの値と、途中で実際に達する値を区別します。端の値がほかの点でも取れる場合には、それが最大値になることもあります。含まれない端にあるという事実だけから、最大値がないと決めつけることも避けます。

練習：条件から範囲を作る5問

各問題の設定は独立しています。指定の単位を付け、整数または分数で答えてください。

1. 壁を1辺に使い、残り3辺を合計28 mの柵で囲みます。壁に垂直な2辺は等しく正で、平行な辺も正、柵は余らせません。壁は十分に長いものとして、最大面積とそのときの各辺を求めてください。
2. 周の長さが36 cmの長方形を作ります。両辺は正で、短い辺を x cm としてもよいものとします。面積の最大値と各辺を求めてください。
3. 壁を1辺に使い、残り3辺を合計20 mの柵で囲みます。壁に垂直な辺は正で4 m以下、平行な辺も正、柵は余らせません。壁は十分に長いとして、最大面積と各辺を求めてください。
4. 縦9 cm、横9 cmの正方形の紙の四隅から一辺 x cmの正方形を切り取り、ふたのない箱を作ります。高さと底面の辺が正となるようにします。紙の厚さを無視して、最大容積と切り取る一辺を求めてください。
5. 周の長さが40 cmの長方形で、一方の辺を x cmとします。両辺は正で、さらに 2 < x < 5 とします。面積の最大値が存在するかを答え、存在しなければその理由と、面積が近づく上側の値を示してください。

練習の答えと解き方

1. 柵の2本分を引く

壁に平行な辺を y m、面積を S m² と置きます。各辺が正であることから変域を決めます。

2x + y = 28
y = 28 - 2x
0 < x < 14
S = x(28 - 2x)
S = 28x - 2x²
S′ = 28 - 4x
S′ = 0 のとき x = 7

7の前で S′ は正、後で負なので、x = 7 で最大です。

y = 28 - 2・7
y = 14
S = 7・14
S = 98

最大面積は98 m²、垂直な辺は各7 m、平行な辺は14 mです。7 + 7 + 14 = 28 m で、柵を使い切り、辺は正です。

2. 周と面積は別の式

もう一方の辺を y cm、面積を S cm² とします。短い辺を x としたので、x ≦ y も条件です。

2x + 2y = 36
y = 18 - x
0 < x ≦ 9
S = x(18 - x)
S = 18x - x²
S′ = 18 - 2x

0 < x < 9 で S′ > 0 です。端の x = 9 は正方形を含む条件で許されるため、ここで最大になります。

y = 18 - 9
y = 9
S = 9・9
S = 81

最大面積は81 cm²、各辺は9 cmです。周は 2・9 + 2・9 = 36 cm に戻り、短い辺という条件も等号で満たします。

3. 変域内で増え続ける場合

壁に垂直な辺を x m、平行な辺を y m、面積を S m² とします。

2x + y = 20
y = 20 - 2x
0 < x ≦ 4
S = x(20 - 2x)
S = 20x - 2x²
S′ = 20 - 4x

変域では S′ ≧ 4 > 0 です。したがって、含まれる端点 x = 4 で最大となります。

y = 20 - 2・4
y = 12
S = 4・12
S = 48

最大面積は48 m²、垂直な辺は各4 m、平行な辺は12 mです。柵の合計 4 + 4 + 12 = 20 m と上限を満たします。

4. 高さと底面の積

箱の底面は一辺 (9 − 2x) cm の正方形です。高さと底面の長さを正とする範囲で、容積 V cm³ を調べます。

x > 0
9 - 2x > 0
0 < x < 9/2
V = x(9 - 2x)²
V = 81x - 36x² + 4x³
V′ = 81 - 72x + 12x²
V′ = 3(2x - 3)(2x - 9)
V′ = 0 のとき x = 3/2, 9/2

9/2 は変域に含まれず、底面の辺が0になります。3/2 の前では V′ > 0、後では V′ < 0 なので、x = 3/2 で最大です。

9 - 2・(3/2) = 6
V = (3/2)・6・6
V = 54

切り取る一辺は 3/2 cm、最大容積は54 cm³です。底面の6 cmに両端の切り取りを加えると 6 + 2・(3/2) = 9 cm で、元の紙に戻ります。

5. 近づく値を最大値にしない

もう一方の辺を y cm、面積を S cm² とします。指定範囲では両辺が正です。

2x + 2y = 40
y = 20 - x
2 < x < 5
S = x(20 - x)
S = 20x - x²
S′ = 20 - 2x

2 < x < 5 では S′ > 0 です。どの x に対しても、その x と5の間に別の許された値を取れば面積は増えるため、最大値はありません。

5(20 - 5) = 75

x を5に近づけると面積は75 cm²に近づきますが、x = 5 は条件に含まれません。仮に5を代入すると辺は5 cmと15 cmで周は40 cmですが、「5未満」を破ります。この確かめにより、75 cm²を最大値と呼べないことがはっきりします。

解くときの要点

• 文字を置いたら、固定された数量の式と各長さの条件を書く。
• 変域の端を含むかを、問題文の「以下」「未満」と図形の成立条件で決める。
• 導関数の符号と端点を調べ、候補を変域に戻して最大・最小を判定する。
• 得た辺や容積を元の設定に代入し、単位と材料の合計を確かめる。

途中式からつまずきを見分ける

立式の段階で止まるときは、図に同じ長さの辺をそれぞれ書き、どの辺に材料を使うかを指でたどってみてください。3辺の柵であれば x + x + y です。周全体を使う問題では、残りの平行な辺も数える必要があります。材料を使う辺の本数を説明できるかが、式の点検になります。

計算は合うのに答えがずれるときは、導関数の解を見つける前に変域を書けているかを確かめます。たとえば箱では x > 0 と 12 − 2x > 0 を別々に説明し、後者の不等号から x < 6 を導けるかを見ます。端点が含まれない理由を長さ0の図形と結びつけると、最小値が存在しない場合も判断しやすくなります。

個別指導で途中式を見てもらう場合は、答えだけでなく、文字の意味、変域、導関数の符号、元の数量に戻した検算を並べて示してください。どこから条件が消えたのかを言葉で追うと、修正すべき行が絞れます。最大値を選ぶ最後の根拠は、計算された数と実現できる図形との一致です。