高校数学II 合成を使う方程式と不等式—位相を移した区間から元の角の解を戻す｜武蔵野個別指導塾

u = θ + αと置いたら区間の両端も移し、解をθへ戻します。振幅に届かない場合と、指定区間に候補がない場合を区別できます。

よくあるのは、高2が合成後の角の範囲を元のθと同じにしてしまう場面です。式が短くなっても、探す場所が変わらなければ、正しい角を見落としたり、範囲外の角を拾ったりします。左辺の形を整える作業と、角が動く区間を移す作業を並べて書くと、その違いが見えるようになります。

どの条件から調べるか

例えば、正弦と余弦の一次結合が定数に等しい問題では、合成して1つの正弦に直し、その高さを取る角を探します。まず合成後の係数と右辺を比べます。正弦の値は-1以上1以下なので、指定された高さがそこから外れる場合は、角を探す前に解がないと判断できます。

不等式では、高さが境界より上か下かという範囲を考えます。境界の角は等号を含むかどうかで扱いが変わります。さらに、元のθの区間が開いている端では、境界の式を満たしてもその端を答えに入れません。

もう一つの型は、全周より短い区間で探す問題です。一般に成り立つ候補を覚えていても、実際に動く区間に入るかは別に調べなければなりません。以下では式の合成は係数を展開して確認し、その後の範囲と境界の判断に焦点を当てます。

角の区間と高さを対応させる

実数a、bについて、a sin θ + b cos θをR sin(θ + α)と書けるとします。Rは0以上とし、Rが正なら加法定理から、R cos α = a、R sin α = bを同時に満たすαを選びます。両方の係数を確認すれば、位相の象限も取り違えません。

R = 0ならa = b = 0であり、左辺はどのθでも0です。この場合は位相を決める必要がありません。例えば左辺が0で右辺が正の定数なら等式は成立せず、不等式0 > 正の定数も成立しません。右辺が0なら等式は指定区間の全体で成立し、0 > 0はどの角でも成立しません。

R > 0のとき、u = θ + αと置きます。例えば0 ≤ θ < πならα ≤ u < π + αです。両端に同じ数を加えるため、大小の向きと端点の開閉は変わりません。uについて解いた後にθ = u − αと戻します。図1のように区間全体を移し、端点も一緒に運びます。

図1の丸印は、左端が含まれ、右端が含まれないことを示します。uの区間を0 ≤ u < πと書き直してしまうと、元の区間とは異なる角を調べることになります。図の移動は式の中の角についての操作であり、解そのものがまだ決まったわけではありません。

R sin u = cなら、R > 0なのでsin u = c/Rです。|c| > Rなら解はありません。|c| = Rなら正弦が1または-1となる位置を探し、|c| < Rなら対応する位置を区間内で探します。全周に候補があっても、指定区間に候補がなければ答えは解なしです。

R sin u > cの場合もRで割れますが、正の数で割るので不等号の向きは変わりません。c/Rが1以上なら解はなく、-1より小さければ指定区間全体が解です。c/R = -1ではsin u = -1となる角を除きます。等号の有無によってこの境界の結論も変わるため、機械的に全体と決めないことが必要です。

基本例題：移した区間から2つの角を戻す

0 ≤ θ < 2πで、sin θ + √3 cos θ = 1を解きなさい。答えはπを用いて列挙します。

左辺は次のように書けます。展開するとsin θの係数は2 cos(π/3) = 1、cos θの係数は2 sin(π/3) = √3です。

sin θ + √3 cos θ = 2 sin(θ + π/3)

u = θ + π/3と置くと、元の範囲はπ/3 ≤ u < 7π/3です。方程式は次の形になります。

2 sin u = 1
sin u = 1/2

単位円で縦座標が1/2となる位置は、1周につきπ/6と5π/6です。移した区間ではπ/6は左端より小さいので入らず、1周加えた13π/6は入ります。もう一方の5π/6も入ります。右端7π/3は含まれず、候補でもありません。図2は移した区間に入る位置を示しています。

