高校数学C 双曲線の定義—距離の差の絶対値から二つの枝と標準形を導く｜武蔵野個別指導塾

焦点までの距離差を二乗する前後で符号を点検し、左右の枝がそろう理由をたどる双曲線です。

よくあるのは、理系の高3が2つの焦点までの距離の差を式にするとき、引く順序を1つに固定し、もう一方の枝を落としてしまう場面です。二乗して見慣れた式を得ても、それが元の条件と同じ点の集まりなのかは別に確かめる必要があります。距離の大小と点の位置を往復しながら、双曲線の定義を読み直します。

要点（結論から）

• 通常の双曲線では 0 < 2a < 2c、b² = c² − a² です。
• 絶対値付きの距離差は2つの枝を含みます。
• 符号付きの差は元の引き算で枝を選びます。

問いの形と最初の分岐

距離差を扱う問題には、焦点と差から軌跡の方程式を求める型、方程式から焦点と距離差を読み取る型、符号を指定した差から片方の枝を選ぶ型があります。どれも先に焦点間の距離と指定された差を比べます。焦点間の距離より差が大きければ、そもそも条件を満たす点はありません。

次に絶対値が付いているかを見ます。絶対値があれば、どちらの距離が長いかという2通りを考えます。符号付きの差なら、二乗して得た式だけを答えにせず、元の引き算に戻して枝を選びます。式の変形を始める前にこの分岐を書いておくと、最後の確認の対象が明確になります。

距離差から標準形へ

異なる2点 F(-c,0)、G(c,0) を焦点とし、c > 0 とします。点 P(x,y) について PF と PG の差の絶対値が 2a である点の集合を考えます。通常の双曲線の条件は 0 < a < c です。b > 0 を b² = c² − a² で定めると、標準形は x²/a² − y²/b² = 1 です。

図1のように、右の枝では左の焦点 F までの距離が長く、左の枝では右の焦点 G までの距離が長くなります。頂点は (a,0)、(-a,0) です。図の距離の線分は、右側の点で引く順を確認するために描いています。

図1の右側では PF − PG = 2a、左側では PF − PG = -2a です。距離の差が正とは限らないため、定義には |PF − PG| = 2a と絶対値を付けます。焦点を結ぶ線分上でなくても、各距離は必ず0以上です。

三角形の辺の関係から |PF − PG| ≤ FG = 2c です。2a > 2c なら点はありません。2a = 2c なら焦点を外側に延長した2本の半直線になり、通常の双曲線ではありません。差が0なら、異なる焦点から等距離の点は垂直二等分線 x = 0 です。したがって、正の差が焦点間距離より小さい条件が必要です。

右の枝の式を導きます。PF = R、PG = S と置けば R,S ≥ 0 です。R − S = 2a なので R = S + 2a として、両辺を二乗できます。

(x + c)² + y² = (x - c)² + y² + 4aS + 4a²
4cx = 4aS + 4a²
S = cx/a - a

ここでは a > 0 なので a で割れます。最後の式の右辺は距離 S と等しいため、負であってはいけません。さらに S² = (x − c)² + y² を使います。

(cx/a - a)² = (x - c)² + y²
(c²/a² - 1)x² = c² - a² + y²
(b²/a²)x² = b² + y²
x²/a² - y²/b² = 1

b² > 0 なので最後の割り算も可能です。ただし、二乗した式が得られたことは必要条件を示した段階です。逆向きにも確かめて、余分な点がないことを示します。

標準形上では x²/a² = 1 + y²/b² ≥ 1 なので、x ≥ a または x ≤ -a です。右側 x ≥ a では、c > a より cx/a − a ≥ c − a > 0 です。また標準形と b² = c² − a² から次が成り立ちます。

(x - c)² + y² = (cx/a - a)²
(x + c)² + y² = (cx/a + a)²

両右辺の平方根は正なので、PG = cx/a − a、PF = cx/a + a です。よって PF − PG = 2a に戻ります。左側 x ≤ -a では -cx/a ≥ c > a であるため、同じ2式の正の平方根から PG = -cx/a + a、PF = -cx/a − a となり、PF − PG = -2a です。したがって標準形上の2つの枝は、絶対値付きの元の条件をちょうど満たします。

焦点が縦軸上の (0,-c)、(0,c) にあるときは x と y の役割を交換します。距離差が 2a なら y²/a² − x²/b² = 1 です。どちらの向きでも、a は距離差の半分であり、分母の大小だけで開く方向を決めることはできません。

