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高校数学III・C 垂線の足と軌跡—射影の係数と動く点の制限を対応させる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴理系の数学III・C 融合問題と記述答案

内積で垂足の座標を求め、媒介変数の範囲と線分の端点を照合する答案を通して射影を追います。

よくあるのは、理系高3の演習で、直線への足と線分への最短点を混同する場面です。垂線の足を求める式に係数を代入して答えが出ても、その足が線分の内側にあるとは限りません。直線全体を動く点と、端点で止まる点の違いを図で確かめ、内積の式から座標の軌跡までつなぎます。

どの量を動かすかを先に決める

典型的な出方の1つは、固定点から、方向が変わる直線へ下ろした垂線の足を追う問題です。直線の方向を媒介変数で表すと、足の座標もその数の式になります。もう1つは、動く点を通る直線への足を求め、その動点の範囲から足の軌跡の一部を選ぶ問題です。どちらも座標の関係式だけでは、端点や除外点が残ります。

線分への最短点を問われる場合はさらに注意します。垂足が線分内にあれば最短点ですが、延長上にあれば近い方の端点が最短点です。まず「直線への垂足」か「線分上の最短点」かを問題文で区別し、その後で係数を調べます。曲線の軌跡を求めるときは、必要な式を導くことと、その式の点を元の動きで実現することを分けて書きます。

射影の係数から座標へ

点 A、B、P に対し、A と B が異なるとします。d をベクトル AB、H を直線 AB 上の点とすると、ある実数 s を使ってベクトル AH = s d と表せます。H が P から直線 AB への垂足である条件は、ベクトル PH と d の内積が 0 であることです。d は零ベクトルでないので d・d > 0 です。したがって、次の式は正の数で割れます。

ベクトル PH = ベクトル AH - ベクトル AP
(ベクトル AH - ベクトル AP)・d = 0
s(d・d) - ベクトル AP・d = 0
s = (ベクトル AP・d)/(d・d)

この s が射影の係数です。逆に、この式で定めた H は直線上にあり、内積も 0 ですから垂足です。図1のように、係数の計算と、得られた点の範囲の判断は別々の段階です。0 ≦ s ≦ 1 なら H は線分 AB 上にあり、それ以外なら延長上にあります。

P と線分上の点 Q = A + u d を結ぶ距離の二乗は、垂直な成分を用いて PH² + (u − s)²(d・d) です。0 ≦ u ≦ 1 でこの値を最小にするには、s が区間内なら u = s、s < 0 なら u = 0、s > 1 なら u = 1 とします。図1の係数は直線の足を与え、線分の場合は端点との比較まで必要です。

軌跡では H = (x, y) と置き、媒介変数を消して得た式を候補にします。ただし割り算をしたら、その分母が 0 となる点を元の式で調べます。さらに、候補上の点から許された媒介変数を作り直し、元の垂直条件に戻すと、余分な点を混ぜずに結論を出せます。

基本例題：傾きが動く直線への足

原点 O を通る直線 l の方向ベクトルを (1, t) とします。t は 0 ≦ t ≦ 2 を動き、P = (2, 0) から l に下ろした垂線の足を H = (x, y) とします。H の軌跡を方程式と範囲で表してください。

方向ベクトルの第1成分は 1 なので、どの t でも直線は定まります。H = s(1, t) と置き、PH と (1, t) の内積を 0 とします。

(s - 2, st)・(1, t) = 0
s - 2 + st² = 0
s(1 + t²) = 2
s = 2/(1 + t²)
x = 2/(1 + t²)
y = 2t/(1 + t²)

1 + t² > 0 なので、ここで割る操作は常に可能です。また x > 0 であり、y = tx です。これらを使って t を消します。

x(1 + t²) = 2
t²x² = 2x - x²
y² = 2x - x²
(x - 1)² + y² = 1

図2のように候補は中心 (1, 0)、半径 1 の円です。しかし円全体ではありません。t が 0 から 2 まで動くと x = 2/(1 + t²) は 2 から 2/5 まで減り、y = tx ≧ 0 です。端点は t = 0 で (2, 0)、t = 2 で (2/5, 4/5) です。

逆に、円上で 2/5 ≦ x ≦ 2、y ≧ 0 を満たす点を取ると、x > 0 なので t = y/x と置けます。円の式より t² = 2/x − 1 で、0 ≦ t ≦ 2 です。さらに x = 2/(1 + t²)、y = tx が戻ります。この点は l 上にあり、(H − P)・(1, t) = 0 です。したがって答えは、円 (x − 1)² + y² = 1 のうち 2/5 ≦ x ≦ 2、y ≧ 0 の部分です。端点も含みます。

円の式を得た直後に原点を含めるのは誤りです。元の x は有限の t で正です。また上半円と決めるだけでは、t > 2 に対応する部分も入ります。範囲を座標へ移す際は、端点の値と単調な向きを両方書きます。

