高校数学II 区間が動く最大最小—極値の位置と端点の大小で場合を分ける｜武蔵野個別指導塾

頂点が動く閉区間に入る境界と、両端の高さが逆転する境界を分けて、最大値・最小値とその位置を求めます。

よくあるのは、高校生が極値を取る点を見つけた後、その点が区間外にある場合にも最大値や最小値の候補に残してしまう場面です。関数の形が同じでも、調べる区間が移動すれば、そこに含まれる点は変わります。まず数直線に区間を置き、端点と極値を取る点の位置を比べましょう。その上で、必要な候補の値を比較します。

動く区間で何を選ぶか

問題には、関数を固定し、区間の片端や両端を文字で表す型があります。例えば区間が a ≦ x ≦ a + 2 なら、a が変わっても幅は 2 です。一方、0 ≦ x ≦ a で a ≧ 0 と指定されれば、左端は固定され、右端だけが動きます。文字の範囲を先に読むと、左端が右端を越えるような区間を誤って考えずに済みます。

求めるものも確認します。最大値は関数の値、最大値を取る x はその値を実現する位置です。両端で同じ最大値を取る境界では、位置が2つあることもあります。値の式が境界で一致する場合でも、どちらの条件に等号を置いたかを明示すれば答えは重複なく読めます。

手順は、導関数の符号で増減を調べ、極値を取る点が区間に入る条件を立て、端点を含めて値を比較することです。極値を取る点が入るかどうかだけでは、反対側の最大値まで決まらないことがあります。端点どうしの大小が入れ替わる境界も探します。

区間の中にある候補

多項式は連続で微分可能です。閉区間では最大値と最小値が存在し、内部で最大または最小になる点では導関数が 0 です。したがって、両端と、区間の内部にある導関数の零点を候補にできます。端点と零点が一致するときも端点として調べれば足ります。零点であっても区間外なら、その値は今回の候補に入りません。

図1のように固定された点 c に対して区間が左、途中、右のどこにあるかを考えます。途中の状態では左端 a ≦ c かつ c ≦ a + 2 です。これを解けば c − 2 ≦ a ≦ c です。等号は c が端点に重なる場合であり、閉区間なので点 c を含みます。

図1で示す区間は閉区間なので、左端 a と右端 a + 2 も含みます。数直線では、含まれる両端を塗りつぶした丸で示します。左と右の状態では c を含まないため、その値を候補に加えることはできません。途中の状態であっても、最大と最小のどちらに関係するかは増減を見て決めます。

たとえば上に開く放物線なら、頂点は全体で最小の位置です。区間に頂点があれば最小値は頂点の値、なければ頂点に近い端点の値になります。最大値は頂点から遠い端点で取ります。左右の距離が等しければ両端の値が等しいので、位置は2つです。この距離による見方は、平方の形と非負性から説明できます。

基本例題：頂点を区間に入れる

関数 f(x) = (x − 1)² + 2 の区間 a ≦ x ≦ a + 2 における最小値を、実数 a の範囲ごとに式で求めてください。また、それぞれ最小値を取る x を示してください。

f は多項式なので連続かつ微分可能です。微分すると次のようになります。

f(x) = x² - 2x + 3
f′(x) = 2x - 2
f′(x) = 2(x - 1)

x < 1 で f′(x) < 0、x > 1 で f′(x) > 0 です。したがって x = 1 まで減少し、その後増加します。図2のように区間の右端と左端がそれぞれ 1 に届く境界を考えます。

図2で区間が左側にあるとき、右端が頂点より左です。この条件と最小値は次の通りです。

a + 2 < 1
a < -1
最小値 = f(a + 2)
       = (a + 1)² + 2

減少する区間なので、最小値を取る位置は右端 x = a + 2 です。次に頂点を含む条件を両方の端から立てます。

a ≦ 1 ≦ a + 2
-1 ≦ a ≦ 1
最小値 = f(1)
       = 2

このとき最小値を取る位置は x = 1 です。残る場合は左端が頂点より右にあります。

1 < a
最小値 = f(a)
       = (a - 1)² + 2

増加する区間なので位置は x = a です。a = -1 では右端が 1、a = 1 では左端が 1 になります。どちらも閉区間に頂点が含まれ、隣の式に代入しても値は 2 です。境界で式が一致することと、等号をどちらに配置するかは別の確認です。

