高校数学C 楕円の平行移動—中心と半軸を分けて平方完成から図を復元する｜武蔵野個別指導塾

平方完成の定数の移項と焦点、実点の有無を具体例で追い、式と図を結ぶ楕円の平行移動です。

よくあるのは、理系の高3が楕円の式を平方完成したところで、加えた定数を右辺へ移す符号に迷う場面です。中心らしい数は見えたのに、右辺が正か負かを間違えると、半軸も焦点も元の式とは違うものになります。まず等式を保って式を整え、次に点が存在するかを調べ、それから図の情報を取り出しましょう。中心を出す操作と、中心からの距離を読む操作は別の段階です。

どの条件から図を取り戻すか

出方の1つは、x²とy²の係数がともに正の式を平方完成し、中心・頂点・焦点を求めるものです。左辺の各平方の係数をくくり、かっこの外に出る定数まで記録します。右辺が正と確認して初めて、1にそろえた式の分母から半軸を読めます。

2つ目は、定数に文字が入る場合です。平方完成後の右辺が正なら楕円、0なら中心の1点、負なら実点がありません。右辺が0のときに1で割る形を作ることはできません。また、2つの正の係数が等しいときは円なので、通常の異なる2焦点を持つ楕円とは区別します。

3つ目は、中心や焦点、通る点から式を決める問題です。図の大きさを中心からの距離で決めた後、出した式が指定された点を通り、焦点も条件に戻るかを確かめます。式の形が似ていても、平行移動の前と後で点の座標は違います。

中心を基準にして半軸を読む

a > b > 0 とし、c² = a² − b²、c > 0 とします。原点を中心とする横長の楕円 x²/a² + y²/b² = 1 を、右に h、上に k だけ平行移動すると、各点の座標はそれぞれ h、k だけ増えます。移動後の点を (x, y) とすれば、移動前は (x − h, y − k) です。したがって移動後の式は次のようになります。

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

中心は (h, k) です。分母が正で、その大きい方が x の項にあるので、中心から左右への半軸は a、上下への半軸は b です。長軸の頂点は (h − a, k)、(h + a, k)、短軸の端は (h, k − b)、(h, k + b) です。焦点は中心から長軸方向に距離 c だけ離れた (h − c, k)、(h + c, k) になります。

図1のように、中心と点を同じ向きに同じ距離だけ動かします。平行移動は距離を変えないため、a、b、c も移動前と同じです。座標に付く符号と、実際の移動の向きを混同しないようにします。

図1では元の中心 O から右に h = 2、下に 1 移り、中心 C は (2, -1) です。式では x − 2 と y + 1 が中心からの差を表します。「+1 があるから上に1」と読むのではなく、y + 1 = 0 を満たす y が -1 であると読めば符号を取り違えません。

大きい分母が y の項なら縦長です。その場合、中心から上下に a、左右に b を取り、焦点は (h, k − c)、(h, k + c) です。分母そのものは半軸ではなく半軸の2乗なので、距離を求めるときに正の平方根を取ります。a = b なら円になり、c = 0 で2つの焦点は中心に重なります。

平方完成は等式の両辺を同じ量だけ変える操作です。たとえば 4x² − 16x は、係数4を先にくくると次の通りです。

4x² - 16x = 4(x² - 4x)
             = 4((x - 2)² - 4)
             = 4(x - 2)² - 16

かっこ内に4を補った分は、外の係数4も含めて16です。補った分を忘れたり、右辺へ移すときに符号を維持したりすると、中心が合っていても大きさが変わります。展開して元の式へ戻せるかが途中の点検になります。

