高校数学II 和を積に直す公式—平均の角と差の角を対応させ方程式を解く｜武蔵野個別指導塾

2つの角の平均と差の半分を対応させ、因子が0になる場合を分けて方程式を解く鍵は和積です。

よくあるのは、高2が2つの角の和だけを半分にし、差はそのまま残して式を書いてしまう場面です。たとえば角が離れているほど、差を半分にし忘れた影響は大きくなります。和を積に直すときは、最初の2つの角を「中央の角から同じだけ進んだ角と戻った角」として読み直します。どちらも同じ幅で動くことを確認すれば、公式の中の角を見失いにくくなります。

和を積に変えると何が見えるか

2つの正弦の和や差が0となる方程式では、各項を別々に0と置くことはできません。和が0でも、正と負の値が打ち消し合うことがあるからです。一方、積が0なら、少なくとも1つの因子が0です。和を積へ変える理由は、この違いを利用して候補を分けられるところにあります。

出方の1つは、sin A + sin B = 0のように同じ種類の関数の和が現れる型です。平均の角と差の半分を計算し、2つの因子のどちらが0かを分けます。2つ目は、cos A = cos Bのように等式の両辺に項がある型です。片辺に移して差を作り、差の順番を保ったまま変形します。3つ目は、角がθを含む式で、2つの因子から出た候補が重なる型です。候補はまとめてから指定された範囲に入るものを選び、重複は1回だけ数えます。

公式は角が具体的な数でも文字式でも使えます。ただし変形後の方程式を解くときは、元のθの範囲と、因子の角が動く範囲を別に確認します。積から和へ戻す公式の整理には立ち入らず、ここでは和差を積に変える方向と、その後の因数0の判断を追います。

中央と左右の幅をそろえる

実数の角A、Bに対し、中央の角をM = (A + B)/2、左右の幅をD = (A − B)/2とします。分母の2は0ではないので、この置き方はどの実数A、Bでもできます。するとA = M + D、B = M − Dです。Dが正のとき図1のように、MからAへ進む幅とMからBへ戻る幅がどちらもDになります。Dが負なら向きは逆になりますが、等式はそのまま成り立ちます。

図1の対応を確かめるには、M + DとM − Dを計算して、元のAとBに戻るかを見ます。平均だけでなく差も2で割るのは、AからBまでの差を、中央の両側に分けるためです。たとえばA = 5π/6、B = π/6なら、M = π/2、D = π/3です。M + D = 5π/6、M − D = π/6と元に戻ります。

加法定理をM + DとM − Dに適用します。正弦と余弦は実数の角で定義されるので、ここに除外する角はありません。加えたり引いたりすると、共通する項が残ります。

sin A = sin M cos D + cos M sin D
sin B = sin M cos D - cos M sin D
sin A + sin B = 2 sin M cos D
sin A - sin B = 2 cos M sin D

余弦でも同じ対応を使います。差の式では負号が残ることに注意します。

cos A = cos M cos D - sin M sin D
cos B = cos M cos D + sin M sin D
cos A + cos B = 2 cos M cos D
cos A - cos B = -2 sin M sin D

したがって、MとDを元の角で書けば4つの公式が得られます。括弧の中はそれぞれ角全体です。

sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A - B)/2)
sin A - sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A - B)/2)
cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A - B)/2)
cos A - cos B = -2 sin((A + B)/2) sin((A - B)/2)

差の順序をB − Aに変えるとDの符号が変わります。cos Dは偶関数なので変わりませんが、sin Dは符号が変わります。差を使う公式では、項の順序と角の差の順序をそろえておけば、符号を追いやすくなります。暗記に迷ったときも、M + DとM − Dの2行に戻れば、符号を再現できます。

基本例題：中央の角を先に書く

0 ≤ θ < 2πで、sin 2θ + sin θ = 0を解き、答えをπを用いて列挙します。

2つの角はA = 2θ、B = θです。平均は3θ/2、差の半分はθ/2です。θが正のとき図2のように、中央から左右にθ/2ずつ移すと、2θとθに戻ります。どちらの角も実数なので公式を使えます。

図2を式に移すと、次の積になります。2は0でないため、積が0になるのは残りのいずれかの因子が0のときです。

sin 2θ + sin θ = 0
2 sin(3θ/2) cos(θ/2) = 0
sin(3θ/2) = 0 または cos(θ/2) = 0

最初の因子を考えます。0 ≤ θ < 2πなので、0 ≤ 3θ/2 < 3πです。正弦が0になるのは角がπの整数倍のときですから、この範囲の角は0、π、2πです。

