高校数学II 剰余の定理—割る一次式の零点を選び余りを求める｜武蔵野個別指導塾

一次式の零点を整式へ代入する理由と、割る式の係数が0になる場合を比べ、余りを求める判断の根拠を確かめられます。

よくあるのは、高2の高校生が整式を一次式で割るとき、割る式の定数をそのまま代入してしまう場面です。例えば x + 2 の定数は 2 ですが、代入するのは -2 です。なぜ符号が変わるのかを、暗記の規則で終わらせず、割り算の等式に戻って考えましょう。係数が 1 でない一次式でも、同じ見方が使えます。

数学IIの整式の除法に含まれる内容として、ここでは一次式で割ったときの余りを扱います。二次式で割る余りや、因数を使った高次方程式の解法には立ち入りません。

どの値を求める問いか

第一の型は、整式と割る一次式が与えられ、余りを直接求める問いです。割る式を零にする値を先に求め、その値を整式に代入します。割る式が x − a なら代入する値は a ですが、x + a なら -a です。符号を見ただけで決めず、割る式に戻して零になるか調べると取り違えを防げます。

第二の型は、余りの条件から整式に含まれる文字を決める問いです。余りが指定されていれば、それは零点での整式の値を指定したことになります。未知数が決まった後には、指定された余りへ戻るか確認します。

第三の型は、割る式に文字があり、一次式として使える条件から調べる問いです。x の係数が零なら一次式ではなくなり、通常の手順をそのまま適用できません。条件を見落とすと、存在しない零点を使ったり、零で割ったりします。

割り算の等式から見る零点

整式 P(x) を x − a で割った商を Q(x)、余りを r とします。割る式は一次なので、余りの次数は 1 より小さく、余りは定数です。余りが零の場合も r = 0 と表します。整式の除法から、次の等式が成り立ちます。

P(x) = (x - a)Q(x) + r
P(a) = (a - a)Q(a) + r
P(a) = r

これが剰余の定理です。割る式が零になる値を代入することで、商を求めなくても余りが残ります。P(a) は「x に a を代入した値」であり、割った商ではありません。a が負数や分数でも、整式にはそのまま代入できます。

図1のように、割る式から零点を選び、元の整式へ代入します。商の項が消える理由も、矢印の途中にある等式で確かめられます。

図1の r は余りで、a は割る式 x − a の零点です。一般に割る式が cx − d で c が零でなければ、cx − d = 0 を解いて x = d/c を得ます。このとき cx − d = c(x − d/c) ですから、割り算の等式に d/c を代入しても商の項は消え、余りは P(d/c) です。係数 c を余りに掛けたり、余りを c で割ったりする必要はありません。

逆に c = 0 なら、d が零でない場合は割る式が零でない定数です。定数で割ったときは P(x) = (-d){P(x)/(-d)} + 0 と表せ、余りは零です。ただし、これは一次式の零点を使う定理の適用ではありません。c = 0 かつ d = 0 なら割る式そのものが零なので、割り算は定義されません。零点を求める前に、何で割っているかを見てください。

基本例題：符号を確かめてから代入する

P(x) = x³ − 2x² + 3x − 4 を x + 2 で割った余りを、整数で求めてください。

まず割る式を零にします。図2のように、定数 2 をそのまま入れるのではなく、式 x + 2 が消える値を選びます。

x + 2 = 0
x = -2
P(-2) = (-2)³ - 2(-2)² + 3(-2) - 4
      = -8 - 8 - 6 - 4
      = -26

したがって余りは -26 です。負数の三乗は負、二乗は正であることを、それぞれ括弧を残して確認します。図2の右端にある値は余りであり、途中の -2 は余りではなく代入する値です。

元の割り算の形へ戻して確かめます。商を x² − 4x + 11 とすると、

(x + 2)(x² - 4x + 11) - 26
= x³ - 4x² + 11x + 2x² - 8x + 22 - 26
= x³ - 2x² + 3x - 4
= P(x)

余り -26 は定数なので次数の条件も満たします。もし 2 を代入すると P(2) = 2 になりますが、x + 2 は x = 2 で零になりません。その値は別の割る式 x − 2 に対応する余りであり、今回の答えではありません。