標準例題：動点の範囲から弧を選ぶ

A = (0, 1)、P = (3, 1) とし、B = (1, 1 + t) が -1 ≦ t ≦ 1 を動きます。P から直線 AB への垂線の足 H = (x, y) の軌跡を、方程式と範囲で表してください。

ベクトル AB = (1, t)、ベクトル AP = (3, 0) です。AB は零ベクトルになりません。ベクトル AH = s(1, t) と置けば、内積から次を得ます。

(3 - s, -st)・(1, t) = 0
3 - s - st² = 0
s = 3/(1 + t²)
x = 3/(1 + t²)
y = 1 + 3t/(1 + t²)

x > 0、y − 1 = tx です。よって t を消すと、

x(1 + t²) = 3
(y - 1)² = 3x - x²
(x - 3/2)² + (y - 1)² = 9/4

-1 ≦ t ≦ 1 より 0 ≦ t² ≦ 1 なので 3/2 ≦ x ≦ 3 です。t が負のときも許されるため、y − 1 の符号は制限しません。逆に、この円上で 3/2 ≦ x ≦ 3 なら x > 0 です。t = (y − 1)/x と置くと、円の式から t² = 3/x − 1 となり、-1 ≦ t ≦ 1 が従います。元の座標式が戻るため、必要十分です。

答えは (x − 3/2)² + (y − 1)² = 9/4、3/2 ≦ x ≦ 3 で表す円弧です。両端は (3/2, 5/2)、(3/2, -1/2) です。例えば上端では t = 1、H − P = (-3/2, 3/2) であり、方向 (1, 1) との内積は 0 です。下端も t = -1 で同様に条件に戻ります。なお s は 3/2 以上なので、この例の垂足は常に線分 AB の延長上です。直線への足を求めた結果を、そのまま線分上の最短点と呼んではいけません。

発展例題：線分上の最短点も追う

A = (0, 0)、P = (3, 0)、B = (1, t) とします。t は 0 ≦ t ≦ 2 を動きます。P から直線 AB への垂線の足 H の軌跡と、線分 AB 上で P に最も近い点 Q の軌跡をそれぞれ方程式と範囲で表してください。根号を含む値は正確な形で答えます。

直線 AB の方向は (1, t) で、これは常に零ベクトルではありません。H = s(1, t) と置くと、

(3 - s, -st)・(1, t) = 0
3 - s(1 + t²) = 0
s = 3/(1 + t²)
H = (3/(1 + t²), 3t/(1 + t²))

H = (x, y) とすれば x > 0、y = tx より、

x² + y² = 3x
(x - 3/2)² + y² = 9/4

0 ≦ t ≦ 2 より 3/5 ≦ x ≦ 3、y ≧ 0 です。逆にこの範囲の円上の点では t = y/x が 0 ≦ t ≦ 2 を満たし、元の H に戻ります。よって H の軌跡はこの条件で表される円弧です。

次に Q を考えます。線分上の点を R = u(1, t)、0 ≦ u ≦ 1 とすると、距離の二乗は次のように平方完成できます。

PR² = (u - 3)² + u²t²
    = (1 + t²)u² - 6u + 9
    = (1 + t²)(u - s)² + 9 - 9/(1 + t²)

1 + t² > 0 なので、区間内で u が s に最も近い位置を選びます。s ≧ 1 は t² ≦ 2、つまり 0 ≦ t ≦ √2 に相当します。この範囲では Q = B = (1, t) です。一方、√2 ≦ t ≦ 2 では s ≦ 1 で、s > 0 ですから Q = H です。境目 t = √2 では H = B = (1, √2) となり、両方の表現が一致します。

したがって Q の軌跡は、線分 x = 1、0 ≦ y ≦ √2 と、円 (x − 3/2)² + y² = 9/4 のうち 3/5 ≦ x ≦ 1、y ≧ 0 の円弧を合わせたものです。線分上の各点は t = y で実現します。円弧上の各点は t = y/x と戻せ、その範囲は √2 ≦ t ≦ 2 です。Q の軌跡に円の右端 (3, 0) は含まれません。そこは t = 0 の直線への足であり、線分上の最短点は B = (1, 0) です。

式が合っていても範囲が違う答案

基本例題について、次の答案を考えます。「垂直だから x² + y² = 2x。よって軌跡は中心 (1, 0)、半径 1 の円である」。円の式は必要条件として正しいものの、結論は広すぎます。例えば (1, -1) は円上ですが、t = y/x = -1 なので指定された 0 ≦ t ≦ 2 に入りません。原点も円上ですが、x = 2/(1 + t²) > 0 に反します。

原因は、媒介変数を消した時点で、その取り得る範囲まで保存されたと思い込むことです。図3のように、式が表す円と、条件を満たす弧を区別します。修正答案では x の範囲と y の符号を添え、候補上の点に t = y/x を対応させます。逆向きの確認で x > 0 が必要な理由も明示できます。

別の失敗は、発展例題で s > 1 なのに H を線分上の最短点とすることです。s の値が直線上のどこを指すかを確かめ、区間外なら端点を選び直します。計算結果の座標が正しくても、求める対象が違えば元の条件を満たしません。