3θ/2 = 0, π, 2π
θ = 0, 2π/3, 4π/3

次の因子では0 ≤ θ/2 < πです。この範囲で余弦が0になる角はπ/2なので、θ = πです。上端πは含まれませんが、そもそも余弦はそこで0ではありません。2つの因子の候補を合わせると、答えは θ = 0, 2π/3, π, 4π/3 です。

元の式でも確認します。θ = 2π/3では、sin 2θ = -√3/2、sin θ = √3/2で和は0です。θ = 4π/3では符号が逆になって和は0です。θ = 0とπでは各項が0です。いずれも指定範囲内で、除外された2πは入れていません。各項がともに0でない解も含まれるので、最初に各項を0と置く方法では不足します。

標準例題：差の順序と端点

0 ≤ θ ≤ 2πで、cos 3θ = cos θを解き、答えをπを用いて列挙します。

左辺へ移し、A = 3θ、B = θとします。平均は2θ、差の半分はθです。差の公式の負号も含めると、次のようになります。

cos 3θ - cos θ = 0
-2 sin 2θ sin θ = 0
sin 2θ = 0 または sin θ = 0

0 ≤ θ ≤ 2πより、0 ≤ 2θ ≤ 4πです。最初の因子から2θ = 0, π, 2π, 3π, 4πとなり、θ = 0, π/2, π, 3π/2, 2πを得ます。次の因子からはθ = 0, π, 2πです。後者は前者に含まれるため、答えは θ = 0, π/2, π, 3π/2, 2π です。

たとえばθ = π/2では、左右はcos(3π/2) = 0とcos(π/2) = 0で一致します。θ = πでは左右とも-1、2πでは左右とも1です。端点2πを含む条件なので、この値も答えに残します。差の公式の負号を落としても今回は右辺が0なので候補は変わりませんが、恒等式としては誤りです。別の式に代入すると符号の誤りが結果に現れるため、途中式から正しく扱います。

発展例題：定数の因子も調べる

-π ≤ θ < πで、sin(θ + π/3) − sin(θ − π/3) = 1を解き、0 < α < π/2、cos α = √3/3を満たす角αを用いて答えます。

2つの角はθを挟んでπ/3ずつ離れています。差の公式では平均がθ、差の半分がπ/3です。右辺が0ではないため、積の各因子を0と置いてはいけません。まず定数となる因子の値を使います。

sin(θ + π/3) - sin(θ - π/3) = 1
2 cos θ sin(π/3) = 1
√3 cos θ = 1
cos θ = √3/3

この値に対応する角は特殊角ではありません。そこで、0 < α < π/2、cos α = √3/3を満たす角αを用いて答えます。このようなαはその範囲に1つあります。単位円の左右対称性から、指定範囲の解は θ = -α, α です。両端ではcos θ = -1で条件を満たしません。

元の左辺へ戻すと、どちらの角でも差は2 cos θ sin(π/3) = 1です。指定したαを用いた形で、2つの解を区別できます。

誤答を直す：2つの半分を点検する

sin 2θ + sin θを、誤って2 sin(3θ/2) cos θと書いたとします。平均の3θ/2は合っていますが、差の2θ − θ = θを半分にする操作が抜けています。図3のように、正しい左右の幅はθ/2です。中央からθだけ動かしても、もとの2θとθの組には戻りません。

図3の正しい対応では、3θ/2 + θ/2 = 2θ、3θ/2 − θ/2 = θです。誤った幅θを使うと、角は5θ/2とθ/2になり、元の組とは一般には異なります。公式を書いた直後に足し戻しと引き戻しを行えば、角の対応を確認できます。

もう1つの誤りは、積の一方の因子で割ってしまうことです。基本例題でcos(θ/2)で割ると、cos(θ/2) = 0となるθ = πを落とします。割る前に0となる場合を別に調べるか、最初から各因子が0の場合を並べます。元の和の各項を0と置く誤りとは原因が違い、こちらは積に変えた後で候補を消してしまう誤りです。

また、2つの因子から同じ角が出たときに2個の解と数えるのも避けます。候補の出どころは2通りあっても、解としての角は1つです。最後に範囲と端点を点検してから、小さい順に並べます。

