高校数学C 双曲線の焦点と軸—正の項の位置から開く向きと頂点を見極める｜武蔵野個別指導塾

負の項の分母が大きくても正の項の方向へ開き、頂点と焦点が同じ軸に並ぶ双曲線です。

よくあるのは、双曲線の式で大きい分母を見つけ、その方向へ曲線が開くと考えて図を描き始める場面です。楕円で使った判断をそのまま持ち込むと、頂点も焦点も違う軸に置いてしまいます。たとえば正の項の分母が小さくても、双曲線はその項の変数の方向へ開きます。式の符号から始め、軸との交点と焦点まで順に戻して確かめましょう。

どの情報から向きを決めるか

出方には大きく3つの型があります。1つ目は標準形から開く向き、頂点、焦点を読み取る型です。2つ目は式が整理されておらず、両辺を割ってから標準形にする型です。3つ目は文字を含む式で、係数の範囲によって向きや図形の存在を調べる型です。

どの型でも、まず右辺を1にして、各分母が正かどうかを確かめます。その後で正の項が x² と y² のどちらかを見ます。マイナスの項の分母が大きい場合にも、開く方向は変わりません。方向を先に定めてから、頂点までの距離 a、もう一方の分母に対応する b、焦点までの距離 c を置くと、計算の順番が整理されます。

標準形にならない係数の値では、公式の分母が0になるなど、そもそも双曲線として扱えないことがあります。文字を含む問題では、式を割る前の条件を忘れずに書き、境界の値も元の式で調べます。焦点と軸の復元に絞り、平行移動や接線の計算には進みません。

正の項と2本の座標軸

中心が原点で軸が座標軸に一致する双曲線を考えます。a > 0、b > 0 のとき、横向きの標準形は次の式です。

x²/a² - y²/b² = 1

y = 0 とすると x² = a² です。したがって曲線と x 軸の交点、すなわち頂点は (a, 0)、(-a, 0) です。一方、x = 0 とすると -y²/b² = 1 となり、実数の y はありません。この曲線は x 軸に沿って左右へ開きます。2つの焦点を結ぶ直線も x 軸です。頂点間の長さは 2a で、a 自体は原点から頂点までの距離です。

さらに元の式から x²/a² = 1 + y²/b² ≥ 1 ですから、曲線上では x ≥ a または x ≤ -a です。2つの枝の間には、-a < x < a の帯が残ります。a と b の大小はこの判断に使っていません。b は正の長さですが、(0, b) や (0, -b) はこの双曲線上の点ではありません。

焦点までの距離を c とすると、双曲線では c² = a² + b² です。a と b がともに正なので c > a となり、焦点 (c, 0)、(-c, 0) はそれぞれ対応する頂点より原点から遠くなります。楕円の引き算と混ぜず、双曲線では足し算です。

図1のように、縦向きの場合は正の項を y² に置きます。原点から頂点までが a、原点から焦点までが c という役割は同じで、座標の成分だけが入れ替わります。

y²/a² - x²/b² = 1
c² = a² + b²

x = 0 から頂点は (0, a)、(0, -a) です。y = 0 では実数の交点がなく、y ≥ a または y ≤ -a です。焦点は (0, c)、(0, -c) です。図1の例では a = 3、b = 4 なので c = 5 です。b の方が長くても、正の項は y² ですから上下に開きます。

なぜ c² が和になるかも確認します。右側の枝で、焦点を F(c, 0)、F′(-c, 0) とし、焦点までの距離の差の絶対値を 2a とします。横向きの式を満たす点では x ≥ a または x ≤ -a です。右側では x ≥ a なので、c² = a² + b² を用いると、それぞれの距離は cx/a − a、cx/a + a と書けます。どちらも非負であり、二乗すると距離の二乗に一致します。差は 2a です。左側も対称性から同じ絶対値になります。縦向きは x と y を交換すれば確認できます。

この確認は、図の焦点を実際の距離条件に結び付けます。焦点の座標だけを暗記すると、正負や軸を間違えても気づきにくいため、頂点で両焦点までの距離を計算してみます。2つの距離は c − a と c + a で、差の絶対値は 2a です。c > a がわかっているので、距離を負にする心配はありません。

基本例題：大きい分母が負の項にあるとき

次の双曲線について、開く向き、頂点、焦点を求めてください。座標は整数または根号を使って表してください。

x²/4 - y²/25 = 1

分母はどちらも正で、正の項は x²/4 です。したがって横向きです。標準形の a² は正の項の分母、b² は負の項の分母に対応します。

a² = 4
b² = 25
a = 2
b = 5
c² = a² + b²
   = 4 + 25
   = 29
c = √29

a、b、c は距離なので正の値を採用します。頂点は (2, 0)、(-2, 0)、焦点は (√29, 0)、(-√29, 0) です。図2のように分母 25 は y² の下にありますが、曲線が開く向きを示すのは正の項の x² です。

