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高校数学C 二次曲線の軌跡—距離条件を分類し二乗で増えた点を取り除く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

距離の和と符号つきの差を式にし、二乗で増えた枝を除いて元の条件へ戻す、二次曲線の軌跡です。

よくあるのは、理系の高校3年生が2点からの距離の式を二乗し、見慣れた双曲線の式が出たところで両方の枝を答えに入れる場面です。計算結果の式を満たしていても、元の距離の差の向きが逆なら条件を満たしません。軌跡は式の名前を当てて終わりではなく、条件を満たす点がどこまであるかを確定する問題です。距離が非負であることと、式変形を逆にたどれることを、図と計算の両方で確認しましょう。

距離の言葉から見える3つの型

固定した2点からの距離の和が一定なら、焦点間の距離とその和を比べます。和が焦点間距離より大きいときに楕円が現れます。等しいときは2焦点を結ぶ線分、小さいときは点がありません。固定した2点からの距離の差の絶対値が、正で焦点間距離より小さい一定値なら双曲線です。差の順番まで指定されていれば、通常はそのうち片方の枝に限られます。

もう1つは、固定点と固定直線からの距離が等しい条件です。焦点が準線上にない場合は放物線です。ただし、別に半平面などの条件が付けば放物線の一部分になります。距離が等しいことと、点が動ける範囲を両方読む必要があります。

距離を使う問題では、実際に動く点なら式を満たすという「必要」の確認と、式を満たす候補点が元の条件を満たすという「十分」の確認を分けます。前者だけでは、二乗で増えた枝や範囲外の点を答えに混ぜることがあります。後者では、候補点から元の距離を計算して等式と符号に戻します。

和・差・等距離を見分ける

2つの異なる固定点を A、B、動く点を P とし、距離を PA、PB と書きます。どちらも負にはなりません。まず PA + PB、|PA − PB|、PA − PB のどれが与えられたかに印を付けます。絶対値付きの差は大小が逆の点も含みますが、符号付きの差は順序を入れ替えると条件が変わります。

図1のように、和なら焦点間距離との大小を先に確認します。三角形の成立条件から PA + PB は AB 以上です。等号は P が線分 AB 上にある場合で、その線分は通常の楕円ではありません。差についても |PA − PB| は AB 以下です。0なら垂直二等分線、ABに等しければ焦点から外側へ延びる半直線の組となり、通常の双曲線という結論にはできません。

焦点と準線の距離が等しい条件では、点から直線までの距離にも絶対値が必要です。例えば準線が x = h なら距離は |x − h| です。ここを x − h と決めてよいのは、先に x ≥ h を確かめた場合です。二乗すれば絶対値は外れますが、二乗前に片側と決めた場合は、その範囲を最後にも残します。

標準形を利用する際の条件も明確にします。焦点が (-c, 0)、(c, 0) の楕円は、和が 2a、a > c > 0 のとき、b² = a² − c² として x²/a² + y²/b² = 1 です。双曲線は差の絶対値が 2a、c > a > 0 のとき、b² = c² − a² として x²/a² − y²/b² = 1 です。これらは距離条件に対応する標準形ですが、符号付きの差や追加の範囲は別に確認します。

基本例題　距離の和と楕円の点

固定点 A(-3, 0)、B(3, 0) に対し、PA + PB = 10 を満たす点 P(x, y) の軌跡を求めてください。方程式で答え、軸上の頂点の座標も整数で示します。

まず AB = 6 で、与えられた和 10 は 6 より大きいので、通常の楕円が存在します。焦点間の中点は原点、焦点は x 軸上です。2a = 10、c = 3 と置くと、次のようになります。

a = 5
b² = a² - c²
   = 25 - 9
   = 16

したがって候補は x²/25 + y²/16 = 1 です。頂点は (5, 0)、(-5, 0)、(0, 4)、(0, -4) です。図2のように上の頂点から両焦点へ引いた線分はそれぞれ長さ 5 で、その和は 10 です。

候補全体を元の条件へ戻します。候補上では x² ≤ 25、すなわち -5 ≤ x ≤ 5 です。また y² = 16(1 − x²/25) です。これを各距離の二乗へ代入します。

PA² = (x + 3)² + y²
    = (x + 3)² + 16(1 - x²/25)
    = (5 + 3x/5)²
PB² = (x - 3)² + y²
    = (x - 3)² + 16(1 - x²/25)
    = (5 - 3x/5)²

-5 ≤ x ≤ 5 なので、5 + 3x/5 と 5 − 3x/5 はともに 2 以上です。距離の平方根を取って PA = 5 + 3x/5、PB = 5 − 3x/5 とでき、和は確かに 10 です。軸上の4頂点もそれぞれこの式に入り、和の条件に戻ります。標準形の導出を使った必要性と、この逆の確認によって、楕円全体が答えと確定します。

