高校数学C 絶対値不等式の領域—境界と内外を距離の条件へ戻して選ぶ｜武蔵野個別指導塾

円板と半平面の重なりや距離比の不等式を扱い、試す点の代入と境界の包含から領域を描き分けます。

よくあるのは、理系高3が絶対値の不等式から境界の円を描けても、その内部と外部のどちらが条件を満たすかを落とす場面です。等号を付けた式は境界を探す手がかりですが、円周だけが答えとは限りません。点を1つ選んで元の不等式に戻し、色を付ける側と境界を含むかどうかまで決めましょう。

要点（結論から）

• 絶対値を点間の距離に直し、等号で境界を探します。
• 非負の両辺を2乗し、試す点を元の条件に戻して内外を選びます。
• 共通部分では各境界と交点の包含、商では分母を確認します。

距離の言葉に直す入口

問題の形には、まず3つの型があります。|z-a| ≤ r は点 a から距離 r 以下の円板です。r が正なら内部と円周、r = 0 なら点 a、r が負なら条件を満たす点はありません。等号がない場合は円周を含まず、r = 0 以下の距離を求める不等式も、等号の有無で答えが変わります。

次に |z-a| と |z-b| の大小を比べる型では、2点のどちらに近いかを考えます。等距離の境界は2点を結ぶ線分の垂直二等分線で、どちら側かは a や b を代入すれば判定できます。ただし a と b が一致すると境界を1本の直線と決められません。最後に、片方に正の係数が付く距離比の型があります。係数が1なら半平面、1以外なら平方完成で円の内外を調べます。2条件が並ぶときは各領域を別々に決め、重なる部分を取ります。

境界と試す点を組にする

複素数 z = x + yi に対応する点を P、a に対応する点を A とすると、|z-a| は距離 PA です。絶対値は負にならないので、両辺が距離または正の数倍の距離なら、両辺を2乗しても不等号の向きは変わらず、逆も成り立ちます。負の数が片側にあるときは、この操作の前に符号を調べます。たとえば |z| < -1 は解なしであり、2乗して |z|² < 1 としてはいけません。

図1のように、|z-(1+i)| ≤ 2 は中心 A(1, 1)、半径2の円周とその内側です。中心は距離0なので条件に入り、中心から3離れた点は入りません。境界に等号が付くと実線で含め、厳密な不等号なら破線で除きます。図の塗りは領域を表し、線は境界の扱いを表します。

図1の中心を試す方法は円板には便利ですが、距離比では分母のある式のまま中心を代入できないことがあります。商の形 |z-a|/|z-b| を使う問題では z ≠ b を先に書きます。一方、|z-a| ≤ k|z-b| という積の形には分母がありません。b 自体が入るかは元の不等式で判定し、商の式から移した除外条件を勝手に付けないようにします。

2つの条件の共通部分では、境界の交点も両方に戻します。一方の境界を含んでも、もう一方が厳密な不等号なら交点は含まれません。図を描く順番は、境界、試す点、塗る側、境界と交点の順にすると確認しやすくなります。

境界の式が同じでも、条件全体が同じとは限りません。例えば |z-a| ≤ r と |z-a| ≥ r は、r > 0 なら同じ円周を共有しますが、前者は内側、後者は外側です。等号を外した2つの条件では円周自体はどちらにも入らず、平面は内側、円周、外側の3つに分かれます。境界を描いた直後に、等号の有無を書き添えます。

距離比の変形で円の係数が消える場合も見ておきます。a ≠ b のとき、|z-a| ≤ |z-b| を2乗すると x² と y² が消え、一次不等式が残ります。2点が異なるので一次の係数は同時には0にならず、その等号は直線です。a = b なら両辺は常に等しいため、≤ では平面全体、< では解なしです。初めに点が異なるかを確かめる理由がここにあります。

