高校数学III・C 区分求積と和の極限—刻み幅を見つけて積分へ直す答案の順を整える｜武蔵野個別指導塾

和の係数を分割幅に対応させ、分母の整理と連続性の確認を経て定積分へ進む答案の順序をたどります。

よくあるのは、理系高3の演習で、和の前にある係数を見ても、それがどの区間の幅なのか結びつけられない場面です。項の中に k/n があると積分に近そうですが、積分区間や幅を決めないまま答えを書くと、式の値が偶然合っても理由が残りません。和の形を読み替え、定積分の条件を示し、元の和との対応を最後まで追う方法を考えます。

どの形から区間を探すか

まず、1/n が和の外にあり、各項が k/n の関数になっている形です。k が 1 から n までなら、0 から 1 を n 等分した右端の値として読めます。たとえば 1/n と k/n を別々に眺めるのでなく、幅と標本点の組として見ます。

次に、2/n など別の係数があり、項の中に 1 + 2k/n のような式がある形です。隣り合う標本点の差が 2/n なので、区間は 1 から 3 です。和の係数と標本点の差が等しいか確認すれば、上下の端を見誤りにくくなります。

最後に、n Σ[k=1..n] 1/(n² + k²) のように幅が隠れている形です。分母から n² をくくり、外の n と合わせれば 1/n が現れます。分母が区間で 0 にならないことを確認してから関数を決めると、定積分へ移す根拠が明確になります。ここでは等間隔の分割を扱い、不等間隔には立ち入りません。

幅、標本点、連続性を一組にする

実数 a < b に対し、区間 [a, b] を n 等分すると幅は Δx = (b − a)/n です。右端を使うと k 番目の標本点は xₖ = a + kΔx で、k は 1 から n まで動きます。最初の点は a + Δx、最後の点は b です。左端なら k は 0 から n − 1 までで、最初が a、最後が b − Δx になります。

関数 f が閉区間 [a, b] で連続なら、右端の値を使う区分求積の和について、次が成り立ちます。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] f(a + kΔx)Δx
= ∫[a→b] f(x) dx

図1のように、幅 Δx と高さ f(xₖ) を組にすると、和の各項は長方形の符号つき面積に対応します。f が負の場所では高さを正の面積として数えるのでなく、定積分の符号を含めて扱います。連続性は、この等間隔の和が定積分に近づくことを使うための条件です。

図1の x(k) は xₖ と同じ標本点です。図1の区間では、点の間隔が幅そのものです。答案では「xₖ = a + kΔx」「f は [a, b] で連続」と書き、和を定積分に直す等式を置きます。和の外の係数が幅の定数倍なら、その定数倍を積分の外へ残します。係数が異なることを無視して幅と呼んではいけません。

端点の扱いも重要です。右端の和と左端の和の差は、幅に f(b) − f(a) を掛けたものです。端点の値は有限で幅は 0 に近づくので、この差も 0 に近づきます。ただし、有限の n で両者が等しいと主張することはできません。

基本例題：平方の和を長方形で読む

正の整数 n に対して次の極限を求め、答えを分数で表してください。

lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (k/n)²

まず、xₖ = k/n と置きます。k が 1 から n まで動くので、xₖ は [0, 1] を n 等分したときの右端です。隣り合う点の差は 1/n で、和の前の係数に等しくなります。f(x) = x² は [0, 1] で連続なので、区分求積を使えます。

図2では n = 4 とし、右端の高さを使う4つの長方形を示しています。右端を使うので、増加する曲線の上側にはみ出す部分があります。図2は有限個の場合の対応を示す図であり、4個の面積が求める極限そのものという意味ではありません。

答案は次のようにつながります。

Δx = 1/n,  xₖ = k/n
lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (k/n)²
= ∫[0→1] x² dx
= [x³/3]₀¹
= 1/3

和を展開しても確認できます。平方和の公式を用いると、元の和は次の式です。

(1/n³) Σ[k=1..n] k²
= n(n + 1)(2n + 1)/(6n³)
= (1 + 1/n)(2 + 1/n)/6

n を大きくすると 1/3 に近づきます。これは元の和からの別の確認です。答案では、計算が合うことに加え、どの区間をどの幅で分割したかを示します。

標準例題：分母を整理して関数を決める

次の極限を、対数を含む正確な式で求めてください。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] 1/(2n + k)