標準例題：係数が 1 でない一次式

P(x) = 4x³ − 3x² + 2x + 5 を 2x − 1 で割った余りを、分数または整数で求めてください。

2x − 1 の零点は、定数項 -1 でも 1 でもありません。方程式を解いてから代入します。

2x - 1 = 0
2x = 1
x = 1/2
P(1/2) = 4(1/2)³ - 3(1/2)² + 2(1/2) + 5
       = 1/2 - 3/4 + 1 + 5
       = 23/4

よって余りは 23/4 です。分数になっても余りは定数であり、整式の除法の条件を満たします。割る式の係数が 2 だからといって 23/4 を 2 で割る操作は要りません。商を Q(x) とすれば、P(x) = (2x − 1)Q(x) + r の両辺に 1/2 を代入した時点で、右辺は r そのものになるからです。

実際に商を求めて戻すと、次のようになります。

P(x) = (2x - 1)(2x² - x/2 + 3/4) + 23/4
     = 4x³ - x² + 3x/2 - 2x² + x/2 - 3/4 + 23/4
     = 4x³ - 3x² + 2x + 5

これで元の整式に戻りました。分数の計算が不安な場合には、最後の定数項が -3/4 + 23/4 = 5 になることまで見ます。商の式まで求める方法は確認に使えますが、余りだけが必要なときには零点への代入で答えを出せます。

発展例題：余りの条件から文字を決める

P(x) = x³ + mx² − 2x + 1 とします。P(x) を 3x + 6 で割った余りが 11 のとき、実数 m を求めてください。また、求めた m について商と余りを使い、元の式に戻してください。

割る式の x の係数は 3 で零ではないため、一次式です。零点と余りの条件を順に書きます。

3x + 6 = 0
x = -2
P(-2) = 11
(-2)³ + m(-2)² - 2(-2) + 1 = 11
-8 + 4m + 4 + 1 = 11
4m - 3 = 11
4m = 14
m = 7/2

条件から得た答えは m = 7/2 です。条件を立てる段階では、余り 11 を x に代入してはいけません。11 は P(-2) の値で、入力する数は割る式を零にする -2 です。

求めた値が条件を満たすか、元の整式に戻します。

P(-2) = (-2)³ + (7/2)(-2)² - 2(-2) + 1
      = -8 + 14 + 4 + 1
      = 11

さらに商を使うと次の等式になります。

P(x) = (3x + 6)(x²/3 + x/2 - 5/3) + 11
     = x³ + (3/2)x² - 5x + 2x² + 3x - 10 + 11
     = x³ + (7/2)x² - 2x + 1

確かに指定された整式へ戻り、余りは 11 です。代入で得た方程式は m について一次で、係数 4 は零ではありません。そのため求めた m 以外に条件を満たす値はありません。

別の見方として、3x + 6 = 3(x + 2) なので、x + 2 で割る場合も零点は -2 です。商は割る式の定数倍に応じて変わりますが、零点での P の値である余りは変わりません。この区別は、割る式を定数倍したときに余りも同じ倍率で変えてしまう誤りを防ぎます。

誤答をほどく：定数項と零点

P(x) = x² + x + 1 を x + 3 で割るとき、「定数項が 3 なので P(3) = 13 が余り」とするのは誤りです。原因は割る式の数字を見て入力値にしており、その値で割る式が消えるか確かめていないことです。

図3のように、まず x + 3 = 0 を解きます。3 を入れると割る式は 6、-3 を入れると零です。商の項を消せるのは後者です。

修正すると、余りは P(-3) = 9 − 3 + 1 = 7 です。実際に P(x) = (x + 3)(x − 2) + 7 と戻せます。P(3) = 13 自体は正しい計算ですが、x − 3 で割った余りに対応します。計算結果だけを直すのではなく、割る式を零にするという選び方を直しましょう。

もう一つの失敗は、零点が分数のときに係数を忘れて定数項の符号だけを変えることです。例えば 4x + 1 の零点は -1 ではなく -1/4 です。-1 を戻せば 4(-1) + 1 = -3 となり、零にはなりません。零点の確認は、分数の代入に進む前に終えておくと手戻りが減ります。

