高校数学III・C 複素数の分数式と軌跡—逆の式で点が動く範囲を取り戻す｜武蔵野個別指導塾

分母を払って得た円や直線から除外点を見つけ、逆の式で各点の実現を確かめ、複素数の軌跡を追う。

よくあるのは、理系高3の演習で、複素数の分数式から分母を払って得た図形上の点を、条件を確かめずに全て採用する場面です。式を整理して円や直線を見つけても、その図形上の各点が元の点から実際に生じるとは限りません。分数式の定義されない点と、逆にたどれない点を区別し、軌跡の答えに反映します。

どの式を入り口にするか

複素数 z が動き、w が z の分数式で与えられるとします。z の動く範囲から w の軌跡を求めるとき、まず w を実部と虚部に分ける方法があります。分子・分母に分母の共役を掛ければ座標が求まりますが、その後に z の変数を消す計算が長くなることもあります。

もう一つの方法は、w の式を z について解き、元の条件へ戻すことです。元の条件が |z − a| = r の形なら、逆の式を代入した後に絶対値の等式として整理できます。元の条件が直線の場合も、実部・虚部で表して代入できます。どちらも逆の式が定義できない w を先に控えておくと、図形から欠ける点を見落としにくくなります。

円や直線の一部分が指定される場合は、等式に加えて不等式も戻します。端点を含むかどうかを等号から読み取り、逆の式が使えない点がその部分にあるか調べます。形を出す段階と、その形のうち動ける範囲を確定する段階は、答案で分けると筋道が見えます。

距離の式と逆向きの確認

複素数平面で、z = x + yi に対応する点と a に対応する点の距離は |z − a| です。r > 0 のとき |z − a| = r は中心 a、半径 r の円を表します。また、異なる2点 a、b について |z − a| = |z − b| は、両点からの距離が等しい点の集合、すなわち線分を垂直に二等分する直線です。両辺は0以上なので、二乗して座標の式に直しても同値です。

図1のように、元の点から分数式で像を求める向きと、像から元の点を求める向きを往復します。例えば w = (z + a)/(z − b) は z ≠ b で定義されます。a + b ≠ 0 なら、両辺を整理して

w(z - b) = z + a
(w - 1)z = bw + a
z = (bw + a)/(w - 1)    (w ≠ 1)

です。w = 1 なら元の式は z + a = z − b を要求し、a + b ≠ 0 に反します。したがって像には w = 1 が現れません。この逆の式から z − b = (a + b)/(w − 1) ≠ 0 もわかるので、w ≠ 1 なら元の分母も0ではありません。a + b = 0 の場合は分数式が z ≠ b で一定の1となり、上の逆の式は使えません。逆算する前にこの例外を調べます。

図1の右側で候補が求まった後も、逆の式で得られる元の点が指定された円や直線にあるか確かめます。元の点から得られる像が候補上にあることは必要性、候補上の各点が実際に得られることは十分性です。等式を途中で二乗した場合にも、両辺の符号などを確かめて逆向きの成立を明記します。

基本例題：円が直線になるとき

問題。z は |z| = 1 を満たし、z ≠ 1 とします。w = (z + 1)/(z − 1) とするとき、w の軌跡を複素数平面上の直線と除外点で表してください。

元の円上には分母を0にする z = 1 があるので、問題文どおり最初から取り除きます。まず w = 1 なら z + 1 = z − 1 となり矛盾します。w ≠ 1 として解くと

w(z - 1) = z + 1
(w - 1)z = w + 1
z = (w + 1)/(w - 1)

です。条件 |z| = 1 に戻すと、w ≠ 1 のもとで

|(w + 1)/(w - 1)| = 1
|w + 1| = |w - 1|

となります。これは w が -1 と 1 から等距離にあることを表します。w = u + vi とすると、実数 u、v について

(u + 1)² + v² = (u - 1)² + v²
4u = 0
u = 0

です。必要条件は虚軸です。ここで w = 1 は虚軸上にないため、虚軸上に新たな除外点はありません。

十分性も調べます。任意の実数 v に対し w = vi と置くと w ≠ 1 なので、z = (w + 1)/(w − 1) が定義されます。虚軸上では |w + 1| = |w − 1| より |z| = 1 です。また

z - 1 = 2/(w - 1) ≠ 0
(z + 1)/(z - 1) = w

となり、元の条件と分数式を満たします。よって答えは虚軸全体、すなわち Re w = 0 です。例えば z = -1 は w = 0 に移り、z = i は w = -i に移ります。z = 1 は定義域から外れますが、虚軸上の有限の点を1つ欠くという意味ではありません。

図2では単位円上の2点と、その像を同じ色で結び付けています。赤い z = 1 では分数式を計算できないことを、円上の空いた点で表しています。線全体が像になることは図だけで断定せず、上の逆算で支えます。