各分母は k が 1 から n までのとき正です。n をくくると、隠れていた幅が現れます。

1/(2n + k)
= (1/n)・1/(2 + k/n)

よって xₖ = k/n、Δx = 1/n と置けば、区間は [0, 1] です。f(x) = 1/(2 + x) の分母はこの区間で 2 以上なので、f は連続です。和から積分への移行を明記します。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] 1/(2n + k)
= lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] 1/(2 + k/n)
= ∫[0→1] 1/(2 + x) dx
= [log(2 + x)]₀¹
= log 3 - log 2
= log(3/2)

ここで log は自然対数です。微分すると log(2 + x) の導関数は 1/(2 + x) であり、区間の両端でも分母は正です。元の和では k = 1 から n までの各項が正で、結果 log(3/2) も正になります。この符号の照合は、積分の上下端を逆にした誤りを見つける手掛かりです。

分母の整理前に 1/(2n + k) を単に 1/(2 + x) に置き換えると、1/n が抜け落ちます。逆に 1/n を残したうえで和の前にもう一度付けると、今度は余分です。各項の等式を一行書けば、係数を重複させずに済みます。

発展例題：外の n と分母の n² を合わせる

次の極限を π を用いた正確な式で求めてください。

lim[n→∞] n Σ[k=1..n] 1/(n² + k²)

分母を n² でくくって、外の n を各項に掛けます。n は正なので、この変形で 0 による割り算は生じません。

n・1/(n² + k²)
= n・1/{n²(1 + (k/n)²)}
= (1/n)・1/(1 + (k/n)²)

ここで f(x) = 1/(1 + x²) とすると、[0, 1] で分母は 1 以上です。したがって f は連続で、xₖ = k/n と Δx = 1/n による右端の和を定積分に直せます。

lim[n→∞] n Σ[k=1..n] 1/(n² + k²)
= ∫[0→1] 1/(1 + x²) dx

この積分は x = tan θ と置換して求めます。x が 0 から 1 まで動くとき、θ は 0 から π/4 まで動き、この区間で tan θ は連続かつ単調に増加します。また dx/dθ = 1/cos² θ、1 + tan² θ = 1/cos² θ です。

∫[0→1] 1/(1 + x²) dx
= ∫[0→π/4] {1/(1 + tan² θ)}・(1/cos² θ) dθ
= ∫[0→π/4] 1 dθ
= π/4

元の和を確認すると、1 ≦ k ≦ n だから n² ≦ n² + k² ≦ 2n² です。各項は正で、全体は 1/2 以上 1 以下になります。π/4 はこの範囲にあり、係数や符号の大きな取り違えはありません。この範囲の確認は極限値が π/4 である証明の代わりではなく、積分計算後の点検です。

誤答を幅まで戻して直す

次のような答案を考えます。標準例題の和を見て「k/n を x とするから、極限は ∫[0→1] 1/(2 + x) dx」と書き、結果を log(3/2) としました。結論は合っていますが、どの因子が幅で、なぜ積分に移せるかが見えません。図3のように、式を幅と高さに分けてから根拠を補います。

修正では、まず 1/(2n + k) = (1/n)・1/(2 + k/n) と書きます。次に 1/n が [0, 1] の分割幅であり、k/n が右端であると示します。最後に分母が区間内で正なので関数は連続だと述べてから積分します。

別の誤りは、Σ の中の各項が 0 に近づくことから和全体も 0 に近づくとするものです。項数 n も増えるので、有限個の和に使う極限の性質をそのまま適用できません。標準例題では各項は小さくなっても、幅 1/n の長方形が n 個並び、全体は正の積分に近づきます。

さらに、標本点の最初が 1/n だから積分の下端も 1/n と固定する誤りがあります。1/n は n に依存する最初の右端で、分割される区間の左端は 0 です。有限の和の標本点と、固定した積分区間の端点を分けて書きます。