基本例題：2つの枝を残す

焦点を F(-5,0)、G(5,0) とし、|PF − PG| = 6 を満たす点 P の軌跡を求めます。方程式は標準形で、頂点は座標で答えてください。

ここでは c = 5、2a = 6 なので a = 3 です。0 < 3 < 5 を満たすので通常の双曲線になります。b は正として求めます。

b² = c² - a²
   = 25 - 9
   = 16
x²/9 - y²/16 = 1

図2のように頂点は (-3,0)、(3,0) です。焦点間の距離は10で、指定された距離差6より大きいことも図から確かめられます。

図2の右頂点では PF = 8、PG = 2 なので差は6です。左頂点では PF = 2、PG = 8 なので差は -6、絶対値は6です。頂点以外も標準形から定義への逆向きの確認が成立します。たとえば P(5,16/3) は方程式を満たし、PF = 34/3、PG = 16/3 で差は6です。2つの頂点の検算だけで曲線全体を証明したことにはならない点にも注意します。

標準例題：引く順序を残す

焦点を A(-13,0)、B(13,0) とします。PA − PB = 10 を満たす点 P の軌跡を、標準形の方程式と x の範囲で答えてください。

差の絶対値は10ですから、まず 2a = 10、c = 13 と置きます。0 < 5 < 13 を満たし、b² は正です。

a = 5
b² = 13² - 5²
   = 144
x²/25 - y²/144 = 1

この式には2つの枝が含まれます。PA > PB という元の条件では、P は B に近い右側です。実際、距離の平方の差は次のとおりです。

PA² - PB² = (x + 13)² + y² - (x - 13)² - y²
             = 52x

PA − PB = 10 > 0 なら PA² − PB² > 0 なので x > 0 です。標準形上で x > 0 は x ≥ 5 と同じです。したがって答えは x²/25 − y²/144 = 1、x ≥ 5 です。右頂点では PA = 18、PB = 8 で差は10です。左頂点では差が -10 になり、方程式には入っても元の条件には入りません。

逆に右枝の任意の点では、前節の平方根の符号の確認から PA − PB = 10 です。右枝を選んだことによって必要条件だけでなく十分条件も満たしています。もし差が PB − PA = 10 なら、同じ方程式の x ≤ -5 を選びます。

発展例題：差の値で集合を分類する

焦点を C(-4,0)、D(4,0) とします。実数 k ≥ 0 について |PC − PD| = k を満たす点の集合を、k の範囲ごとに式または図形の言葉で答えてください。双曲線の場合は標準形を k で表してください。

焦点間距離は8です。三角形の辺の関係から距離差は8を超えません。まず k = 0 では PC = PD です。

(x + 4)² + y² = (x - 4)² + y²
16x = 0
x = 0

逆に x = 0 の任意の点は2つの距離の平方が等しく、距離は非負なので距離も等しいです。答えは y 軸全体です。

次に 0 < k < 8 なら a = k/2、c = 4 が 0 < a < c を満たします。

b² = 16 - k²/4
x²/(k²/4) - y²/(16 - k²/4) = 1

両分母は正です。標準形と元の絶対値条件の往復が成立し、左右の枝を含みます。

k = 8 では、三角形の辺の関係が等号になる場合を調べます。たとえば PC − PD = 8 なら PC = PD + DC です。これは C、D、P がこの順に一直線上に並ぶ場合で、x ≥ 4、y = 0 です。逆にその半直線上では PC = x + 4、PD = x − 4 なので差は8です。反対の符号では x ≤ -4、y = 0 です。両方の焦点を端点に含みます。

k > 8 では不等式 |PC − PD| ≤ 8 に反するため、点はありません。k = 8 を双曲線の式へ直接代入すると分母が0になり、式として使えません。k = 0 でも同じ問題が起きます。境界を先に分けることで、存在しない分母による割り算を避けられます。

誤答を図で修正する

焦点 E(-5,0)、H(5,0) に対し、PE − PH = 6 の軌跡を x²/9 − y²/16 = 1 と答えたとします。図3のように、この方程式は左右の枝を表します。しかし左頂点では PE = 2、PH = 8 なので差は -6 です。指定された差は正ですから、左枝は条件を満たしません。

図3の右頂点では PE = 8、PH = 2 で差が6です。誤りの原因は、二乗した後に元の符号を捨てたことです。修正すると答えは x²/9 − y²/16 = 1、x ≥ 3 です。逆に問題が |PE − PH| = 6 なら、左枝も含めます。