ここでは最小値を尋ねたので、頂点を含む場合には端点の値との計算を省けます。平方が 0 以上で、頂点の値 2 より小さくならないからです。逆に頂点が区間外なら、全体での最小値 2 はこの区間では実現できません。

標準例題：端点の大小が逆転する場所

関数 g(x) = (x − 2)² − 1 の区間 b ≦ x ≦ b + 4 における最大値と、それを取る x を、実数 b の範囲ごとに求めてください。値は式で答えてください。

g は連続かつ微分可能で、g′(x) = 2(x − 2) です。x = 2 まで減少し、そこから増加するので、区間の最大値は端点のいずれかで取ります。頂点を含まない区間でもこの結論は成り立ちます。両端の値の差を計算します。

g(b) = (b - 2)² - 1
     = b² - 4b + 3
g(b + 4) = (b + 2)² - 1
         = b² + 4b + 3
g(b + 4) - g(b) = 8b

b < 0 なら差が負なので左端が大きく、最大値は b² − 4b + 3、位置は x = b です。b > 0 なら右端が大きく、最大値は b² + 4b + 3、位置は x = b + 4 です。b = 0 なら差が 0 で、両端の値は 3 です。このとき最大値を取る位置は x = 0 と x = 4 の2つです。

b = 0 では頂点 2 から両端までの距離がともに 2 です。端点の値が等しいからといって、区間のすべての点で同じ値になるわけではありません。例えば中央では g(2) = -1 です。値と位置を元の区間に戻すと、両端が実際に含まれることも確認できます。

この例では頂点が区間に入る境界は b = -2 と b = 2 ですが、最大値の式が切り替わる境界は b = 0 です。目的が最大か最小かで必要な境界が違います。頂点の出入りだけで場合分けを終えると、両端の優劣の逆転を見落とします。

発展例題：三次関数の端点を比較する

h(x) = x³ − 3x とし、0 ≦ x ≦ t、t ≧ 0 での最大値と、その値を取る x を求めてください。最大値は t の式または整数で示してください。

多項式 h は連続かつ微分可能です。導関数とその符号を調べます。

h′(x) = 3x² - 3
      = 3(x - 1)(x + 1)

調べる範囲は x ≧ 0 なので、0 ≦ x < 1 で減少し、x > 1 で増加します。x = 1 は極小の位置で、最大の候補ではありません。区間が 1 を越えた場合も、減少部分の最大は左端、増加部分の最大は右端です。よって h(0) と h(t) を比べれば十分です。

h(0) = 0
h(t) = t³ - 3t
     = t(t² - 3)

t ≧ 0 なので、0 < t < √3 では h(t) < 0、t > √3 では h(t) > 0 です。t = √3 では h(t) = 0 です。したがって 0 ≦ t < √3 の最大値は 0 で、位置は x = 0 です。ただし t = 0 では区間は点 0 のみです。t = √3 の最大値も 0 で、位置は x = 0 と x = √3 です。t > √3 の最大値は t³ − 3t、位置は x = t です。

境界を戻してみます。√3 は正なので右端に使え、h(√3) = √3・3 − 3√3 = 0 です。途中の x = 1 では h(1) = -2 なので、両端が等しいときも中央が最大とは限りません。t = 1 は極小点が入る境界ですが、最大値の切替点ではないことにも注意します。

区間外の頂点を答えにしない

基本例題で a = 2 とします。区間は 2 ≦ x ≦ 4 なのに、放物線の頂点が x = 1 だから最小値は 2 と答えるのが誤りです。図3のように、頂点は区間の左にあり、選べる点ではありません。

図3の区間は増加部分にあるため、左端 x = 2 が最小です。元の関数に代入すると f(2) = (2 − 1)² + 2 = 3 です。右端では f(4) = 11 となり、確かに左端の方が小さいと確かめられます。

もう一つの誤りは、頂点が区間に入ったら最大値も頂点の値とすることです。上に開く放物線では頂点は最小の候補であり、最大は両端を比較します。候補の点が存在すること、その点が最大か最小に関係すること、候補間でどちらが大きいかを別々に確認しましょう。

