高校数学II 3次式の因数分解—和と差の立方を見抜き積の形へ戻す｜武蔵野個別指導塾

符号の誤りを防ぎ、共通因数を抜く順序と展開での逆確認を例題で学びます。因数を選ぶ鍵は立方です。

よくあるのは、高2の高校生が x³ + 8 を因数分解するとき、一次因子を x + 2 と書けたのに、続く二次因子の真ん中もプラスにしてしまう場面です。端の項は合って見えても、掛け戻すと途中の項が消えません。符号を暗記で押し切る前に、どの項同士が打ち消し合うかを追ってみましょう。

ここで扱うのは、2つの立方の和と差、先に共通因数を取り出す操作、積を展開して元に戻す確認です。数学IIの三次式の計算に含まれる内容を使います。方程式の解を探す方法には進まず、式を積の形にすることに集中します。

要点（結論から）

• 2つの項をそれぞれ A³、B³ と見て、底 A、B を決めます。
• 一次因子は元の和・差と同符号、二次因子の中央は逆符号です。
• 二次因子の最後は B² で、和でも差でもプラスです。

どの形を探す問題か

1つ目は、x³ + 8 のように、2項のそれぞれが立方になっている形です。8 は 2³ なので、x と 2 をひとまとまりとして立方和の公式に当てはめます。2項の間がプラスなら、一次因子は和になります。一方、二次因子の真ん中はマイナスです。

2つ目は、27x³ − 1 のような立方差です。27x³ は (3x)³、1 は 1³ と読めます。係数だけでなく文字も含めて立方の底を見つけます。差のときは一次因子が差、二次因子の真ん中がプラスです。

3つ目は、各項に共通する数や文字がある形です。立方の公式を探す前に共通因数を外すと、括弧の中に立方和や立方差が見えてくることがあります。最初から一つの公式に押し込まず、「共通因数」「2つの立方」「符号」の順に眺めると、次の一手を決めやすくなります。

立方の底と符号を対応させる

因数分解は、和や差で書かれた式を、掛け算の形に直すことです。ここでは A、B を整式として、次の2つの等式を使います。A や B は単なる1文字に限らず、数と文字の積でもかまいません。

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)
A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²)

この等式は、どちらも右辺を分配法則で展開すれば確かめられます。例えば和の右辺では、A を掛けた部分が A³ − A²B + AB²、B を掛けた部分が A²B − AB² + B³ です。中央の2組がそれぞれ消え、A³ + B³ が残ります。したがって二次因子の真ん中の符号には、余分な項を消す役割があります。

図1のように、一次因子の符号は元の2項の間と同じです。二次因子の真ん中はその逆、最後の B² はどちらの場合もプラスです。A と B を決めてから記入すると、真ん中の積 AB も取り違えにくくなります。

図1の左右を比べると、変わるのは一次因子と二次因子の真ん中の符号です。最後の平方をマイナスにすると、立方の項も目的の符号で残りません。公式は文字の配置だけでなく、掛け戻したときの消え方と一緒に覚えましょう。

立方の底を探すときは、例えば 64x³ なら 64 = 4³ かつ x³ = (x)³ なので、全体を (4x)³ と見ます。底を 4x と決めたら、その平方は 16x² です。係数 64 の平方を取るのではありません。文字を2種類含む場合も同様で、216p³ と 343q³ はそれぞれ (6p)³、(7q)³ と読めます。

共通因数は、各項を割り切れる数や文字の積です。例えば 10u³ + 80 は 10 を外すと 10(u³ + 8) になり、括弧の中に立方和が現れます。外に出した因数を最後まで残すことも、元の式と等しい形を保つための条件です。

基本例題：立方和の中央を消す

問題　8x³ + 27 を、整数係数の整式の積に因数分解してください。

まず 8x³ = (2x)³、27 = 3³ です。立方の底は A = 2x、B = 3 で、2項の間はプラスです。よって一次因子は 2x + 3、二次因子は A² − AB + B² の順に作ります。

図2のように、底を決めてから平方と積を計算します。底に係数があるので、真ん中の積は x と 3 の積ではなく、2x と 3 の積です。

図2の対応を式に移すと、次のようになります。

8x³ + 27
= (2x)³ + 3³
= (2x + 3){(2x)² - (2x)・3 + 3²}
= (2x + 3)(4x² - 6x + 9)

答えは (2x + 3)(4x² − 6x + 9) です。二次因子に書いた 4x² は 2x の平方、-6x は2つの底の積にマイナスを付けたもの、9 は 3 の平方です。係数と符号を別々に確認してから次へ進みます。

