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高校数学II 因数定理と係数決定—零になる条件を使って因数を確定する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 式と証明・複素数と方程式単元別

零点への代入で文字係数を決め、組立除法の余りと逆展開を照合して、各因数の成立を検証します。

よくあるのは、高2の高校生が整式にある数を代入し、値が零でないのに、その数に対応する一次式を因数と決めてしまう場面です。代入した数と因数の符号を見間違えることもあれば、係数を決める前に割り算を進めることもあります。因数の候補は、見た目が似ているだけでは確定しません。代入値を計算し、零という条件を式にしてから、積に戻して確かめましょう。

因数定理を使う方程式は数学IIの学習範囲に含まれます。ここでは因数の条件から係数を決めるところを中心に扱い、一般の三次方程式の解の公式には進みません。

条件の出され方を見分ける

1つ目は、因数が指定されて未知係数を決める型です。「x − a を因数にもつ」という文から P(a) = 0 を作ります。求めた係数を戻した後、商を求めると因数分解までつながります。候補を得る条件と、実際に積が元に戻る確認を分けて書くと、計算の誤りを見つけやすくなります。

2つ目は、異なる2つの因数が指定される型です。それぞれの零点を代入して2本の式を作り、未知係数を連立して求めます。2つの文を同じ代入値に直してしまうと、条件が1本しか得られません。因数の符号を先に囲んで、零点を書き出してください。

3つ目は、係数が決まるとは限らない型です。条件を整理した結果、矛盾が出れば該当する値はなく、同じ式ばかり残れば条件だけでは値を1つに絞れません。割り算で文字を消す前に、その文字が零の場合も調べます。零で割る操作はできないためです。

零点と因数の橋渡し

整式 P(x) を x − a で割ると、商を Q(x)、定数の余りを r として P(x) = (x − a)Q(x) + r と書けます。x = a を代入すれば P(a) = r です。余りが零であることと x − a が因数であることは同じなので、P(a) = 0 と因数の条件は行き来できます。これが因数定理です。

図1のように、因数から零点に進むときは、一次式自体を零とおいて解きます。逆に零点から因数に戻すときは x からその数を引きます。a が負なら、引き算の結果はプラスになります。

図1の対応は両方向に使えます。たとえば x + 2 が因数なら零点は -2 で、P(-2) = 0 です。P(2) = 0 と書いてしまうと、確かめているのは x − 2 の方です。さらに 2x − 1 の零点は 1/2 なので、因数条件は P(1/2) = 0 です。2x − 1 は 2(x − 1/2) ですから、零でない定数倍の違いは因数かどうかに影響しません。

未知係数を求めるとき、まず P(a) = 0 を必要条件として解きます。その後、得られた値で実際に P(a) = 0 が成立することを戻して確認します。最後に商との積を展開すれば、因数分解の計算も別の方向から点検できます。条件式を解く途中で文字を含む式で割る場合は、その式が零のときを先に分ける必要があります。

条件が決まらない場合の読み方

条件式が 0 = 0 に整理された場合は、計算が失敗したとは限りません。その条件は考えている係数のどの値でも成り立ち、係数を絞る情報を与えていないことがあります。別の条件があればそちらも使い、なければ「任意の実数」と答えられるか元の式への代入で調べます。反対に 0 = 5 のような矛盾が残れば、その条件を満たす係数はありません。

因数の指定と余りの指定も区別します。たとえば P(a) = 5 なら x − a で割った余りは 5 であり、その一次式は因数ではありません。商がきれいな係数で書ける場合でも余りは消えません。割り算が途中で合わなくなったら、抜けた次数の零、掛ける数の符号、最後の余りを順に点検し、元の整式に戻して確かめます。

基本例題：1つの因数から係数へ

P(x) = x³ + kx² − 4x + 4 が x − 2 を因数にもつとき、実数 k を求め、P(x) を因数分解してください。係数は整数で答えます。

x − 2 の零点は 2 です。因数定理から P(2) = 0 なので、順に代入します。

P(2) = 2³ + k・2² - 4・2 + 4
     = 8 + 4k - 8 + 4
     = 4k + 4
4k + 4 = 0
k = -1

したがって P(x) = x³ − x² − 4x + 4 です。この式の係数を 1, -1, -4, 4 と並べ、2 を使って組立除法を行います。最高次の係数 1 を下ろし、2 を掛けて次の係数に足す操作を繰り返します。

