高校数学C 行列と数量表—品目と場所の対応から行と列の意味を読み取る｜武蔵野個別指導塾

備品の数量を行列に移す例で、成分の位置と単位を読み取り、見出しを並べ替えた後も元の個数に戻して確かめます。

よくあるのは、理系の高3が備品表を行列に写した後、品目と保管場所を逆に読んでしまう場面です。表の中に同じ数字があっても、その数字がどの品目のどの場所の個数かは、行と列の見出しで決まります。数字を囲む括弧だけを覚えても、元の備品を取り出すことはできません。まず分類の順序を言葉で決め、数字を元の表に戻せるかを確かめましょう。

数量の置き場所を問う3つの形

1つ目は、数量表を行列に移す問いです。行に何を並べ、列に何を並べるかが指定されたら、その順に数量を置きます。見出しを省いた行列から元の数量を読むには、分類と順序を別に記録しておく必要があります。

2つ目は、ある位置の成分が何を表すかを説明する問いです。上から何行目、左から何列目かを調べ、2つの見出しを組み合わせます。位置の数字と、そこに入っている数量とは別物です。たとえば2行3列目に7があれば、位置は2行3列、数量は7です。

3つ目は、表の並べ方を変更したときの行列を作る問いです。場所の順を変えれば、各品目について場所に対応する数も一緒に動かします。元の数をそのまま残して見出しだけを入れ替えると、別の状況を表すことになります。

ここでは数量を整理する表現を扱い、行列の和や積は使いません。表の記録が欠けている場合も、空欄を勝手に0とせず、何が判明していないかを区別します。

行と列に名前を付ける

数を長方形に並べ、左右を括弧で囲んだものを行列といいます。横の並びが行、縦の並びが列で、それぞれ上から、左から数えます。行が2本、列が3本なら2行3列の行列です。行数と列数をこの順で述べるので、3行2列とは区別します。

図1のように、品目を行、場所を列にすると、1つの成分は品目と場所の組に対応します。行と列の名前は数そのものに含まれていないため、行列の前に順序を明記します。

図1では、2行3列目の8は、2番目の品目が3番目の場所に8個あることを表します。同じ8が別の位置にあれば、それは別の組の数量です。行の番号を先、列の番号を後にして「2行3列」と読みます。

一般に、i行j列の成分を aᵢⱼ と書きます。iは行、jは列の番号です。たとえば3行2列の行列なら、行番号は1から3、列番号は1から2までです。a₃₂ はありますが、a₂₃ は列が3本ないため存在しません。存在しない位置の値と、実際に存在する位置に記録された0を混同しないようにします。

数量表では、単位も成分の意味の一部です。個数を並べるなら、各成分は個数を表します。見出しが変わらなければ、0はその組にある個数が0個という記録です。一方、数えていない組の空欄は、0個と確定した記録ではありません。空欄がある場合は値が未確定であることを残し、情報を補ってから数だけの行列にします。

基本例題：備品を場所ごとに記録する

架空の備品表で、品目はペン、定規、消しゴム、場所は棚A、棚Bの順です。数量は次のとおりで、単位は個です。

品目を行、場所を列にして行列 A を作り、型と a₂₁ の意味を答えてください。また、図2の位置が元の表のどの数量か説明してください。

図2のように、まず3つの品目を上から並べ、各行に棚A、棚Bの順で数を書きます。成分を読むときも同じ順を使います。

行列は次のようになります。

A = ( 4  7 )
    ( 2  5 )
    ( 6  3 )

品目が3種類なので3行、場所が2か所なので2列です。したがって型は3行2列です。a₂₁ は2行目と1列目の交点ですから、

2行目 = 定規
1列目 = 棚A
a₂₁ = 2

となります。意味は「棚Aの定規が2個」です。図2でも2行目の左の数を示しています。表の定規の行と棚Aの列に戻ると2個なので、位置と単位が合います。

反対に a₁₂ は1行目と2列目で、棚Bのペン7個です。添え字を逆にしただけで、品目と場所の組が変わります。a₃₂ は棚Bの消しゴム3個ですが、a₂₃ は3列目がないため読めません。計算前に型を見れば、このような存在しない位置に気づけます。

元の表へ戻す点検では、1成分だけでなく各行を照合します。ペンの行は棚Aで4個、棚Bで7個、定規は2個と5個、消しゴムは6個と3個です。いずれも表と一致します。表の数字が全部入っていても配置が違えば別の記録になるので、個数の一覧だけを比較して終わらないことが必要です。