積から出発して展開すると、元の2項に戻ります。

(2x + 3)(4x² - 6x + 9)
= 8x³ - 12x² + 18x + 12x² - 18x + 27
= 8x³ + 27

-x² の項と +x² の項、+x の項と -x の項がそれぞれ同じ大きさで消えています。端の2項だけを見て正しいと判断すると、真ん中の符号の誤りを見逃します。途中に現れる4項まで書けば、なぜ公式が使えたかも確認できます。

二次因子が整数係数でさらに一次式の積に分かれるかも見ておきます。4x² − 6x + 9 は (2x − 3/2)² + 27/4 と書け、実数 x に対して正です。実数係数の一次式の積なら実数の零点を持つため、この二次因子はその形には分かれません。因数分解の最後に残りの形を点検する習慣を付けます。

標準例題：先に共通因数を外す

問題　6x³ − 162 を、整数係数の整式の積に因数分解してください。

両方の項は 6 で割れます。先に 6 を括り出すと、括弧内は x³ − 27 です。ここで 27 = 3³ と読めるので、立方差の公式が使えます。

6x³ - 162
= 6(x³ - 27)
= 6(x³ - 3³)
= 6(x - 3)(x² + 3x + 9)

立方差では一次因子が x − 3、二次因子の真ん中が +3x です。先に取り出した 6 を消さず、積の一部として残します。もし 6 を外さずに2項の立方を無理に探すと、整数の底がすぐに見つからず、手が止まりやすくなります。

掛け戻して検算します。まず括弧内の積から元の差を作り、その後で 6 を掛けます。

6(x - 3)(x² + 3x + 9)
= 6(x³ + 3x² + 9x - 3x² - 9x - 27)
= 6(x³ - 27)
= 6x³ - 162

最後に外側の数まで掛けて、問題の2項に一致したことを確かめます。二次因子は (x + 3/2)² + 27/4 と書けるため、実数係数の一次式の積には分かれません。差だから二次因子の最後もマイナス、という見方では真ん中の項が消えないことにも注意しましょう。

発展例題：2文字の底をそろえる

問題　16x³ + 54y³ を、整数係数の整式の積に因数分解してください。

最初に各項の係数を見ます。16 と 54 の共通因数 2 を外すと、8 と 27 が現れ、どちらも整数の立方です。文字の x³、y³ はそれぞれ底に戻せます。外に出す操作と公式の適用を分けると、2文字でも同じ手順で進められます。

16x³ + 54y³
= 2(8x³ + 27y³)
= 2{(2x)³ + (3y)³}
= 2(2x + 3y){(2x)² - (2x)(3y) + (3y)²}
= 2(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)

A = 2x、B = 3y なので、AB = 6xy です。真ん中の項に x と y の両方が必要です。また B² は 9y² で、3y の文字も二乗します。2文字を別々に因数分解しようとするより、2x と 3y をそれぞれ1つの底として扱うと対応が明確です。

掛け戻すと、元の係数と文字の次数が戻ることまで確認できます。

2(2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)
= 2(8x³ - 12x²y + 18xy² + 12x²y - 18xy² + 27y³)
= 2(8x³ + 27y³)
= 16x³ + 54y³

途中の x²y と xy² は、係数がそれぞれ逆符号で同じ大きさなので消えます。例えば x = 1、y = 1 を代入しても、元の式と答えの両方が 70 になります。ただし1組の代入値が合うことだけでは等式の証明にはなりません。すべての文字について成り立つことは、上の展開で確認しています。

二次因子についても、実数係数の一次式2つの積に分かれるかを調べられます。もし分かれるなら y = 1 としても、定数に落ちる因子がある場合を含め、x の一次式2つの積か一次式になります。しかし 4x² − 6x + 9 は実数の零点を持たない二次式なので、そのような積にはなりません。よって整数係数でもそれ以上一次因子には分かれません。

誤答から消えない項を探す

次の変形は、立方和の真ん中の符号を誤った例です。左辺の底は x と 2 なので、一次因子の x + 2 までは合っています。

誤り: x³ + 8 = (x + 2)(x² + 2x + 4)

図3のように右辺を展開すると、x³ + 4x² + 8x + 8 です。元の式にはない 4x² と 8x が残るので、等号は成り立ちません。例えば x = 1 を代入すると左辺は 9、誤った右辺は 21 で、一致しないことも見えます。

図3で中央の符号を直すと、掛けたときの x² と x の項が逆符号で対になります。修正後の式を1行ずつ確かめます。

x³ + 8
= x³ + 2³
= (x + 2)(x² - 2x + 4)