標準例題：直線上の1点が欠ける円

問題。z は実部が2である複素数全体を動くとします。w = 1/z の軌跡を、中心と半径を示した円から必要な点を除く形で表してください。

Re z = 2 なので z は0ではなく、w は定義され、かつ w ≠ 0 です。逆に z = 1/w として、w = u + vi、u、v は実数と置きます。w ≠ 0 ですから u² + v² > 0 であり、

z = 1/(u + vi)
z = (u - vi)/(u² + v²)
Re z = u/(u² + v²)

が成り立ちます。Re z = 2 を代入して整理すると

u/(u² + v²) = 2
u = 2(u² + v²)
u² - u/2 + v² = 0
(u - 1/4)² + v² = 1/16

です。候補は中心 1/4、半径 1/4 の円ですが、w = 0 はこの円上にあり、元の式からは得られません。分母を払った結果だけでは原点の除外が消えます。

逆に、この円上で w ≠ 0 とします。円の式を展開すれば u = 2(u² + v²) なので、z = 1/w は Re z = 2 を満たします。さらに z ≠ 0 であり 1/z = w です。したがって答えは |w − 1/4| = 1/4 から w = 0 を除いた集合です。例えば z = 2 は w = 1/2 に移り、これは円の右端です。一方、元の直線上で虚部の絶対値を大きくすると w は0に近づきますが、有限の z で0そのものにはなりません。

発展例題：円周の一部を直線の半分へ

問題。z は |z| = 1、Re z ≥ 0、z ≠ 1 を満たすとします。w = (z + i)/(z − i) の軌跡を求め、虚部が動く範囲と取り除く点を明らかにしてください。なお z = i では分数式が定義されないため、その点も z の範囲から除きます。

まず w = 1 と仮定すると z + i = z − i となり矛盾します。w ≠ 1 のとき逆の式は

w(z - i) = z + i
(w - 1)z = i(w + 1)
z = i(w + 1)/(w - 1)

です。|i| = 1 なので、|z| = 1 は |w + 1| = |w − 1| と同値です。基本例題と同じ等距離の条件から Re w = 0 です。そこで w = vi と置き、v は実数とします。w ≠ 1 は、この虚軸上では自動的に満たされます。

z = i(vi + 1)/(vi - 1)
z = i(vi + 1)(-vi - 1)/(v² + 1)
z = 2v/(v² + 1) + (v² - 1)i/(v² + 1)

分母 v² + 1 は正なので、Re z ≥ 0 は v ≥ 0 と同値です。さらに指定の除外点 z = 1 に対応する像を求めると

w = (1 + i)/(1 - i)
w = i

です。つまり v = 1 を取り除きます。z = i は元の分母を0にするため像を持ちません。これを w 平面の別の有限点として取り除く必要はありません。

逆向きには、v ≥ 0、v ≠ 1 として w = vi を選びます。逆の式で得た z は上の座標式を満たし、

|z|² = (4v² + (v² - 1)²)/(v² + 1)²
|z|² = (v² + 1)²/(v² + 1)²
|z|² = 1
Re z = 2v/(v² + 1) ≥ 0

です。v = 1 のときに限り z = 1 となるので、指定の除外点も避けられます。また z − i = 2i/(w − 1) ≠ 0 で、元の式に戻すと確かに w = vi です。答えは虚軸上の Im w ≥ 0 の部分から w = i を除いた集合です。端点 w = 0 は z = -i に対応し、元の条件に入るので含みます。境界を含むかは、図の見た目ではなく元の不等号で決めます。

誤答を分解する：分母を払った後に何が残るか

標準例題について「(u − 1/4)² + v² = 1/16 だから、この円全体が軌跡である」と答えると、原点を余分に含みます。計算の途中で u² + v² を掛けたため、逆算の出発点だった w ≠ 0 が最後の式に見えなくなったことが原因です。図3のように、円の式と分母の条件を並べて残します。

図3の円上の空いた点は w = 0 です。修正答案では「円上で w ≠ 0 の任意の点に対し z = 1/w を置く」と始め、Re z = 2 と 1/z = w を確認します。この一文によって候補を絞るだけでなく、残った点が実現することも示せます。

除外の方向を取り違える間違いにも注意します。z の範囲からある点を除いたとき、その点で分数式が定義されるなら対応する w を調べます。反対に、分母が0の z には像自体がありません。像の候補の中に空いた点があるかは、w の逆算と条件を照合して決めます。w = 1 のように逆の式で分母が0となる値も、先に元の式へ代入して実現可能性を調べます。

練習問題

いずれも答えは円・直線・その一部と除外点を用いて正確に表してください。Re は実部、Im は虚部です。

1. z は |z| = 3、z ≠ 3 を満たします。w = (z + 3)/(z − 3) の軌跡を求めてください。
2. z は Re z = 3 を満たします。w = 1/z の軌跡を求めてください。
3. z は |z − 2| = 1 を満たします。w = 1/z の軌跡を求めてください。
4. z は |z| = 2、Im z ≥ 0、z ≠ 2 を満たします。w = (z + 2)/(z − 2) の軌跡を求めてください。
5. z は |z| = 1 を満たし、w = (z − 2)/(z + 2) とします。w の軌跡を求め、w = 1 が含まれるか答えてください。