基本例題：移項を記録して横長の図を描く

問題：4x² + 9y² − 16x + 18y − 11 = 0 を満たす図形について、中心、4つの軸の端点、2つの焦点を整数と根号で求めてください。

x²とy²の係数は正で異なります。まず平方完成し、右辺が正かを確かめます。

4(x² - 4x) + 9(y² + 2y) - 11 = 0
4((x - 2)² - 4) + 9((y + 1)² - 1) - 11 = 0
4(x - 2)² - 16 + 9(y + 1)² - 9 - 11 = 0
4(x - 2)² + 9(y + 1)² = 36
(x - 2)²/9 + (y + 1)²/4 = 1

右辺の36は正です。分母は9と4なので、横方向の半軸は3、縦方向の半軸は2です。中心は (2, -1) であり、軸の端点は (-1, -1)、(5, -1)、(2, 1)、(2, -3) です。大きい半軸と小さい半軸はともに正で、3 > 2 を満たします。よって焦点までの距離 c は次のように決まります。

c² = 3² - 2²
   = 5
c = √5

2つの焦点は (2 − √5, -1)、(2 + √5, -1) です。図2のように中心から左右へ3、上下へ2を測り、焦点は中心と左右の端点の間に置きます。

図2の上端 (2, 1) を元の式に戻すと、16 + 9 − 32 + 18 − 11 = 0 です。右端 (5, -1) も 100 + 9 − 80 − 18 − 11 = 0 を満たします。さらに上端から各焦点までの距離は √(5 + 4) = 3 なので、その和は6です。焦点間距離 2√5 は6より小さく、長軸の長さ6と矛盾しません。焦点を中心からの差として求め、最後に中心の座標を加えたことも確認できます。

標準例題：文字によって点の有無が変わる

問題：実数 t について、9x² + 4y² + 18x − 24y + t = 0 の表す図形を分類してください。通常の楕円となる t の範囲と、t = -27 のときの中心、4つの軸の端点、焦点を整数と根号で求めてください。

平方の係数はともに正で、互いに異なります。右辺が正かどうかを先に調べます。

9(x² + 2x) + 4(y² - 6y) + t = 0
9((x + 1)² - 1) + 4((y - 3)² - 9) + t = 0
9(x + 1)² + 4(y - 3)² = 45 - t

左辺は常に0以上です。t < 45 なら右辺は正で、両辺を 45 − t で割れます。すると2つの分母は正で異なり、縦長の楕円です。t = 45 なら2つの平方がともに0となる必要があり、点 (-1, 3) だけです。t > 45 なら左辺が負の右辺と等しくなることはなく、実点はありません。負の場合まで楕円の形に割ってしまうことはできません。

次に t = -27 を代入します。

9(x + 1)² + 4(y - 3)² = 72
(x + 1)²/8 + (y - 3)²/18 = 1

中心は (-1, 3)、横方向の半軸は √8 = 2√2、縦方向の半軸は √18 = 3√2 です。大きい分母が y の項にあるので、長軸は縦方向です。軸の端点は (-1 − 2√2, 3)、(-1 + 2√2, 3)、(-1, 3 − 3√2)、(-1, 3 + 3√2) となります。

c² = 18 - 8
   = 10
c = √10

焦点は (-1, 3 − √10)、(-1, 3 + √10) です。たとえば上端を平方完成後の式に戻すと、9・0² + 4・(3√2)² = 72 です。上端から2焦点までの距離は 3√2 − √10 と 3√2 + √10 で、ともに正、その和は 6√2 です。これは長軸の長さに一致します。t = 45 の中心を元の式に代入しても0になり、t > 45 では平方の非負性が不可能を示します。

発展例題：焦点と通過点から式を決める

問題：中心が (2, -1)、2つの焦点が (-1, -1)、(5, -1) で、点 (2, 3) を通る楕円の方程式を求めてください。軸は座標軸に平行とします。答えは分数を用いた式で表し、与えられた距離条件にも戻してください。