(x + 2)(x² - 2x + 4)
= x³ - 2x² + 4x + 2x² - 4x + 8
= x³ + 8

原因は、2つの括弧で同じ符号を並べればよいと考えたことです。修正するときは「和なら一次はプラス、二次の真ん中はマイナス」と確認し、さらに展開で消える項まで追います。差の場合も同じ考え方で、一次をマイナスにした分、二次の真ん中をプラスにします。

手を動かす5問

次の式をそれぞれ整数係数の整式の積に因数分解してください。各問で先に共通因数を調べ、答えを展開して元の式に戻しましょう。答えを見る前に、立方の底と2項の間の符号を紙に書いてみてください。

1. 125x³ − 64
2. x³ + 343y³
3. 11x³ + 704
4. 81a³ − 3b³
5. 14x³ − 14x

5は共通因数を外した後、立方の公式に限らず、残った式の形を見て判断します。無理に立方和や立方差の形を作る必要はありません。

解答と確かめ

1. 125x³ = (5x)³、64 = 4³ です。差の公式を使い、二次因子の真ん中をプラスにします。

125x³ - 64
= (5x)³ - 4³
= (5x - 4)(25x² + 20x + 16)

掛け戻すと、125x³ + 100x² + 80x − 100x² − 80x − 64 となり、元の 125x³ − 64 です。二次因子は (5x + 2)² + 12 と書けるので、実数係数の一次式の積には分かれません。

2. 343y³ = (7y)³ です。2つの底は x と 7y で、和の公式を使います。

x³ + 343y³
= x³ + (7y)³
= (x + 7y)(x² - 7xy + 49y²)

右辺を展開すると x³ − 7x²y + 49xy² + 7x²y − 49xy² + 343y³ です。中央の項が消えて問題の式に戻ります。二次因子は y = 1 と置くと x² − 7x + 49 = (x − 7/2)² + 147/4 が正になるので、発展例題と同様に実数係数の一次式の積には分かれません。

3. まず 11 を外すと、括弧の中に x³ + 64 が現れます。64 の底は 4 です。

11x³ + 704
= 11(x³ + 64)
= 11(x³ + 4³)
= 11(x + 4)(x² - 4x + 16)

内側の2因子を掛けると x³ − 4x² + 16x + 4x² − 16x + 64 = x³ + 64 です。さらに 11 を掛けて 11x³ + 704 に戻ります。二次因子は (x − 2)² + 12 なので、実数係数の一次式の積には分かれません。

4. 両項から 3 を外します。括弧内の2つの底は 3a と b です。

81a³ - 3b³
= 3(27a³ - b³)
= 3{(3a)³ - b³}
= 3(3a - b)(9a² + 3ab + b²)

展開すると、括弧内は 27a³ + 9a²b + 3ab² − 9a²b − 3ab² − b³ = 27a³ − b³ です。外の 3 を掛ければ問題の式に戻ります。b = 1 と置いた 9a² + 3a + 1 は (3a + 1/2)² + 3/4 なので、二次因子は実数係数の一次式の積に分かれません。

5. 両項に 14x が共通します。括弧内は平方の差なので、そこからさらに積に直せます。

14x³ - 14x
= 14x(x² - 1)
= 14x(x - 1)(x + 1)

(x − 1)(x + 1) = x² − 1 です。これに 14x を掛けると 14x³ − 14x となり、与えられた式に戻ります。共通因数の後に残る形を見直すと、立方公式を使わない場合も最後まで進めます。

要点を短く整理

• 2つの項をそれぞれ A³、B³ と見て、底 A、B を決めます。
• 一次因子は元の和・差と同符号、二次因子の中央は逆符号です。
• 二次因子の最後は B² で、和でも差でもプラスです。
• 共通因数を先に外し、残した因子も含めて展開で元に戻します。

つまずきの場所を見分ける

答えが合わないときは、まず底を書いた行を見ます。27x³ の底を 3x³ としていれば、係数と文字をまとめて三乗する操作から確認します。底は正しくても 3x と 2 の積を 3x + 2 としていれば、二次因子の中央を作る段階に戻ります。

個別指導で式を確かめるなら、「この2項は何の3乗ですか」「展開するとどの2項が消えますか」と聞き、答えた底と途中式を並べて見ます。符号だけを直して終えるのではなく、外に出した共通因数まで掛けて元の式に戻るかを確かめると、どの段階で食い違ったかを特定できます。掛け戻して消える項を見つければ、次の立方和や立方差にも同じ判断を使えます。