余りが零になった場合も失敗ではありません。零を残した割り算の等式が成立するかを確認します。一方、割る式が零そのものになった場合は、余りを零と決めることもできません。零で割る操作が定義されないため、割り算の条件から見直します。

練習：まず問題を解く

各問で、余りや文字の値は整数または既約分数で答えてください。問題4と5は、条件の対象となる実数の範囲を明記してください。

1. P(x) = 2x³ + x² − 5x + 3 を x − 2 で割った余りを求めてください。
2. P(x) = 3x² − 4x + 2 を 3x + 2 で割った余りを求めてください。
3. P(x) = x³ + kx − 6 を x + 1 で割った余りが -3 です。実数 k を求めてください。
4. P(x) = x² − 5x + 6 を x − a で割った余りが零です。実数 a をすべて求めてください。
5. P(x) = x² + 2x + 4 を tx − 2 で割ります。実数 t について、一次式として割れる場合の余りを t の式で表し、一次式でない場合の割り算も調べてください。

答えと戻し方

1. 零点は 2 です。よって

P(2) = 2・2³ + 2² - 5・2 + 3
     = 16 + 4 - 10 + 3
     = 13

余りは 13 です。商を用いると P(x) = (x − 2)(2x² + 5x + 5) + 13 です。展開して定数項が -10 + 13 = 3 に戻ることまで確かめます。

2. 3x + 2 = 0 から零点は -2/3 です。

P(-2/3) = 3(-2/3)² - 4(-2/3) + 2
        = 4/3 + 8/3 + 2
        = 6

余りは 6 です。P(x) = (3x + 2)(x − 2) + 6 と展開で戻せます。分母の 3 は零点を求めるときに現れますが、得た余りをさらに 3 で割る必要はありません。

3. 零点は -1 なので P(-1) = -3 と置きます。

-1 - k - 6 = -3
-k - 7 = -3
-k = 4
k = -4

元の条件へ戻すと P(-1) = -1 + 4 − 6 = -3 です。また P(x) = (x + 1)(x² − x − 3) − 3 と表せます。したがって k = -4 です。

4. P(a) = 0 を解きます。

a² - 5a + 6 = 0
(a - 2)(a - 3) = 0
a = 2 または a = 3

両方とも実数です。P(2) = 4 − 10 + 6 = 0、P(3) = 9 − 15 + 6 = 0 で、どちらも元の余りの条件に戻ります。二次式の因数の積が零になるのは示した場合なので、他の実数 a はありません。

5. t ≠ 0 では tx − 2 は一次式で、零点は 2/t です。

P(2/t) = (2/t)² + 2(2/t) + 4
       = 4/t² + 4/t + 4

余りは 4/t² + 4/t + 4 です。実際に

P(x) = (tx - 2)(x/t + 2/t + 2/t²) + 4/t² + 4/t + 4

と展開して元へ戻ります。t = 0 では割る式は -2 という零でない定数です。P(x) = (-2)(-P(x)/2) + 0 と表せるので、定数による割り算の余りは零です。この場合には 2/t を使えません。t がどの実数でも割る式が零そのものになることはありません。

手元に残す4行

• 一次式で割る余りは定数です。
• 割る式を零にする値を、元の整式に代入します。
• ax − b では a ≠ 0 を確かめ、零点 b/a を使います。
• 答えは割る式・商 + 余りの形や元の余りの条件へ戻して確かめます。

つまずきを見分けるには

途中式で P の括弧に入れた値と、割る式の零点を見比べてください。両者が違えば代入前の選択に戻り、同じなら累乗や分数の計算を調べます。余りの条件から文字を求める問題では、「余りは入力か出力か」と自分に尋ねると、P(a) = r の左右の役割を区別できます。

個別指導で確かめるなら、まず割る式に選んだ値を代入して零になるかを書いてもらいます。続いて「この値で商の項が消えるので、残るのが余りです」と説明できるかを聞きます。式は合っていても説明が止まる場合は P(x) = (割る式)Q(x) + r に戻り、消える部分を指で追います。零点の選択と余りの意味が結びつけば、係数や符号が変わっても同じ筋道で判断できます。