高校数学II 三角関数の合成—係数との対応から振幅と位相を同時に決める｜武蔵野個別指導塾

負の2係数を持つ式から正の振幅と第3象限の位相を求めます。片方の係数が零の式や、両方が零で位相が定まらない式も比べられます。

よくあるのは、2つの係数からtan αを求めたところで、位相αの象限まで決めたと思ってしまう場面です。正接が同じ角は半周離れた位置にもあります。係数がどちらも負なら、その半周の違いが式全体の符号の違いとして現れます。

合成は、2つの項を1つに短くする操作ですが、短くした式を展開すれば元の2つの係数に戻らなければなりません。そこで振幅を正に定め、cos αとsin αの両方を見て角を選びます。係数が零のときには、普段の割り算を使えないこともあります。

何を判断する問題か

第1の型は、数の係数が与えられ、指定された範囲のαを使ってR sin(θ + α)の形に直す問題です。まずRを決め、2つの符号からαの位置を選びます。角が特殊角でない場合にも、正弦と余弦の値を両方指定することで位相を表せます。

第2の型は、片方の係数が零になる問題です。tan αを作ることにこだわらず、単位円の軸上の点を選びます。両方が零ならRも零になり、位相は式から決まりません。通常の手順でRを分母にする前に分けておく必要があります。

第3の型は、文字を含む係数の符号が条件によって変わる問題です。1つの角を全ての場合に当てはめる前に、係数が零になる境目と、その前後の符号を調べます。ここでは式の合成と位相の決定に焦点を当て、合成後の方程式や最大・最小の計算には進みません。

係数と単位円の点を対応させる

θとαは実数とします。加法定理により、次の展開が成り立ちます。

R sin(θ + α) = R(sin θ cos α + cos θ sin α)
                 = (R cos α) sin θ + (R sin α) cos θ

したがって、a sin θ + b cos θと対応させる条件は、a = R cos α、b = R sin αです。sin θの係数がcos αに、cos θの係数がsin αに対応することに注意します。ここで振幅Rは負でない数と定めます。

R > 0なら、両式の二乗和と (cos α)² + (sin α)² = 1 から、R² = a² + b²です。Rは正なので、R = √(a² + b²)となります。Rが0かどうかを先に確認すれば、次の割り算が正当化されます。

cos α = a/R
sin α = b/R

図1のように、横座標がcos α、縦座標がsin αである単位円上の点を選びます。2つの値の二乗和は1ですから、指定した値を同時に持つ点が単位円上にあります。位相の範囲が0以上2π未満なら、その点に対応する角は1つです。

図1では左下の点に対応するcos αとsin αがともに負です。tan αが正という情報だけでは右上の点も候補になり、係数の符号を区別できません。αの範囲を別に指定された場合は、同じ点を表す角に2πの整数倍を加減して、その範囲の代表を選びます。

例えばaが0でbが正なら、R = b、cos α = 0、sin α = 1です。0以上2π未満のαはπ/2です。ここでtan αは定義できませんが、合成そのものは成立します。aとbがともに0ならR = 0であり、0 sin(θ + α)はどのαでも0です。この場合にαを一意に定めることはできません。

基本例題：両方の符号から位相を選ぶ

例題1：すべての実数θについて、-√3 sin θ − cos θをR sin(θ + α)と表します。R > 0、0 ≤ α < 2πとし、Rとαを根号とπを用いた厳密値で求めてください。

係数はa = -√3、b = -1で、両方が零ではありません。したがってRは正で、係数の二乗和から次のように求まります。

R = √{(-√3)² + (-1)²}
  = √4
  = 2

係数をRで割ると、cos α = -√3/2、sin α = -1/2です。両方が負なのでαの位置は第3象限です。基準となる鋭角はπ/6ですから、指定範囲ではα = 7π/6となります。

図2のように、横と縦の両方が負である点を選びます。よって求める式は次のとおりです。

-√3 sin θ - cos θ = 2 sin(θ + 7π/6)