練習問題

各問の軌跡は、方程式と座標の範囲で表してください。端点を含むかどうかも明記します。座標や根号は正確な形で答えてください。

P = (4, 0) から、原点を通り方向 (1, t) を持つ直線に下ろした垂足を H とします。0 ≦ t ≦ 1 のとき、H の軌跡を求めてください。
A = (0, 2)、P = (2, 2) とします。方向 (1, t) の直線を A に通し、P からの垂足を H とします。-2 ≦ t ≦ 0 のとき、H の軌跡を求めてください。
P = (5, 0)、B = (1, t) とします。0 ≦ t ≦ 3 のとき、原点と B を通る直線への P の垂足 H の軌跡を求めてください。
P = (2, 0)、B = (1, t) とします。0 ≦ t ≦ 2 のとき、線分 OB 上で P に最も近い点 Q の軌跡を求めてください。
P = (1, 0) から、原点を通り方向 (t, 1) の直線に下ろした垂足を H とします。-1 ≦ t ≦ 1 のとき、H の軌跡を求めてください。

練習の答えと戻し方

1

方向は常に零でなく、H = s(1, t) と置けます。垂直条件を解きます。

(4 - s, -st)・(1, t) = 0
s = 4/(1 + t²)
x = 4/(1 + t²)
y = 4t/(1 + t²)
x² + y² = 4x
(x - 2)² + y² = 4

0 ≦ t ≦ 1 より 2 ≦ x ≦ 4、y ≧ 0 です。逆にこの範囲の円上では x > 0、t = y/x と置けば 0 ≦ t ≦ 1 で、元の式に戻ります。答えはこの円弧で、端点 (4, 0)、(2, 2) を含みます。端点ではそれぞれ t = 0、1 を代入し、垂直を確かめられます。

2

H = A + s(1, t) とします。ベクトル AP = (2, 0) より、

(2 - s, -st)・(1, t) = 0
s = 2/(1 + t²)
x = 2/(1 + t²)
y - 2 = 2t/(1 + t²)
(x - 1)² + (y - 2)² = 1

-2 ≦ t ≦ 0 より 2/5 ≦ x ≦ 2、y ≦ 2 です。逆にこの円と範囲の点では t = (y − 2)/x が -2 以上 0 以下で、垂足の式を満たします。答えはその円弧です。端点 (2, 2)、(2/5, 6/5) はそれぞれ t = 0、-2 に対応し、両方を含みます。

3

H = s(1, t) と置いて内積を計算します。

(5 - s, -st)・(1, t) = 0
s = 5/(1 + t²)
x = 5/(1 + t²)
y = 5t/(1 + t²)
(x - 5/2)² + y² = 25/4

0 ≦ t ≦ 3 から 1/2 ≦ x ≦ 5、y ≧ 0 です。逆に円上でこの条件を満たす点に t = y/x を対応させると、t² = 5/x − 1 は 0 以上 9 以下です。元の座標と垂直条件が戻ります。答えはこの円弧で、端点 (5, 0)、(1/2, 3/2) を含みます。

4

垂足 H = s(1, t) の係数と線分の条件を比べます。

(2 - s, -st)・(1, t) = 0
s = 2/(1 + t²)
s ≧ 1 ⇔ 0 ≦ t ≦ 1

0 ≦ t ≦ 1 では Q = B = (1, t) です。1 ≦ t ≦ 2 では Q = H となり、H = (x, y) は次を満たします。

x = 2/(1 + t²)
y = 2t/(1 + t²)
(x - 1)² + y² = 1

答えは線分 x = 1、0 ≦ y ≦ 1 と、円 (x − 1)² + y² = 1 のうち 2/5 ≦ x ≦ 1、y ≧ 0 の円弧です。境界 (1, 1) は t = 1 で両方に共通し、端点 (2/5, 4/5) は t = 2 に対応します。逆に線分上は t = y、円弧上は t = y/x として実現でき、いずれも端点を含みます。

5

方向ベクトル (t, 1) は常に零ではありません。H = s(t, 1) と置けば、

(1 - st, -s)・(t, 1) = 0
t - s(t² + 1) = 0
s = t/(t² + 1)
x = t²/(t² + 1)
y = t/(t² + 1)
x² + y² = x
(x - 1/2)² + y² = 1/4

-1 ≦ t ≦ 1 から 0 ≦ x ≦ 1/2 です。t = 0 では H = (0, 0) となるので、原点を除外しません。逆にこの円上で 0 < x ≦ 1/2 なら y ≠ 0 です。t = x/y と置くと t² = x/(1 − x) ≦ 1 で、元の座標が戻ります。原点は t = 0 で実現します。答えは円 (x − 1/2)² + y² = 1/4 のうち 0 ≦ x ≦ 1/2 の弧で、端点 (1/2, 1/2)、(1/2, -1/2) と原点を含みます。