練習問題の答えと道筋

1. 等距離の直線へ

w = 1 とすると z + 3 = z − 3 となり矛盾します。w ≠ 1 では、

w(z - 3) = z + 3
z = 3(w + 1)/(w - 1)
|z| = 3 ⇔ |w + 1| = |w - 1|

です。この等式は Re w = 0 と同値です。逆に虚軸上の任意の w について w ≠ 1 であり、上の z は |z| = 3 を満たします。z − 3 = 6/(w − 1) ≠ 0 なので元の分母も0ではなく、元の式に戻せます。答えは虚軸全体です。特に w = 0 は z = -3 から得られます。

2. 原点を除く円へ

Re z = 3 より z ≠ 0 で、w ≠ 0 です。w = u + vi と置くと、

Re(1/w) = u/(u² + v²)
u/(u² + v²) = 3
u = 3(u² + v²)
(u - 1/6)² + v² = 1/36

です。逆にこの円上の w ≠ 0 を取れば、z = 1/w は Re z = 3 を満たし、1/z = w です。答えは |w − 1/6| = 1/6 から w = 0 を除いた集合です。右端 w = 1/3 は z = 3 に対応します。

3. 原点を含まない円の像

|z − 2| = 1 なら三角不等式から |z| ≥ 1 なので z ≠ 0 です。したがって w ≠ 0、z = 1/w として、

|1/w - 2| = 1
|1 - 2w| = |w|
(1 - 2u)² + 4v² = u² + v²
3u² + 3v² - 4u + 1 = 0
(u - 2/3)² + v² = 1/9

と変形します。両辺が0以上のため二乗は同値です。この円は原点を通らず、任意の点で z = 1/w が定義されます。逆に円の式から |1 − 2w| = |w| が成り立ち、|z − 2| = 1 に戻ります。答えは中心 2/3、半径 1/3 の円全体です。例えば右端 w = 1 は z = 1、左端 w = 1/3 は z = 3 に対応します。

4. 不等号と端点を戻す

w = 1 は不可能であり、w ≠ 1 なら

z = 2(w + 1)/(w - 1)
|z| = 2 ⇔ |w + 1| = |w - 1|

です。よって w = vi、v は実数です。これを逆の式に代入すると、

z = 2(vi + 1)/(vi - 1)
z = 2(v² - 1)/(v² + 1) - 4vi/(v² + 1)
Im z = -4v/(v² + 1)

です。分母は正なので Im z ≥ 0 は v ≤ 0 と同値です。任意の v ≤ 0 に対し、逆の式は |z| = 2 と Im z ≥ 0 を満たし、z − 2 = 4/(vi − 1) ≠ 0 です。元の式へ戻るため、答えは虚軸の Im w ≤ 0 の部分です。端点 w = 0 は z = -2 に対応して含まれます。z = 2 は元の分母を0にし、有限の像を持ちません。

5. 像の候補と実現を両方調べる

|z| = 1 なので z ≠ -2 です。また w = 1 なら z − 2 = z + 2 となり矛盾します。w ≠ 1 のとき

w(z + 2) = z - 2
(w - 1)z = -2(w + 1)
z = -2(w + 1)/(w - 1)
|z| = 1 ⇔ 2|w + 1| = |w - 1|

です。w = u + vi として両辺を二乗し、

4((u + 1)² + v²) = (u - 1)² + v²
3u² + 10u + 3v² + 3 = 0
(u + 5/3)² + v² = 16/9

を得ます。円の右端は -1/3 なので w = 1 は円上にありません。逆にこの円上の任意の w は w ≠ 1 で、上の逆の式から |z| = 1 が成立します。z + 2 = -4/(w − 1) ≠ 0 で、元の分数式にも戻ります。答えは |w + 5/3| = 4/3 の円全体で、w = 1 は含まれません。z = 1 は w = -1/3、z = -1 は w = -3 に対応し、いずれも円上です。

答案を点検する順

• 元の分母が0になる z を定義域から外します。
• 逆の式を出す前に、その分母が0になる w を元の式で調べます。
• 円や直線の候補に不等式と除外点を重ねます。
• 候補上の任意の点を逆算し、元の条件と分数式に戻します。
• 端点や空いた点を図と答えの両方で照合します。

途中式は正しいのに軌跡が広すぎる場合、分母を払う直前に記した条件が最後まで残っているか見直します。範囲が逆になる場合は、逆の式の実部・虚部を分け、分母の正負を確かめます。個別指導では、候補上の点を1つ選んで元の z を求める説明と、端点を含む理由を本人の言葉で確認します。逆算で戻れる点の集合が、求める軌跡です。