答えの式を展開すると、sin θの係数は2・(-√3/2) = -√3、cos θの係数は2・(-1/2) = -1です。元の式の2つの係数に戻ります。例えばθ = 0では、元の式も合成後の式も-1です。1点での一致だけでは恒等式の証明になりませんが、展開による確認と組み合わせれば読み間違いを見つけやすくなります。

なお、tan α = 1/√3だけからπ/6を選ぶと、両方の係数が正になります。これは符号を反対にした別の式です。正接は角の候補を絞る補助にはなっても、象限を単独で決める情報にはなりません。

標準例題：軸上の位相

例題2：すべての実数θについて、-5 cos θをR sin(θ + α)と表します。R > 0、0 ≤ α < 2πとし、Rとαを厳密値で求めてください。

sin θの項が見えなくても、その係数は0です。a = 0、b = -5と読み、R = √(0² + (-5)²) = 5とします。Rが正なので、次の対応が使えます。

cos α = 0/5
      = 0
sin α = -5/5
      = -1

単位円の下端に対応する角は、指定範囲ではα = 3π/2です。よって-5 cos θ = 5 sin(θ + 3π/2)です。展開するとsin θの係数は0、cos θの係数は-5となり、元の式に戻ります。θ = 0でも両辺は-5です。

この場合、tan αをb/aとして計算しようとすると分母が0になります。分母が0の式を値として扱わず、cos αとsin αをそのまま照合するのが修正です。逆に、b = 0でaが負なら、単位円の左端を使います。片方が消えても、残った係数の符号が軸の正負を決めます。

発展例題：文字の値で位相が切り替わる

例題3：実数kについて、k sin θ + k cos θをR sin(θ + α)と表します。R ≥ 0、0 ≤ α < 2πとし、kの範囲ごとにRとαを厳密値で求めてください。R = 0の場合はαが決まるかどうかも答えてください。

係数はa = k、b = kです。R = √(k² + k²) = √2 |k|ですが、αを決めるにはkの符号を分けます。絶対値を外す向きが変わるためです。

k > 0ならR = √2 k > 0です。2つの係数をRで割ると、cos α = 1/√2、sin α = 1/√2です。指定範囲の第1象限にあるα = π/4を選びます。

k sin θ + k cos θ = √2 k sin(θ + π/4)

k < 0ならR = -√2 k > 0です。この場合はcos α = -1/√2、sin α = -1/√2となります。両方が負なのでα = 5π/4です。

k sin θ + k cos θ = -√2 k sin(θ + 5π/4)

最後にk = 0ならR = 0で、左辺も右辺も常に0です。指定された範囲のどのαでも成立するため、位相は一意に決まりません。Rで割る式をこの場合に適用すると0で割ることになるので、正の場合とは分けて扱います。

各場合を展開して確認します。k > 0のときの2係数はともに√2 k・(1/√2) = kです。k < 0のときも、ともに(-√2 k)・(-1/√2) = kです。k = 0では両係数が0に戻ります。符号を分けた結果が、もとの文字を含む式に対応しています。

誤答を係数まで戻して直す

例題1でtan α = 1/√3を得た後、α = π/6と答えたとします。図3のように、π/6と7π/6は半周離れており、正接は同じでも正弦と余弦の符号は逆です。Rを2としたまま前者を使うと、展開後の係数は√3と1になります。

原因は、正接が縦座標と横座標の比しか表さず、両方を同時に反転した点を区別できないことです。修正では、図3の左下の点のように、cos α < 0とsin α < 0を同時に満たす位置を選びます。式へ戻すと2 sin(θ + 7π/6)となり、両係数が負になります。

別の失敗は、Rに負の値を取って符号を吸収し、そのまま振幅と呼ぶことです。例えば-2 sin(θ + π/6)は例題1の式を表しますが、ここで求めるR > 0という条件を満たしません。負号を角の半周の移動に移し、正のRと指定範囲のαに直してから答えます。