標準例題：見出しの順を変える

架空の花壇で、チューリップ、スミレの順に品目を、東、西、南の順に場所を並べます。各場所の株数は次の行列 B で表されます。

B = ( 3  8  1 )
    ( 5  2  4 )

行を場所の南、東、西の順、列を品目のスミレ、チューリップの順にした行列 C を作ってください。型と、C の2行1列目が表す数量も答えてください。

B は2行3列です。行の順と列の順を言葉に戻すと、元の数量は次の6組です。

東のチューリップ = 3株
西のチューリップ = 8株
南のチューリップ = 1株
東のスミレ = 5株
西のスミレ = 2株
南のスミレ = 4株

C の1行目は南です。列はスミレ、チューリップの順なので、南の4株、1株を並べます。2行目は東の5株、3株、3行目は西の2株、8株です。

C = ( 4  1 )
    ( 5  3 )
    ( 2  8 )

場所が3種類、品目が2種類なので C は3行2列です。2行1列目は東のスミレ5株を表します。B に戻ると、スミレは2行目、東は1列目で、やはり5株です。

行と列の役割を交換すると型も変わります。ただし、元の行と列を交換することと、各分類の順を変えることは別の作業です。この例では両方を行っています。先に各組を言葉で取り出せば、どちらの変更があっても元の株数に戻せます。場所と品目が同じ数だけあっても、型が変わらないという事実だけでは配置が正しい保証にはなりません。

発展例題：不足した記録を区別する

架空の工作会で、赤、青、黄の3色の紙を箱P、箱Qに保管しています。色を行、箱を列にし、色は赤、青、黄の順、箱はP、Qの順です。赤はPに9枚、Qに0枚、青はPに4枚、Qは未確認、黄はPに1枚、Qに6枚あります。確認後、箱Qの青は3枚と判明しました。

確認前に数だけの行列を完成させられるかを判断し、確認後の行列 D と d₂₂ の意味を答えてください。さらに、行を箱Q、箱Pの順、列を黄、赤、青の順に変えた行列 E を求めてください。

確認前は、箱Qの青の枚数が未確認です。そこを0と置く根拠はなく、6成分を具体的な数で確定することはできません。途中の記録として記号を置くことはできますが、その記号の値は調査前には決まりません。赤の箱Qは0枚と数えられているため、同じ空欄扱いにはしません。

確認後は、各色についてP、Qの順に並べます。

赤の行 = 9  0
青の行 = 4  3
黄の行 = 1  6
D = ( 9  0 )
    ( 4  3 )
    ( 1  6 )

D は3行2列で、d₂₂ = 3です。2行目は青、2列目は箱Qなので「箱Qの青い紙が3枚」を意味します。確認後の記録に戻しても3枚です。

E の1行目は箱Qです。黄、赤、青の順に見ると6枚、0枚、3枚です。2行目の箱Pは同じ色の順で1枚、9枚、4枚です。

E = ( 6  0  3 )
    ( 1  9  4 )

E は2行3列です。箱Qの赤が0枚であることは、E の1行2列にも残っています。箱Pの青はDの2行1列とEの2行3列で、どちらも4枚です。6組を同様に確認すると、順序は変わっても各組の枚数は変わっていません。

この表からわかるのは、指定された時点の箱と色ごとの枚数です。いつ補充されたか、紙の大きさが同じかどうかは記録されていません。行列が整っていても、書かれていない条件まで読み足すことはできません。

誤答を位置と意味に戻して直す

基本例題の A で、a₂₁ を「棚Bのペン7個」と読む誤答を考えます。数字の2を列、1を行と解釈したため、実際には1行2列の値を拾っています。図3のように、先の番号を上から数える行、後の番号を左から数える列に対応させ直します。

図3の正しい位置は2行1列です。2行目の定規と1列目の棚Aが交わるので、答えは棚Aの定規2個です。誤答の7も行列中にはありますが、棚Bのペンに対応します。数字が表に存在するかだけでは、正誤を判定できません。

もう1つの誤りは、表を写すとき列の見出しを棚B、棚Aの順に変えながら、数の順を4、7のままにすることです。この場合、棚Bのペンが4個と記録されたことになり、元の7個と食い違います。棚B、棚Aの順にするなら、ペンの行は7、4とします。他の品目も各場所の値を同じ基準で移します。