図2の候補からπ/3を引くと、θ = π/2、11π/6です。小さい順に並べて答えます。π/2では元の左辺は1、11π/6では-1/2 + √3・(√3/2) = 1です。どちらも元の範囲にあり、指定された高さに戻ります。

この例では左端のu = π/3を調べてもsin u = √3/2です。端点が範囲内だからといって、方程式を満たすとは限りません。逆に、右端が式を満たす問題では、それが開端であることを理由に除く必要があります。

標準例題：不等式の端を選ぶ

-π/2 < θ ≤ πで、√3 sin θ − cos θ ≥ 1を解きなさい。答えはπを用いた区間で表します。

係数を展開して確かめると、左辺は2 sin(θ − π/6)です。u = θ − π/6と置けば、-2π/3 < u ≤ 5π/6です。したがって次の不等式を、この移した範囲で解きます。

2 sin u ≥ 1
sin u ≥ 1/2

1周期の中では、π/6 ≤ u ≤ 5π/6です。移した範囲と共通する部分もこの区間です。境界の2点では等号が成り立ち、右端5π/6も元の条件に含まれています。図の高さが境界に等しい場所を含むことと、指定区間の端を含むことは、別々の理由で確認します。

各辺にπ/6を加えると、答えはπ/3 ≤ θ ≤ πです。θ = π/3では左辺が3/2 − 1/2 = 1、θ = πでは左辺が1となります。区間の途中のθ = π/2では左辺が√3で、1以上です。一方、左の境界より少し小さい角は条件を満たさず、答えの外側にあります。

発展例題：高さが届かない場合と区間による解なし

0 ≤ θ ≤ π/2で、sin θ + cos θ = -1を解きなさい。答えはπを用いて列挙し、解がない場合はその旨を記します。

合成してu = θ + π/4と置くと、π/4 ≤ u ≤ 3π/4です。両係数は√2 cos(π/4) = 1、√2 sin(π/4) = 1で元に戻ります。

√2 sin u = -1
sin u = -√2/2

右辺は-1以上1以下なので、値の比較だけでは解なしと決まりません。しかし移した区間は第1象限から第2象限にあり、sin uは正です。負の高さに達しないため、答えは解なしです。元の場面でも、0 ≤ θ ≤ π/2ではsin θとcos θがともに0以上ですから、和が-1になることはありません。

条件を変えて右辺を2にすると、今度は2 > √2です。正弦の値の範囲から、θをどの実数に広げても等式は成立しません。こちらは区間を調べる前に解なしと決まります。同じ「解なし」でも、振幅との比較で除く場合と、動ける角の範囲で除く場合を区別します。

不等式でも同じ区間を使います。例えばsin θ + cos θ < 0なら、両項が0以上なので解はありません。一方、右辺が√2のときの等式はθ = π/4で成立します。右辺が振幅に等しい場合を、振幅より大きい場合とまとめて除いてはいけません。

誤答から範囲を直す

基本例題で、u = θ + π/3と置いた後に0 ≤ u < 2πとしてしまう誤答を考えます。この範囲ではu = π/6、5π/6を選び、θ = -π/6、π/2と戻してしまいます。前者は元の0 ≤ θ < 2πに入らず、代わりに11π/6を落としています。

原因は、式の中の角を置き換えたのに、その角の始点と終点を動かさなかったことです。uはθより常にπ/3大きいため、θ = 0のときu = π/3、θが2πに近づくとuも7π/3に近づきます。右端は元と同様に含みません。図3のように、置換と区間変換を同じ行で書けば、このずれを目で追えます。

図3の上段は誤った区間、下段は正しい区間です。重なる部分があっても、両端付近は一致しません。候補を求めた後に元の範囲で点検することは有効ですが、範囲外の候補を消すだけでは、取り逃した候補を発見できないこともあります。先に区間を移し、最後にも戻して確認します。

別の誤りは、不等号の等号だけを見て、指定区間の開端まで含めることです。境界の式が成立していても、元のθが許されていなければ解ではありません。反対に、指定区間の端が閉じていても、厳密な不等号の境界であれば除きます。2種類の条件を同時に満たす部分を残します。