図2のように下段は 1, 1, -2, 0 となります。最後の零は余りで、手前の3つは商 x² + x − 2 の係数です。よって次のように因数分解できます。

P(x) = (x - 2)(x² + x - 2)
     = (x - 2)(x + 2)(x - 1)

元の条件に戻すと、k = -1 のとき P(2) = 8 − 4 − 8 + 4 = 0 です。また (x − 2)(x² + x − 2) を展開すると x³ − x² − 4x + 4 に戻ります。余りが零でも商の符号を誤ることはあるので、積の確認には意味があります。

組立除法は x − a で割る筆算を係数だけにしたものです。欠けた次数があるときも、その係数を零として並べます。最後の数を商の定数項と読み違えると次数が1つ増えてしまうため、余りを区切って読みます。

標準例題：2つの条件を同時に満たす

P(x) = x³ + ax² + bx + 6 が x − 1 と x + 2 の両方を因数にもつとき、実数 a, b を求め、P(x) を因数分解してください。係数は整数で答えます。

零点はそれぞれ 1 と -2 です。因数定理により2つの代入値がともに零になります。

P(1) = 1 + a + b + 6 = 0
a + b = -7
P(-2) = -8 + 4a - 2b + 6 = 0
4a - 2b = 2
2a - b = 1

2本の式を足して b を消します。

(a + b) + (2a - b) = -7 + 1
3a = -6
a = -2
b = -7 - a
b = -5

P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 です。x − 1 で割ると商は x² − x − 6 なので、

P(x) = (x - 1)(x² - x - 6)
     = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

答えは a = -2、b = -5 です。元の条件に戻すと P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0、P(-2) = -8 − 8 + 10 + 6 = 0 です。商を展開した積も元の係数 1, -2, -5, 6 に一致します。

別の考え方では、異なる因数 x − 1 と x + 2 を先に掛け、残りを最高次係数が 1 の一次式 x + c と置けます。このとき定数項が (-1)・2・c = 6 なので c = -3 です。展開すれば同じ a, b が出ます。ただし2つの条件が同じ因数を繰り返している場合、この置き方はそのまま使えません。異なる因数であることを確認してから使います。

発展例題：割る前に零の場合を分ける

実数 t に対し、P(x) = x³ + (t − 2)x² − 2tx が x − t を因数にもつとき、t をすべて求め、それぞれ因数分解してください。t は整数で答えます。

因数の零点は t です。係数にも t が入っていますが、同じ値を x に代入します。

P(t) = t³ + (t - 2)t² - 2t²
     = 2t³ - 4t²
     = 2t²(t - 2)

積が零になるのは t = 0 または t = 2 のときです。t² で割って t = 2 だけを残すと、t = 0 を失います。2 は零でない定数ですが、t は零になり得る文字だからです。

t = 0 のとき P(x) = x³ - 2x²
                       = x²(x - 2)
t = 2 のとき P(x) = x³ - 4x
                       = x(x - 2)(x + 2)

t = 0 では指定因数 x − t は x であり、P(0) = 0 です。t = 2 では指定因数は x − 2 であり、P(2) = 8 − 8 = 0 です。どちらも展開するとそれぞれの元の整式に戻ります。積の各因子が零となる場合を尽くしたので、他の実数 t は条件を満たしません。

零でない値を因数と結びつけたら

R(x) = x³ − 2x² + x + 3 について、x − 1 を因数と考えた答案を点検します。誤答は「1 を代入すると 1 − 2 + 1 + 3 = 3 だから、x − 1 が因数」です。計算した値 3 は零ではありません。

図3のように、R(1) = 3 は割り算の余りが 3 という意味です。したがって x − 1 は因数ではありません。原因は代入した事実と、代入値が零である事実を混同したことです。判定欄に「零か」を書き、3 と 0 を比べてから結論に進みます。

逆に R(-1) が零でも、それで示せる因数は x + 1 です。代入値の符号を因数へ写す際に反転する点も確かめます。割った結果の余りが零でないときは、無理に積にせず「割る式・商 + 余り」の形で元に戻してください。余りを捨てれば、別の整式を扱うことになります。