順序の記載が欠けている場合は、数だけを見て元の品目を決められないことがあります。行と列の見出しが与えられているかを確認し、与えられていなければ必要な情報を明示します。0が書かれた位置、未確認の位置、行列の範囲外の位置も、それぞれ異なる状態として扱います。

練習問題

いずれも架空の記録です。各問で順序を守り、型は「何行何列」、数量は単位を付けて答えてください。

1. 道具のテープ、のりを行、引き出しX、Y、Zを列とします。テープは順に5個、1個、8個、のりは順に2個、6個、4個です。行列 F と型、2行3列の数量を答えてください。
2. 動物の模型のウサギ、ネコ、イヌを行、展示室L、Mを列とし、順に次の行列 G で表します。g₃₁ と g₁₂ の値と意味を答え、g₂₃ が読めるか判断してください。

G = ( 7  2 )
    ( 3  9 )
    ( 5  1 )

3. 飲み物の種類を麦茶、果汁の順に行、容器を大、小の順に列とした個数の行列 H が次です。行を容器の小、大の順、列を種類の果汁、麦茶の順にして行列を作ってください。

H = ( 6  3 )
    ( 1  8 )

4. 色鉛筆の黒、緑を行、机U、Vを列とします。黒はUに0本、Vは未確認、緑はUに7本、Vに2本です。未確認を0と書けるか判断し、その後Vの黒が4本と判明したときの行列を答えてください。
5. 冊子の種類を地図、資料、写真の順に行、部屋を北、中央、南の順に列とした冊数の行列 J が次です。南の資料の冊数と、2行1列の意味を答え、行を部屋、列を種類とし、いずれも元の順序を保った行列を作ってください。

J = ( 2  4  6 )
    ( 9  1  3 )
    ( 5  7  8 )

解答と解き方

1. 各道具の行にX、Y、Zの順で個数を入れます。

F = ( 5  1  8 )
    ( 2  6  4 )

2行3列です。2行目はのり、3列目はZなので、2行3列は引き出しZののり4個です。問題ののりの記録に戻してもZは4個です。

2. 3行1列はイヌとLの交点なので g₃₁ = 5、展示室Lのイヌの模型5個です。1行2列はウサギとMの交点なので g₁₂ = 2、展示室Mのウサギの模型2個です。G は3行2列で3列目がないため g₂₃ は存在しません。0個と判断するのではなく、指定位置が範囲外であると答えます。

3. 小の果汁は8個、麦茶は3個です。大の果汁は1個、麦茶は6個ですから、求める行列は次のとおりです。

( 8  3 )
( 1  6 )

2行2列です。たとえば小の麦茶は元の1行2列で3個、新しい1行2列でも3個です。残る3組も大と小、種類の名前を付けて戻すと一致します。

4. 未確認は0本と確定していないので、0とは書けません。確認後は黒の行が0、4、緑の行が7、2となります。

( 0  4 )
( 7  2 )

2行2列です。1行1列の0は机Uの黒が0本という記録です。1行2列の4は確認後の机Vの黒4本に戻ります。

5. 南は3列目、資料は2行目なので3冊です。2行1列は北の資料9冊を表します。北、中央、南の各行に地図、資料、写真の順で移すと次のようになります。

( 2  9  5 )
( 4  1  7 )
( 6  3  8 )

3行3列です。南の資料は新しい3行2列でも3冊、北の資料は1行2列でも9冊です。他の組も元の表の位置に戻して一致します。行数と列数が同じ場合も、配置を変えたことが型だけには現れない点に注意します。

覚えておくこと

• 行は上から、列は左から数え、型は行数、列数の順に述べます。
• 成分は行の分類と列の分類の組、数量、単位を合わせて読みます。
• 見出しの順を変えたら、対応する数量も移します。
• 0、未確認、範囲外の位置を区別します。

記録からつまずきを見分ける

個別指導で確かめるときは、完成した行列の正誤だけでなく、元の表に書いた行と列の番号、各成分に添えた品目と場所のメモを見ます。型は正しいのに成分の意味が逆なら、数字を読む順番から確認します。型自体が違うなら、分類の個数と行列の段数を対応させます。

見出しの順を変える問題では、書き直した行列の1成分を選び、元の表へ指で戻してもらいます。その1か所が合った後に残りの組も調べ、偶然同じ数が並んだために見逃した取り違えを探します。未確認を0にした記録があれば、数えた結果とまだ調べていない状態を言葉にして分けます。行列の数字は、元の数量に戻せて初めて意味を持ちます。