焦点の中点は確かに (2, -1) です。焦点が水平に並ぶので長軸は水平方向であり、中心から焦点までの距離は c = 3 です。中心と同じ x 座標を持つ通過点は短軸の端に当たります。中心から点 (2, 3) までの距離は4なので b = 4 です。

c² = a² - b²
3² = a² - 4²
a² = 9 + 16
a² = 25
a = 5

a > b > 0 を満たすため、求める方程式は次の通りです。

(x - 2)²/25 + (y + 1)²/16 = 1

中心と焦点の距離を計算すると、どちらも3です。通過点を式に代入すると 0/25 + 16/16 = 1 となります。元の距離条件でも、点 (2, 3) から各焦点への距離は √(3² + 4²) = 5 で、その和は10です。これは 2a に等しく、焦点間距離6より大きいので、通常の楕円が存在します。

この計算は候補を出した後の十分性まで示しています。逆に、焦点間距離だけを与えられても a は決まりません。今回 b が決まったのは、通過点が中心と同じ x 座標を持つためです。一般の通過点なら、短軸の端と決めつけず、中心を引いた座標を方程式に代入して半軸を求めます。

誤答を図と展開で直す

基本例題で、平方完成後の定数 -16、-9、-11 を右辺へ移す際に、11 − 16 − 9 = -14 と計算したとします。すると左辺が0以上なのに右辺が負になり、実点なしという誤答になります。実際には3つの定数はいずれも左辺に負として残っています。図3のように、それぞれを右辺へ移すと正になり、16 + 9 + 11 = 36 です。

図3の正しい右辺は36です。元の式には実際に (2, 1) が含まれますから、実点なしという結論と矛盾します。点の代入で誤りに気づいたら、単に右辺を正に直すのではなく、どの項をどちら側へ移したかを一行戻って調べます。

もう1つの誤りは、正しい式から焦点を (±√5, 0) とすることです。これは移動前の中心を使った値です。焦点は中心 (2, -1) から左右に √5 だけ動かすので、(2 ± √5, -1) に直します。焦点の中点が中心と一致するかを見れば、移動の加え忘れを見分けられます。

さらに分母9を半軸9と読むと、右端を (11, -1) としてしまいます。この点を (x − 2)²/9 + (y + 1)²/4 に代入すると9で、1にはなりません。端点では片方の平方項が0で、他方が1になることから、半軸は分母の正の平方根だと修正できます。

練習問題

次の5問は互いに独立です。座標は整数または根号、方程式は分数を用いて答えてください。各問で、結果をもとの条件に戻すことも求めます。

1. x² + 4y² + 4x − 24y + 24 = 0 の中心、4つの軸の端点、焦点を求めてください。
2. 4x² + y² − 8x + 6y − 23 = 0 の中心、4つの軸の端点、焦点を求めてください。長軸の向きも答えてください。
3. 実数 s に対し、16x² + 25y² − 96x + 100y + s = 0 が通常の楕円、1点、実点なしとなる s の範囲をそれぞれ求めてください。
4. 焦点が (-4, 2)、(4, 2) で、2焦点からの距離の和が12である点の軌跡の方程式を求めてください。焦点間距離と距離の和の大小も確かめてください。
5. 中心が (-2, 1)、長軸の両端が (-7, 1)、(3, 1) で、点 (-2, 4) を通る楕円の方程式と焦点を求めてください。軸は座標軸に平行とします。

練習の答えと戻し方

1. 横方向に広がる場合

(x + 2)² - 4 + 4((y - 3)² - 9) + 24 = 0
(x + 2)² + 4(y - 3)² = 16
(x + 2)²/16 + (y - 3)²/4 = 1

中心は (-2, 3)、半軸は横4、縦2です。4つの軸の端点は (-6, 3)、(2, 3)、(-2, 1)、(-2, 5) です。c² = 16 − 4 = 12 から c = 2√3 なので、焦点は (-2 − 2√3, 3)、(-2 + 2√3, 3) です。たとえば (-2, 5) を元の式に入れると 4 + 100 − 8 − 120 + 24 = 0 です。この端点から各焦点までの距離は √(12 + 4) = 4 で、和は長軸の長さ8に一致します。