別の失敗として、焦点間距離10に対し距離差12を指定されても、a = 6、c = 5 として b² = -11 を計算し、そのまま標準形に入れることがあります。b² は正の数の平方ですから、この操作は前提に反します。距離差は焦点間距離を超えられないので、正しい答えは空集合です。式の形を作る前に、存在条件を調べることが修正の出発点です。

さらに、平方根 √(u²) を常に u とするのも危険です。正しくは |u| です。左枝では cx/a + a が負になるため、そのまま距離とすると負の値が出ます。左右で符号を確認してから平方根を外すと、距離の非負性と枝の選択を同時に守れます。

練習：距離の条件から戻る

次の5問は、それぞれ独立した条件です。方程式は標準形、座標は整数または分数で答えてください。集合が存在しない場合はその旨を書いてください。

1. 焦点を (-10,0)、(10,0) とし、2つの焦点までの距離の差の絶対値を12とする軌跡の方程式と頂点を求めてください。
2. 焦点を (-17,0)、(17,0) とし、左の焦点までの距離から右の焦点までの距離を引くと16になる軌跡を、方程式と x の範囲で表してください。
3. 焦点を (0,-5)、(0,5) とし、距離差の絶対値を8とする軌跡の方程式と頂点を求めてください。
4. 焦点を (-7,0)、(7,0) とし、距離差の絶対値が14である点の集合を座標の条件で表してください。
5. 焦点を (-6,0)、(6,0) とし、距離差の絶対値が15である点の集合を求めてください。

練習の答えと確かめ方

1

c = 10、a = 6 です。0 < 6 < 10 を確認してから b² を求めます。

b² = 10² - 6²
   = 64
x²/36 - y²/64 = 1

頂点は (-6,0)、(6,0) です。右頂点から焦点までの距離は16と4で差は12、左頂点では4と16で差は -12 です。絶対値はどちらも12です。標準形上の他の点についても、導出の逆により距離差が12になります。

2

c = 17、a = 8 で、0 < 8 < 17 です。距離差の絶対値に対応する方程式を先に作ります。

b² = 17² - 8²
   = 225
x²/64 - y²/225 = 1

左の焦点までの距離が長いので右枝を選びます。答えはこの方程式と x ≥ 8 です。右頂点では距離が25と9で差は16です。左頂点では差が -16 なので含めません。右枝上の点が指定された符号を持つことは平方根を外すときの符号でも確かめられます。

3

焦点は縦軸上です。c = 5、a = 4 で 0 < 4 < 5 なので、縦向きの標準形を使います。

b² = 5² - 4²
   = 9
y²/16 - x²/9 = 1

頂点は (0,-4)、(0,4) です。上の頂点から下の焦点まで9、上の焦点まで1なので差は8です。下の頂点では引く順序によって -8 になりますが、絶対値は8です。座標を交換した導出の逆により、両枝の他の点も元の条件を満たします。

4

焦点間距離は14です。距離差がそれに等しいため、通常の双曲線ではなく焦点を端点とする外向きの半直線になります。

y = 0、x ≥ 7
または
y = 0、x ≤ -7

右側で距離は x + 7 と x − 7、差は14です。左側でも距離差の絶対値は14です。それ以外で等号が成り立たないのは、三角形の辺の関係の等号が3点の一直線上の配置を要するためです。

5

焦点間距離は12です。任意の点について距離差の絶対値は12以下なので、15にはなりません。答えは空集合です。端点や軸上の遠い点を試しても差は最大12であり、数を大きくしても条件は回復しません。

要点

• 通常の双曲線では 0 < 2a < 2c、b² = c² − a² です。
• 絶対値付きの距離差は2つの枝を含みます。
• 符号付きの差は元の引き算で枝を選びます。
• 二乗の逆では平方根の符号と距離の非負性を確かめます。
• 差が焦点間距離と等しい場合と超える場合は別に扱います。

式のどこで止まったかを見分ける

標準形が書けても枝を選べない場合は、左右の頂点で2つの距離を実際に引き、符号と位置を対応させます。式が作れない場合は、距離差の半分を a、焦点間距離の半分を c と置けているかを先に見ます。差そのものを a と置くと頂点の位置までずれるため、問題文の数と記号の対応を行に残します。

個別指導では、二乗前に置いた距離が非負か、得られた平方根を絶対値なしで外してよいかを本人の式で確かめます。境界値で分母が0になったときは、元の距離条件へ戻して点があるかを調べます。符号と逆向きの確認がそろえば、2つの枝を根拠を持って扱えます。