答えを元の式へ戻します。頂点 (2, 0) では 2²/4 − 0²/25 = 1 で、(-2, 0) でも同じです。逆に y 軸上では -y²/25 = 1 となるため、実数の交点はありません。焦点を戻して距離条件も調べます。(2, 0) から2つの焦点への距離は √29 − 2 と √29 + 2 で、差の絶対値は 4 です。これは 2a に一致します。

焦点自体は普通、曲線上の点ではありません。実際に (√29, 0) を式に入れると左辺は 29/4 です。焦点が曲線を定める点であることと、曲線がその点を通ることは別の条件です。図2でも焦点は頂点の外側の軸上に置き、曲線との交点として扱いません。

標準例題：右辺が負の式を整理する

次の式が表す双曲線の向き、頂点、焦点を求めてください。座標は整数または根号で表してください。

4x² - 9y² = -144

左辺の x² の係数が正だからといって、ここで横向きと決めるのは早すぎます。右辺を正の1にそろえた後の符号を見ます。-144 は0でないので両辺を割れます。

(4x² - 9y²)/(-144) = 1
-x²/36 + y²/16 = 1
y²/16 - x²/36 = 1

正の項は y²/16 ですから縦向きです。a² = 16、b² = 36 として計算します。

a = 4
b = 6
c² = 16 + 36
   = 52
c = 2√13

したがって頂点は (0, 4)、(0, -4)、焦点は (0, 2√13)、(0, -2√13) です。焦点は根号で正確に表せます。頂点を元の式へ入れると 4・0² − 9・4² = -144 です。x 軸上に曲線があると仮定すると 4x² = -144 となり、実数の x はありません。

焦点との距離の差も、上の頂点で確認します。c = 2√13 > 4 なので、2つの距離は 2√13 − 4 と 2√13 + 4 です。その差の絶対値は 8 で、2a と一致します。下の頂点でも2つの距離が入れ替わるため、差の絶対値は同じです。

右辺が負のときは、割る数が負になることで両項の符号が逆転します。例えば最初の式の係数だけを見て横向きとすると、間違えた頂点を元の式へ入れた段階で不一致が見つかります。符号を変えたら、正の項をもう一度囲むつもりで読み直しましょう。

発展例題：文字の範囲と境界を調べる

実数 t について、次の式が表す図形を考えます。双曲線になる t の範囲と開く向きを求め、焦点が原点から距離 4 にあるときの t と頂点、焦点を整数で求めてください。

x²/(t - 1) - y²/(7 - t) = 1

まず分母が0にならない条件は t ≠ 1、t ≠ 7 です。式そのものが定義されない値を、変形後に得た候補に含めることはできません。分母の符号が変わる 1 と 7 を境に、元の式を調べます。

1 < t < 7 では2つの分母が正です。正の項は x² の項ですから横向きの双曲線で、a² = t − 1、b² = 7 − t です。

c² = a² + b²
   = (t - 1) + (7 - t)
   = 6

この範囲では焦点までの距離は √6 で、4 にはなりません。頂点の位置は t とともに変わりますが、焦点までの距離は変わらないことにも注意します。

t < 1 では t − 1 < 0、7 − t > 0 です。左辺の2項はともに0以下であり、右辺の1にはなりません。実数の点がないので双曲線ではありません。

t > 7 では t − 1 > 0、7 − t < 0 です。負の分母を持つ項の前にもマイナスがあるため、左辺は2つの非負の項の和になります。実際に書き換えると次の式です。

x²/(t - 1) + y²/(t - 7) = 1

両分母は正なので楕円を表し、双曲線ではありません。t = 1、7 では元の式の分母が0です。したがって双曲線になるのは 1 < t < 7 の横向きだけで、焦点までの距離が4という追加条件を満たす t は存在しません。後半の頂点と焦点も存在しない、というのが指定された条件での答えです。

ここで距離 4 を 2乗して c² = 16 とする操作自体は正しいのですが、成立範囲の c² = 6 と一致しません。範囲外の式に同じ公式を当てて候補を作っても、元の式が双曲線でなければ意味がありません。値が存在しない場合にも、境界と各区間を調べたことを答えに残します。

誤答を図と式で直す

基本例題の式を見て「25 が 4 より大きいので縦向き、頂点は (0, ±5)」と答えたとします。図3のように、この候補は y 軸上にあります。実際に代入すると左辺は -1 で、右辺の 1 と一致しません。

原因は、楕円の分母の大小と、双曲線の開く方向を混同したことです。正の項が x²/4 であると読み替え、y = 0 を代入すれば x = ±2 が出ます。x = 0 の場合には -y²/25 = 1 となり、図3の候補を含め y 軸上に曲線はありません。図の緑の点が正しい頂点、橙の点が誤った候補です。

別の誤りとして、c² = b² − a² とすることがあります。これは双曲線の焦点に対する式ではありません。a = 2、b = 5 なら誤った計算は c = √21 を与え、頂点からの距離差は4でも、その焦点による距離差が曲線全体で一定とは限りません。実際、曲線上の (2√2, 5) について、距離の差は4になりません。正しい c² = 4 + 25 = 29 に戻して調べます。