また、R = 0の場合にcos α = a/Rと書くのも誤りです。両係数が零かどうかを最初に確かめれば、未定義の割り算を避けられます。片方だけが零のときはR > 0なので2つの座標は計算でき、軸上の点が位相を決めます。

練習問題

各問で等式はすべての実数θについて成立するものとします。R ≥ 0、0 ≤ α < 2πとし、R sin(θ + α)のRとαを根号・分数・πを用いた厳密値で答えてください。αを一意に定められない場合はその理由も答えます。

1. sin θ + √3 cos θを合成してください。
2. -2 sin θ + 2 cos θを合成してください。
3. 4 sin θを合成してください。
4. 0 sin θ + 0 cos θを合成してください。
5. 実数tに対して、t sin θ − t cos θを合成し、tの符号ごとに答えてください。

練習問題の答えと解き方

1

係数は1と√3で、R = √(1² + (√3)²) = 2です。R > 0なのでcos α = 1/2、sin α = √3/2となり、両方が正のα = π/3を選びます。

sin θ + √3 cos θ = 2 sin(θ + π/3)

展開後の係数は2・(1/2) = 1、2・(√3/2) = √3です。例えばθ = 0で両辺は√3となり、与えられた式の値にも戻ります。

2

R = √{(-2)² + 2²} = 2√2です。cos α = -1/√2、sin α = 1/√2なので、指定範囲の第2象限からα = 3π/4を選びます。

-2 sin θ + 2 cos θ = 2√2 sin(θ + 3π/4)

展開すると係数は順に-2、2です。θ = 0で両辺が2になることも、元の条件に戻して確認できます。

3

係数は4と0です。R = 4 > 0、cos α = 1、sin α = 0なので、指定範囲でα = 0です。したがって4 sin θ = 4 sin(θ + 0)です。

展開後の2係数は4と0で、見えなかったcos θの項も含めて元に戻ります。θ = π/2では両辺が4です。α = 2πも同じ点を表しますが、指定された上端は含まれません。

4

2係数がともに0なのでR = √(0² + 0²) = 0です。0 sin(θ + α)はαによらず0であり、指定範囲のどのαでも式を満たします。したがってαは一意に決まりません。

この場合、0をRで割って座標を決めることはできません。θにどの値を入れても両辺が0であることが、位相を選べない理由と一致します。

5

R = √(t² + (-t)²) = √2 |t|です。t > 0ならcos α = 1/√2、sin α = -1/√2ですから、α = 7π/4です。

t sin θ - t cos θ = √2 t sin(θ + 7π/4)

t < 0ならR = -√2 t > 0で、cos α = -1/√2、sin α = 1/√2です。したがってα = 3π/4です。

t sin θ - t cos θ = -√2 t sin(θ + 3π/4)

t = 0ではR = 0で、指定範囲のαはどれも使えます。正の場合も負の場合も展開すれば2係数はtと-tに戻ります。θ = 0では右辺が-tとなり、元のcos θの係数と一致します。

覚えておくこと

• R > 0ではR = √(a² + b²)です。
• cos α = a/R、sin α = b/Rを同時に満たす位相を選びます。
• 係数が片方だけ零なら単位円の軸上を調べます。
• 両係数が零ならR = 0で、位相は一意に決まりません。
• 最後に展開して、元の2係数と指定範囲に戻します。

つまずきの見分け方

式を見てsin θとcos θの係数を指さし、それぞれが展開後のどの項に対応するか説明できるかを確かめます。入れ替わる理由が曖昧なら、加法定理を1行書いてから係数を囲むと、暗記した対応を検証できます。

次に、正接の値が同じ2点について、両座標の符号を口に出して比べます。軸上や原点に相当する係数も試し、割り算が可能かを判断できるか確認します。個別指導では途中のどの行で符号、範囲、分母の条件を落としたかを一緒にたどり、その行から展開による照合までを本人の言葉で説明してもらいます。係数に戻る道筋が、位相選びの根拠を支えます。