練習問題

いずれも n は正の整数です。各極限を求め、指定された形で答えてください。最初に5問を解き、幅と連続性をそれぞれ答案に残してください。

1. lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (1 + 2k/n)² を分数で表してください。
2. lim[n→∞] (2/n) Σ[k=1..n] (e の 2k/n 乗) を e を含む正確な式で表してください。
3. lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] √(1 + k/n) を根号を含む正確な式で表してください。
4. lim[n→∞] Σ[k=1..n] k/(n² + 2nk) を自然対数を含む正確な式で表してください。
5. lim[n→∞] (2/n) Σ[k=1..n] (1 + 2k/n)³ を整数で表してください。

練習の解答と確認

1. xₖ = k/n、Δx = 1/n とすると、f(x) = (1 + 2x)² は [0, 1] で連続です。係数は分割幅と一致します。

lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] (1 + 2k/n)²
= ∫[0→1] (1 + 2x)² dx
= ∫[0→1] (1 + 4x + 4x²) dx
= [x + 2x² + 4x³/3]₀¹
= 1 + 2 + 4/3
= 13/3

元の高さは 1 から 9 の間にあり、幅の合計は 1 です。13/3 はその範囲にあります。

2. xₖ = 2k/n は [0, 2] の右端で、幅は 2/n です。指数関数はこの閉区間で連続です。

lim[n→∞] (2/n) Σ[k=1..n] (e の 2k/n 乗)
= ∫[0→2] eˣ dx
= [eˣ]₀²
= e² - 1

導関数が eˣ であることと、元の高さが正で答えも正であることを照合します。

3. xₖ = k/n、Δx = 1/n です。1 + x は [0, 1] で正なので、f(x) = √(1 + x) は連続です。t = 1 + x と置くと、t は 1 から 2 まで動きます。

lim[n→∞] (1/n) Σ[k=1..n] √(1 + k/n)
= ∫[0→1] √(1 + x) dx
= ∫[1→2] √t dt
= [2t√t/3]₁²
= (2/3)(2√2 - 1)

原始関数 2t√t/3 を微分すると √t に戻ります。元の高さは 1 以上なので、正の答えであることも一致します。

4. n² + 2nk は正です。n² で分母をくくり、分子も n(k/n) とすると、各項を次の形にできます。

k/(n² + 2nk)
= (1/n)・(k/n)/(1 + 2k/n)

f(x) = x/(1 + 2x) は [0, 1] で分母が正なので連続です。x/(1 + 2x) = (1/2){1 − 1/(1 + 2x)} を使います。

lim[n→∞] Σ[k=1..n] k/(n² + 2nk)
= ∫[0→1] x/(1 + 2x) dx
= (1/2)∫[0→1] {1 - 1/(1 + 2x)} dx
= [x/2 - log(1 + 2x)/4]₀¹
= 1/2 - log 3/4

導関数は 1/2 − 1/{2(1 + 2x)} = x/(1 + 2x) です。元の各項も積分する関数も正なので、結果が正であることと整合します。

5. xₖ = 1 + 2k/n は [1, 3] の右端で、幅は 2/n です。f(x) = x³ は [1, 3] で連続です。

lim[n→∞] (2/n) Σ[k=1..n] (1 + 2k/n)³
= ∫[1→3] x³ dx
= [x⁴/4]₁³
= (81 - 1)/4
= 20

幅の合計は 2 で、元の高さは 1 以上 27 以下です。答え 20 は和全体の範囲 2 以上 54 以下にあります。

答案を点検する順番

区間の左端と右端を決め、標本点の差を幅にします。
各項を「幅 × 関数値」に直し、余分な係数を外へ出します。
区間での連続性を確認し、定積分へ移る等式を書きます。
積分を計算したら、元の和の符号や大きさに戻して照合します。

式が積分に見えても先へ進めないときは、隣の標本点との差を書き出してください。そこが合うのに答えがずれるなら、係数の二重計上か積分区間を調べます。個別指導では、本人の答案にある最初の変形を使い、幅、右端、連続性のどこで根拠が切れたかを一緒に確かめます。和の一項と分割の一幅を対応させると、極限への一行に理由が残ります。