手を動かす5問

各問の文字は実数です。係数や値は整数または分数で答え、因数分解を求める問は整数係数の因数の積で答えてください。

P(x) = x³ + ax² + 2x − 8 が x − 2 を因数にもつとき、a を求め、P(x) を因数分解してください。
Q(x) = x³ + bx² − x + 3 が x + 1 を因数にもつとき、b を求め、Q(x) を因数分解してください。
R(x) = x³ + ax² + bx − 12 が x − 2 と x + 3 を因数にもつとき、a, b を求め、因数分解してください。
S(x) = 2x³ + kx² − 5x + 2 が 2x − 1 を因数にもつとき、k を求め、因数分解してください。
T(x) = x³ + (u − 3)x² − 3ux が x − u を因数にもつとき、u をすべて求め、それぞれ因数分解してください。

解答と確かめ

P(2) = 8 + 4a + 4 − 8 = 4a + 4 です。これを零とすると a = -1 です。

P(x) = x³ - x² + 2x - 8
     = (x - 2)(x² + x + 4)

P(2) = 8 − 4 + 4 − 8 = 0 で、積を展開しても元の式に戻ります。二次因子を整数係数の一次式に分けようとしても、積が4で和が1の整数の組はありません。

Q(-1) = -1 + b + 1 + 3 = b + 3 です。したがって b = -3 です。

Q(x) = x³ - 3x² - x + 3
     = (x + 1)(x² - 4x + 3)
     = (x + 1)(x - 1)(x - 3)

Q(-1) = -1 − 3 + 1 + 3 = 0 です。積の展開では x² の係数が -3、x の係数が -1 に戻ります。

R(2) = 8 + 4a + 2b − 12 = 0、R(-3) = -27 + 9a − 3b − 12 = 0 より、

2a + b = 2
3a - b = 13
5a = 15
a = 3
b = -4
R(x) = x³ + 3x² - 4x - 12
     = (x - 2)(x + 2)(x + 3)

R(2) = 8 + 12 − 8 − 12 = 0、R(-3) = -27 + 27 + 12 − 12 = 0 です。積を展開すると定数項も -12 に戻ります。

2x − 1 の零点は 1/2 です。したがって S(1/2) = 0 を使います。

S(1/2) = 2・(1/8) + k・(1/4) - 5/2 + 2
       = (k - 1)/4
k = 1
S(x) = 2x³ + x² - 5x + 2
     = (2x - 1)(x² + x - 2)
     = (2x - 1)(x + 2)(x - 1)

元の条件に戻すと S(1/2) = 1/4 + 1/4 − 5/2 + 2 = 0 です。展開すると最高次の係数も 2 に戻ります。

T(u) = u³ + (u − 3)u² − 3u² = 2u²(u − 3) です。よって u = 0 または u = 3 です。

u = 0 のとき T(x) = x³ - 3x²
                       = x²(x - 3)
u = 3 のとき T(x) = x³ - 9x
                       = x(x - 3)(x + 3)

それぞれ T(0) = 0、T(3) = 27 − 27 = 0 で、指定された因数をもちます。両方の積を展開すると各場合の元の式に戻ります。u で割らず、零の場合も残すことが要点です。

手元に残すこと

x − a が因数である条件は P(a) = 0 です。
零点を一次式から求め、符号を確認します。
係数を決めたら代入と逆展開で戻します。
文字で割る前に、その文字が零の場合を分けます。

つまずきを見つける問い

「x + 2 を因数にもつなら何を代入しますか」と尋ねて 2 と答えたら、まず x + 2 = 0 を解いてもらいます。零点 -2 と因数を矢印で往復させると、符号の変化を自分の言葉で説明できます。計算が合っていても結論が違う場合には、「その代入値は零ですか」と問い直し、余りと因数の関係を確認します。

個別指導で答案を見直すときは、P(a) = 0 を作る行と、求めた係数を P(a) に戻す行を別々に指してもらいます。後者が抜けていれば、候補が条件を満たすか確かめる練習が必要です。文字で割った行があれば、割った文字が零でもよいかを尋ねます。因数の確定は、零点と積の両方を元の式に戻して締めくくれます。