図を描く前に「右辺は1か」「分母は正か」「正の項はどちらか」「焦点の距離は和の平方根か」の順に確認すると、間違いの場所を特定できます。頂点が式を満たさないなら、焦点の計算へ進む前に向きを修正します。

練習：式、向き、条件を往復する

次の5問を先に解いてから、後の解答を見てください。座標と値は整数、分数または根号で正確に表します。各問の双曲線の中心は原点です。

1. x²/9 − y²/49 = 1 の開く向き、頂点、焦点を求めてください。
2. y²/25 − x²/144 = 1 の開く向き、頂点、焦点を求めてください。
3. 16x² − 4y² = -64 の開く向き、頂点、焦点を求めてください。
4. 頂点が (0, ±2)、焦点が (0, ±√13) の双曲線について、軸が座標軸に一致するとして方程式を求めてください。
5. 実数 k に対し x²/k − y²/(k − 2) = 1 が横向きの双曲線で、焦点が原点から距離4にあるとき、k と頂点、焦点を求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 正の項が横のとき

x² の項が正なので横向きです。両分母は正ですから標準形を使えます。

a² = 9、b² = 49
c² = 9 + 49 = 58
a = 3、c = √58

頂点は (±3, 0)、焦点は (±√58, 0) です。頂点を元の式に入れると 9/9 = 1 です。また、(3, 0) と2焦点の距離は √58 − 3、√58 + 3 で、差は 6 = 2a です。49 が大きくても、負の項の分母なので縦向きにはなりません。

2. 正の項が縦のとき

y² の項が正で、両分母は正です。よって上下に開きます。

a² = 25、b² = 144
c² = 25 + 144 = 169
a = 5、c = 13

頂点は (0, ±5)、焦点は (0, ±13) です。頂点を式に戻すと 25/25 = 1 です。(0, 5) から2焦点までの距離は 8 と 18 なので、差は 10 = 2a です。焦点が頂点より外にあることも c > a から確かめられます。

3. 符号をそろえるとき

右辺 -64 は0でないので、両辺を -64 で割ります。

(16x² - 4y²)/(-64) = 1
y²/16 - x²/4 = 1
a² = 16、b² = 4
c² = 16 + 4 = 20
c = 2√5

正の項は y² なので縦向き、頂点は (0, ±4)、焦点は (0, ±2√5) です。元の式に (0, 4) を入れると -4・16 = -64 です。上の頂点からの焦点距離は 2√5 − 4 と 2√5 + 4 で、差は 8 です。2√5 > 4 も二乗して 20 > 16 から確かめられます。

4. 頂点と焦点から式へ戻すとき

両方が y 軸上にあるので、標準形は y²/a² − x²/b² = 1 です。距離から a = 2、c = √13 と置きます。

a² = 4
c² = 13
b² = c² - a²
   = 13 - 4
   = 9

b² は正なので条件を満たす双曲線が存在します。方程式は y²/4 − x²/9 = 1 です。y = ±2、x = 0 を代入すると1となります。さらに c² = 4 + 9 = 13 から焦点が指定どおり (0, ±√13) です。頂点から焦点までの距離の差も (√13 + 2) − (√13 − 2) = 4 です。もし c ≤ a なら b² が正にならず、この標準形の双曲線は作れません。

5. 文字の条件を先に絞るとき

元の式は k ≠ 0、k ≠ 2 で定義されます。横向きの双曲線なら正の項の分母 k と負の項の分母 k − 2 がともに正なので、k > 2 が必要です。0 < k < 2 では2項が非負の和となり楕円、k < 0 では y²/(2 − k) − x²/(-k) = 1 となり、縦向きの双曲線です。

k > 2 では a² = k、b² = k − 2 です。焦点までの距離は正なので、距離4の条件を二乗して次を得ます。

c² = k + (k - 2)
16 = 2k - 2
18 = 2k
k = 9

9 > 2 なので条件に戻せます。a² = 9、b² = 7、c² = 16 から、頂点は (±3, 0)、焦点は (±4, 0) です。実際の式 x²/9 − y²/7 = 1 に (3, 0) を入れると1で、焦点からの距離は1と7、差は6です。距離が4であることも焦点座標から確認できます。二乗後に得た k を、必ず元の範囲と照合してください。

覚えておくこと

正の項の変数が、頂点と焦点の並ぶ軸を決めます。 a は原点から頂点まで、c は原点から焦点までの距離です。 双曲線では a、b > 0 として c² = a² + b² です。 文字を含むときは分母の符号と0を調べ、答えを元の条件へ戻します。

どこで止まったかを見分ける

分母の大きい方を軸に選んだ場合は、候補の頂点を元の式に代入して、右辺に戻るかを確かめます。軸の向きは正しいのに焦点が内側に来た場合は、a² と b² の和を使ったか、c を正の距離として扱ったかを点検します。

文字の問題で答えが出ないときは、分母が0になる値と符号が変わる区間を紙に分けて書きます。個別指導では、本人が選んだ各区間で両項の符号を説明できるか、頂点の代入と2焦点からの距離差を自力で戻せるかを確認します。正の項と軸との交点が、双曲線の向きを結び付けます。