2. 縦方向に広がる場合

4((x - 1)² - 1) + ((y + 3)² - 9) - 23 = 0
4(x - 1)² + (y + 3)² = 36
(x - 1)²/9 + (y + 3)²/36 = 1

中心は (1, -3)、長軸は縦向きです。横の半軸は3、縦の半軸は6なので、軸の端点は (-2, -3)、(4, -3)、(1, -9)、(1, 3) です。c² = 36 − 9 = 27 から c = 3√3、焦点は (1, -3 − 3√3)、(1, -3 + 3√3) です。右端 (4, -3) を元の式へ入れると 64 + 9 − 32 − 18 − 23 = 0 です。右端から各焦点までの距離は √(9 + 27) = 6 で、距離の和12は長軸の長さと合います。

3. 右辺が正、0、負の場合

16((x - 3)² - 9) + 25((y + 2)² - 4) + s = 0
16(x - 3)² + 25(y + 2)² = 244 - s

s < 244 では右辺が正で、異なる正の分母を持つ楕円です。s = 244 では (3, -2) の1点、s > 244 では実点なしです。s = 244 のとき元の式に (3, -2) を入れると 144 + 100 − 288 − 200 + 244 = 0 となります。s > 244 では2つの平方の和が負になる必要があるため、どの実数の組も条件を満たしません。

4. 距離の和から式を作る場合

焦点の中点は (0, 2)、中心から焦点までの距離は c = 4 です。距離の和12は焦点間距離8より大きいため、通常の楕円が存在します。2a = 12 より a = 6、したがって次のように求められます。

b² = a² - c²
   = 36 - 16
   = 20
x²/36 + (y - 2)²/20 = 1

焦点の距離は中心から左右に4で、問題の2点に戻ります。上端 (0, 2 + 2√5) から各焦点までの距離は √(16 + 20) = 6 で、和は12です。式の任意の点についても、横の中心相対座標を X とすると両焦点までの距離は 6 ± 2X/3 と表せます。式から |X| ≤ 6 なので両方は非負であり、二乗して距離の式と一致し、和は12です。逆向きも含めて条件に合います。

5. 長軸端と通過点から決める場合

長軸の両端の中点は指定された中心 (-2, 1) です。中心から各端までの距離は5で、通過点 (-2, 4) は中心から上下の方向に3離れているため、a = 5、b = 3 です。5 > 3 > 0 を確認します。

c² = 5² - 3²
   = 16
c = 4
(x + 2)²/25 + (y - 1)²/9 = 1

焦点は (-6, 1)、(2, 1) です。長軸の両端はそれぞれ左辺が 25/25 + 0 = 1、通過点は 0 + 9/9 = 1 です。通過点から各焦点への距離は √(4² + 3²) = 5 で、和は10です。与えられた中心、端点、通過点をすべて満たします。

要点

平方完成の定数は外側の係数を掛けてから移項します。 右辺が正かを確かめてから1にそろえ、0と負を別に扱います。 中心は各かっこが0になる座標で、半軸は分母の正の平方根です。 焦点は大きい半軸の方向へ中心から √(a² − b²) だけ動かします。

どこで止まったかを見分ける

中心は合うのに点が元の式に入らない場合は、平方完成の定数と移項の行を確認します。図の大きさは合うのに焦点が合わない場合は、長軸の向き、平方根、中心を加えたかの順に確認します。右辺が文字を含む場合は、割り算の前に正・0・負を分けられるかを見ます。

個別指導では、解答の完成形だけでなく、かっこを展開した1行と、端点を元の式へ戻した1行を見ます。焦点を求めた後はその中点が中心になるか、指定された点からの距離の和が長軸の長さに等しいかも確かめます。中心を基準にした距離と元の座標が結び付けば、平行移動後の図は式から復元できます。