ここで和を 6 に変更すれば、原点を含む線分 AB は条件を満たしますが、線分の外は和が 6 より大きくなります。和を 5 に変更した場合は三角形の成立条件に反し、点がありません。式に代入してから分母が 0 になる理由を追うより、最初に成立するかを調べると退化を見落としにくくなります。

標準例題　差の向きが指定された枝

A(-5, 0)、B(5, 0) に対して PA − PB = 6 を満たす点 P(x, y) の軌跡を求め、方程式と x の範囲で表してください。

焦点間距離は 10 で、差の絶対値 6 は正かつ 10 より小さいため、差の絶対値が 6 の点は双曲線上にあります。2a = 6、c = 5 なので、a = 3、b² = 25 − 9 = 16 です。よって必要条件は次の式です。

x²/9 - y²/16 = 1

しかし、これは絶対値付きの差から得た式なので、差の向きまでは表しません。元の条件を PA = PB + 6 と直して二乗すると、距離は非負なので次が成り立ちます。

PA² = PB² + 12PB + 36
(x + 5)² + y² = (x - 5)² + y² + 12PB + 36
20x = 12PB + 36
PB = (5x - 9)/3

PB ≥ 0 から x ≥ 9/5 です。一方、双曲線の式から x ≤ -3 または x ≥ 3 です。両方を満たすのは x ≥ 3 の枝です。したがって答えは x²/9 − y²/16 = 1、x ≥ 3 です。

逆向きにも調べます。右の枝では x ≥ 3 なので、(5x − 9)/3 と (5x + 9)/3 はともに正です。y² = 16(x²/9 − 1) を各距離の二乗に代入すると、次を得ます。

PA² = (x + 5)² + y² = ((5x + 9)/3)²
PB² = (x - 5)² + y² = ((5x - 9)/3)²
PA - PB = (5x + 9)/3 - (5x - 9)/3 = 6

右の枝の点は元の条件を満たします。端の (3, 0) では PA = 8、PB = 2 で差は 6 です。左の頂点 (-3, 0) は同じ双曲線の式を満たしますが、PA = 2、PB = 8 なので差は -6 です。左の枝を入れると誤りになります。

なお、元の条件が |PA − PB| = 6 なら左右両方の枝が答えです。左枝では各距離の順序が逆になり差は -6 なので、絶対値が 6 に戻ります。元の文に絶対値があるかを、答えの範囲を決めるところまで持ち続けてください。

発展例題　放物線に範囲が付くとき

固定点 F(2, 0) と直線 x = -2 からの距離が等しく、さらに x ≤ 2 を満たす点 P(x, y) の軌跡を求めてください。方程式と x の範囲、端の2点の座標を整数で示します。

F は直線 x = -2 上にないため、等距離の点は放物線です。P から F までの距離と直線までの距離は、それぞれ √((x − 2)² + y²)、|x + 2| です。両方とも非負なので、等式を二乗する変形は同値です。

√((x - 2)² + y²) = |x + 2|
(x - 2)² + y² = (x + 2)²
y² = 8x

左辺は非負なので、この式から x ≥ 0 です。追加条件 x ≤ 2 と合わせ、答えは y² = 8x、0 ≤ x ≤ 2 です。x = 2 のとき y² = 16 ですから端の2点は (2, 4)、(2, -4) です。原点も含まれます。

逆に y² = 8x、0 ≤ x ≤ 2 を満たす点を取ると、(x − 2)² + y² = (x + 2)² です。距離はともに非負なので平方根を取れば PF = |x + 2| となり、元の等距離条件を満たします。端の点では PF = 4、直線までの距離も 4、原点では両方 2 です。一方、放物線上の (8, 8) は両距離が 10 と等しいものの、x ≤ 2 を満たさないため除きます。曲線上にあることと追加条件を満たすことは別々の確認です。

誤答を直す　式に残らない差の符号

標準例題で「x²/9 − y²/16 = 1 の双曲線全体」と答えたとします。差の絶対値を用いた標準形は正しくても、PA − PB = 6 の向きが途中で消えています。図3の左の頂点では A の方が近く、差は負です。二乗した式に代入するだけでは、その違いは見つかりません。

図3の右枝は元の差が正、左枝は負です。修正には、二乗前の PA = PB + 6 に戻って PB = (5x − 9)/3 を導き、PB ≥ 0 と双曲線の範囲を合わせます。さらに右枝の任意の点について距離の平方根が正しい符号で取れることを示します。代表点1つの確認は間違いを見つけるのに役立ちますが、枝の全点を証明する代わりにはなりません。