練習問題

各問の角はラジアンです。方程式は指定範囲の解をπを用いて列挙し、値は根号を含む厳密値で答えます。

1. sin(7π/12) + sin(π/12)を求めます。
2. cos(5π/6) − cos(π/6)を、和を積に直して求めます。
3. 0 ≤ θ < 2πで、sin 3θ − sin θ = 0を解きます。
4. -π < θ ≤ πで、cos 2θ + cos θ = 0を解きます。
5. 0 ≤ θ ≤ 2πで、sin(θ + π/4) + sin(θ − π/4) = 0を解きます。

練習の答えと解き方

1. 平均と幅が異なる場合

2つの角の平均はπ/3、差の半分はπ/4です。ともに実数の角なので和の公式を適用できます。

sin(7π/12) + sin(π/12)
= 2 sin(π/3) cos(π/4)
= 2・(√3/2)・(√2/2)
= √6/2

平均π/3に幅π/4を足すと7π/12、引くとπ/12です。元の角を再構成できるので、平均と幅の対応も確認できます。

2. 余弦の差の負号

平均はπ/2、差の半分はπ/3です。余弦の差の公式には先頭の負号が付きます。

cos(5π/6) - cos(π/6)
= -2 sin(π/2) sin(π/3)
= -2・1・(√3/2)
= -√3

元の値は-√3/2と√3/2なので、差も-√3です。結果が負になることは、元の2つの値の大小からも確かめられます。

3. 両方の因子を残す

平均は2θ、差の半分はθです。θは実数なので変形できます。

sin 3θ - sin θ = 0
2 cos 2θ sin θ = 0
cos 2θ = 0 または sin θ = 0

0 ≤ 2θ < 4πで余弦が0になる角はπ/2、3π/2、5π/2、7π/2です。したがって前者はθ = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4です。後者はθ = 0, πです。答えは θ = 0, π/4, 3π/4, π, 5π/4, 7π/4 です。

たとえばπ/4ではsin(3π/4)とsin(π/4)がともに√2/2です。3π/4では両辺が√2/2、5π/4と7π/4では両辺が-√2/2です。0とπでも両辺は0なので、元の等式と範囲に合います。

4. 開いた端と閉じた端

平均は3θ/2、差の半分はθ/2です。余弦の和の公式から次を得ます。

cos 2θ + cos θ = 0
2 cos(3θ/2) cos(θ/2) = 0
cos(3θ/2) = 0 または cos(θ/2) = 0

-3π/2 < 3θ/2 ≤ 3π/2なので、前者の角は-π/2、π/2、3π/2です。対応するθは-π/3、π/3、πです。後者の範囲は-π/2 < θ/2 ≤ π/2なので、θ = πです。答えは θ = -π/3, π/3, π です。-πは元の式を満たしますが、開いた端なので除きます。

π/3と-π/3ではcos 2θ = -1/2、cos θ = 1/2です。πでは1と-1です。どれも和が0となり、指定された端点の扱いにも合います。

5. 一方が0にならない因子

平均はθ、差の半分はπ/4です。定数のcos(π/4)は√2/2で0ではありません。

sin(θ + π/4) + sin(θ - π/4) = 0
2 sin θ cos(π/4) = 0
√2 sin θ = 0
sin θ = 0

0 ≤ θ ≤ 2πなので、答えは θ = 0, π, 2π です。θ = 0では2つの正弦が互いに打ち消し合い、πと2πでもそれぞれ符号の反対な値です。両端が含まれるため0も2πも残します。

覚えておくこと

• 平均は(A + B)/2、幅は(A − B)/2です。
• 平均に幅を足し引きして元の角に戻します。
• 積が0なら、0になる因子ごとに場合を分けます。
• 角の範囲、端点、重複を最後に確かめます。

つまずきを見分けるには

式を見てすぐ公式を選ぶ前に、2つの角をA、Bとして書き出し、平均と差の半分を別々に計算できるかを見ます。平均は合っていても幅が違うなら、中央から元の角へ戻る計算を挟みます。符号を間違えた場合は、どの項を先に引いたかと、余弦の差に付く負号を加法定理まで戻って確かめます。

個別指導で確認するなら、因子を0と置く理由を言葉で説明できるか、定数の因子が0かどうかを判断できるか、変換後の角の範囲から端点を選べるかを順に尋ねます。答えが合っていても、一方の因子で割って偶然解を落とさなかった場合は、0になる場合を別に扱う練習が必要です。2つの角を中央と幅に戻す操作が、和積の式を読む手がかりになります。