練習問題

各問で指定された値と位置を求め、値は整数または文字の式で答えてください。文字は実数とします。

1. p(x) = (x + 2)² + 1 の区間 c ≦ x ≦ c + 1 における最小値とその位置を、c の範囲ごとに求めてください。
2. q(x) = (x − 3)² の区間 d ≦ x ≦ d + 2 における最大値とその位置を、d の範囲ごとに求めてください。
3. r(x) = -(x + 1)² + 4 の区間 e ≦ x ≦ e + 2 における最大値とその位置を、e の範囲ごとに求めてください。
4. s(x) = x³ − 12x の区間 0 ≦ x ≦ u、u ≧ 0 における最大値とその位置を、u の範囲ごとに求めてください。境界は根号で表してください。
5. v(x) = (x − 4)² の区間 k ≦ x ≦ k + 6 における最小値が 1 となる実数 k をすべて求めてください。

練習の答えと解き方

1

頂点は x = -2 です。p′(x) = 2(x + 2) なので、その左で減少、右で増加します。頂点が区間に入る条件は次の通りです。

c ≦ -2 ≦ c + 1
-3 ≦ c ≦ -2

c < -3 では右端で最小になり、最小値は (c + 3)² + 1、位置は x = c + 1 です。-3 ≦ c ≦ -2 では最小値 1、位置 x = -2 です。c > -2 では左端で最小になり、最小値は (c + 2)² + 1、位置は x = c です。境界 c = -3、-2 では頂点が端点となり、いずれも値は 1 です。

2

q′(x) = 2(x − 3) であり、頂点は最小の位置です。最大は両端を比較します。

q(d + 2) - q(d) = (d - 1)² - (d - 3)²
                    = 4d - 8
                    = 4(d - 2)

d < 2 では最大値 (d − 3)²、位置 x = d です。d > 2 では最大値 (d − 1)²、位置 x = d + 2 です。d = 2 では最大値 1、位置は x = 2 と x = 4 です。両端を元の区間に戻すと、どちらも閉区間に含まれます。

3

r′(x) = -2(x + 1) なので x = -1 まで増加し、その後減少します。頂点を含む条件は次の通りです。

e ≦ -1 ≦ e + 2
-3 ≦ e ≦ -1

e < -3 では右端で最大となり、最大値は -(e + 3)² + 4、位置は x = e + 2 です。-3 ≦ e ≦ -1 では最大値 4、位置は x = -1 です。e > -1 では最大値 -(e + 1)² + 4、位置は x = e です。両境界で端点が頂点に一致し、値は 4 です。

4

s は多項式で連続かつ微分可能です。導関数を因数分解します。

s′(x) = 3x² - 12
      = 3(x - 2)(x + 2)

x ≧ 0 では 2 まで減少し、その後増加します。最大は両端にあり、差は次のようになります。

s(u) - s(0) = u³ - 12u
              = u(u² - 12)

0 ≦ u < 2√3 では最大値 0、位置 x = 0 です。u = 2√3 では最大値 0、位置は x = 0 と x = 2√3 です。u > 2√3 では最大値 u³ − 12u、位置 x = u です。境界では (2√3)² = 12 なので右端の値も 0 です。

5

v の頂点 4 が区間内にあれば最小値は 0 なので条件を満たしません。区間が頂点の左にある場合は右端が最小です。

(k + 6 - 4)² = 1
(k + 2)² = 1
k = -1 または k = -3

左にある条件 k + 6 < 4、すなわち k < -2 に合うのは k = -3 です。この区間は -3 ≦ x ≦ 3 で、最小値は v(3) = 1 です。

区間が頂点の右にある場合は左端が最小です。

(k - 4)² = 1
k = 3 または k = 5

右にある条件 k > 4 に合うのは k = 5 です。この区間は 5 ≦ x ≦ 11 で、最小値は v(5) = 1 です。よって答えは k = -3、5 です。方程式の解を位置条件へ戻すことが必要です。

持ち帰る要点

• 端点と導関数の零点を候補にし、区間外の点は除きます。
• 極値の位置が入る境界と、端点の値が等しくなる境界を区別します。
• 等号を割り当て、境界で値と位置を確かめます。
• 値と、それを取る x の両方を答えます。

説明が止まったときの確認

候補が多くて手が止まるなら、まず数直線に端点と零点を書き、文字を具体的に1つ決めて位置を確認します。その後、点が区間内にある条件を不等式に戻します。例えば基本例題なら a ≦ 1 と 1 ≦ a + 2 の両方を言葉と式で対応させます。

個別指導で考え方を確かめるときは、最大値を取る点を指して、その点が区間に入る理由と、他の候補以上になる理由を順に説明してみてください。端点の差を使う場合は、どちらからどちらを引いたかも口に出すと符号の取り違えに気づけます。動く区間の答えは、位置の条件と値の比較をつなぐことで定まります。