練習問題

各問の角はラジアンです。角はπを用いて表し、解がない場合は「解なし」、区間全体の場合はその範囲を答えてください。

1. 0 ≤ θ < 2πで、√3 sin θ + cos θ = 2を解きなさい。解を列挙します。
2. 0 < θ ≤ πで、sin θ − cos θ > 0を解きなさい。解を区間で表します。
3. -π ≤ θ ≤ πで、sin θ + cos θ = 2を解きなさい。解を列挙します。
4. 0 ≤ θ < πで、sin θ + √3 cos θ ≤ -1を解きなさい。解を区間で表します。
5. 0 ≤ θ < 2πで、-sin θ − cos θ > -√2を解きなさい。解を区間で表します。

練習の答えと解き方

1

左辺は2 sin(θ + π/6)です。係数は2 cos(π/6) = √3、2 sin(π/6) = 1と戻ります。u = θ + π/6とすると、π/6 ≤ u < 13π/6です。

2 sin u = 2
sin u = 1
u = π/2

指定範囲にある候補はπ/2です。θ = π/3であり、元の左辺も√3・(√3/2) + 1/2 = 2となります。両端を移した範囲で1周期分を調べたので、同じ高さの別の候補を重複して数えません。

2

sin θ − cos θ = √2 sin(θ − π/4)です。u = θ − π/4と置くと、-π/4 < u ≤ 3π/4です。√2は正なので、不等号の向きは変わりません。

√2 sin u > 0
sin u > 0
0 < u ≤ 3π/4

よってπ/4 < θ ≤ πです。左端では元の左辺が0なので含めません。右端では左辺が1なので含めます。範囲内のθ = π/2でも左辺は1であり、指定された正の条件に合います。

3

左辺は√2 sin(θ + π/4)です。どの角でもsinの値は1以下なので、左辺は√2以下です。2 > √2であるため、答えは解なしです。

この判断は指定区間の端を閉じるかどうかによらず成立します。元の左辺は合成式と同じ値であり、指定された2という高さには届きません。等号の場合は振幅に達する角が範囲にあるかを別に調べます。

4

u = θ + π/3とすると、π/3 ≤ u < 4π/3です。左辺は2 sin uなので、求める条件はsin u ≤ -1/2です。

この範囲でsin u = -1/2となるのは7π/6です。そこから右端4π/3の手前まで条件を満たします。右端は含まれません。θに戻すと答えは5π/6 ≤ θ < πです。左端では元の左辺が1/2 − 3/2 = -1となり、等号を満たします。右端に対応するθ = πは指定範囲から除かれます。

5

左辺は√2 sin(θ − 3π/4)です。cos(-3π/4)とsin(-3π/4)はいずれも-√2/2なので、元の係数がともに-1であることを確認できます。u = θ − 3π/4と置くと、-3π/4 ≤ u < 5π/4です。

√2 sin u > -√2
sin u > -1

正弦は-1以上なので、等号となるu = -π/2を除いた範囲が解です。θに戻すとπ/4を除きます。答えは0 ≤ θ < π/4、π/4 < θ < 2πです。除いたθ = π/4では元の左辺が-√2となり、厳密な不等号を満たしません。θ = 0では左辺が-1で、-√2より大きく、含めてよいと確かめられます。

覚えておくこと

合成後の係数と右辺を比べ、到達できない高さを見分けます。
置換と同時に区間の両端と開閉を移します。
候補と境界を移した区間で選び、元の角へ戻します。
最後に元の式と元の範囲の両方で点検します。

つまずく場所を見分ける

係数が合うかを展開で説明できても、解の範囲が合わない場合は、まず置換の行と区間の行を見比べます。左端と右端をそれぞれ代入して新しい端を出せるか、開閉を引き継いでいるかを確かめます。候補を戻した後に範囲外の角が現れたら、消すだけで終えず、移した区間に取り残した候補がないかも調べます。

個別指導で確認するなら、例えば練習4の左端と右端に注目し、等号の扱いと指定区間の端の扱いを別の文で説明してもらいます。練習5では、振幅の負の値を境界にしたとき、等号を満たす角がなぜ除かれるのかを確認します。式の形、角の範囲、境界の所属を順に照らせば、合成後の解は元の条件に戻せます。