差を逆に PA − PB = -6 とすれば、今度は左枝が残ります。距離の和の場合も、与えられた和が小さすぎるときに無理な平方根を作らないかを見ます。求めた式が実数の点を持たない場合と、式が点を持つが元の符号を満たさない場合は、異なる失敗として扱います。

練習問題

以下の点の座標は直交座標です。軌跡は方程式と必要な範囲で答え、点や線分になる場合はその形も示してください。

A(-4, 0)、B(4, 0) に対し PA + PB = 12 を満たす P の軌跡を求め、軸上の頂点を整数または根号で表してください。
A(-6, 0)、B(6, 0) に対し PB − PA = 8 を満たす P の軌跡を求め、含まれる頂点を整数で示してください。
F(-3, 0) と直線 x = 3 からの距離が等しく、x ≥ -3 を満たす P の軌跡を求め、端の2点を根号で示してください。
A(-2, 0)、B(2, 0) に対し PA + PB = k を満たす P の集合を、実数 k の範囲ごとに分類してください。楕円となる場合は方程式も k を使って表してください。
A(-7, 0)、B(7, 0) に対し PA − PB = 14 を満たす P の集合を、座標と範囲で表してください。

練習の答えと戻し方

1　和から半軸を決める

AB = 8 < 12 なので通常の楕円です。a = 6、c = 4 から b² = 36 − 16 = 20 です。

x²/36 + y²/20 = 1

頂点は (±6, 0)、(0, ±2√5) です。候補上で -6 ≤ x ≤ 6、y² = 20(1 − x²/36) なので、距離の二乗は次のようになります。

PA² = (6 + 2x/3)²
PB² = (6 - 2x/3)²

右辺の括弧はどちらも 2 以上です。平方根を取ると PA + PB = 12 に戻ります。頂点 (0, 2√5) では各距離が √(16 + 20) = 6 で、和は 12 です。

2　差の順番から左枝を残す

AB = 12、差の絶対値は 8 なので a = 4、c = 6、b² = 36 − 16 = 20 です。必要な双曲線の式は x²/16 − y²/20 = 1 です。PB − PA = 8 を二乗前の形 PB = PA + 8 として処理します。

(x - 6)² + y² = (x + 6)² + y² + 16PA + 64
-24x = 16PA + 64
PA = (-3x - 8)/2

PA ≥ 0 から x ≤ -8/3 です。双曲線では x ≤ -4 または x ≥ 4 なので、答えは x²/16 − y²/20 = 1、x ≤ -4 です。頂点は (-4, 0) です。逆にこの範囲では距離が PA = (-3x − 8)/2、PB = (-3x + 8)/2 となり、差は 8 です。頂点で PA = 2、PB = 10 と戻しても確かめられます。

3　左向きの放物線と端

距離の等式は √((x + 3)² + y²) = |x − 3| です。両辺は非負なので二乗が同値です。

(x + 3)² + y² = (x - 3)²
y² = -12x

式から x ≤ 0、追加条件から x ≥ -3 です。答えは y² = -12x、-3 ≤ x ≤ 0 で、x = -3 における端は (-3, 6)、(-3, -6) です。これらは整数でもあるため根号を用いれば (-3, ±√36) と表せます。候補上では元の距離の二乗が等しく、両距離は非負なので元の条件に戻ります。端では焦点まで 6、直線まで 6 です。

4　和の値による存在の分岐

AB = 4 です。三角形の成立条件から PA + PB ≥ 4 なので、k < 4 では空集合です。k = 4 では線分 AB、すなわち y = 0、-2 ≤ x ≤ 2 です。k > 4 では a = k/2 > 2、c = 2 より通常の楕円になります。

x²/(k²/4) + y²/(k²/4 - 4) = 1

逆にこの楕円上の点は標準形の距離和が 2a = k です。線分上の点では PA = x + 2、PB = 2 − x で和は 4 です。例えば k が 4 より小さいときに両距離を足して 4 未満にする点は、どこにもありません。負の k もこの空集合の場合に含まれます。

5　焦点間距離と等しい差

PA − PB = AB なので、PA = PB + AB です。三角形の成立条件の等号が成立し、A、B、P はこの順に一直線上に並びます。したがって答えは y = 0、x ≥ 7 です。P = (x, 0)、x ≥ 7 とおけば PA = x + 7、PB = x − 7 で、差は 14 に戻ります。

P が左側にあれば差は -14 となり、線分 AB の内部では差は 14 未満です。式の係数に無理に b = 0 を入れて通常の双曲線とすることはできません。端の B(7, 0) も PA = 14、PB = 0 で条件を満たします。