共通部分が空になる場合もあります。例えば |z| ≤ 1 と |z| > 2 を同時に満たす点は、原点からの距離が1以下かつ2より大きくなければならず、存在しません。境界の円が2つ描けても、その間を機械的に塗ってはいけません。また |z| ≤ 1 と |z| ≥ 1 の共通部分は円周です。片方の等号を外せば共通部分はなくなります。条件を「かつ」で結ぶときは、両方に入る点だけを残します。どちらか一方を満たす条件なら和集合となり、塗る部分が変わるので、接続する言葉も読み落とさないようにします。

基本例題：円板と半平面の重なり

点 P を表す複素数 z が、|z| ≤ 2 かつ |z-1| ≤ |z+1| を満たすとします。領域を図示し、境界を含むか答えてください。

z = x + yi とおきます。最初の条件は x² + y² ≤ 4 なので、原点中心、半径2の円板です。次の両辺は距離で非負ですから、2乗して整理できます。

|z-1|² ≤ |z+1|²
(x-1)² + y² ≤ (x+1)² + y²
x² - 2x + 1 ≤ x² + 2x + 1
-4x ≤ 0
x ≥ 0

したがって答えは x² + y² ≤ 4 かつ x ≥ 0、つまり右半分の円板です。図2のように、円の右側の半円周と虚軸上の線分の両方を含みます。交点 (0, 2)、(0, -2) も両条件で等号が成り立つので含みます。

元の距離でも向きを確かめます。点 (1, 0) は原点から距離1で、点1までの距離0が点-1までの距離2以下です。反対側の (-1, 0) は点1まで2、点-1まで0なので後の条件を満たしません。逆に、右半円板の任意の点は上の変形を逆にたどれるため、元の2条件を満たします。必要な形を得ただけでなく、得た全点が戻ることまで確認できました。

標準例題：距離比から内外を決める

|z-4| < 2|z| を満たす点の領域を、中心と半径を正確な分数で示して答えてください。境界の扱いも答えます。

両辺は非負です。厳密な不等号も、非負の数どうしなら2乗と同値です。z = x + yi として次のように整理します。

(x-4)² + y² < 4(x² + y²)
x² - 8x + 16 + y² < 4x² + 4y²
0 < 3x² + 3y² + 8x - 16
0 < x² + y² + (8/3)x - 16/3
0 < (x+4/3)² + y² - 64/9
(x+4/3)² + y² > 64/9

答えは中心 -4/3、半径 8/3 の円の外部で、円周は含みません。中心に当たる z = -4/3 では左辺が 16/3、右辺が 8/3 ですから条件を満たさず、外側を選ぶ結果と一致します。z = 4 では左辺0、右辺8なので条件を満たします。原点は両辺が4と0で条件を満たさず、円周上でもありません。

係数2があるから外側、と暗記するのは危険です。距離の順序を逆にすれば内側になるからです。式を整理してから試す点を元の条件に戻すと、向きの取り違えを検出できます。ここは商ではなく積の不等式なので、z = 0 を代入して判定することに支障はありません。

発展例題：共通部分で距離の最小と最大を調べる

|z-2| ≤ 2 かつ |z| ≥ 2 を満たす z について、|z-2| の最小値と最大値を求め、それぞれを与える z を正確に答えてください。

点 P に対応する z、点 A に対応する2を考えます。PA ≤ 2、OP ≥ 2 です。三角形の距離の関係 OP ≤ OA + AP に OA = 2 を代入すると、OP ≥ 2 と合わせて AP ≥ 0 です。点 A は OP = 2、AP = 0 を満たすので、最小値は0で z = 2 です。

一方、最初の条件から AP ≤ 2 です。z = 4 なら AP = 2、OP = 4 で両条件を満たします。したがって最大値は2です。ただし最大を与える点は1点とは限りません。AP = 2 の円周上で OP ≥ 2 を満たす点を調べます。

(x-2)² + y² = 4
x² + y² = 4x
OP ≥ 2 は x² + y² ≥ 4
したがって 4x ≥ 4
x ≥ 1

最大を与えるのは |z-2| = 2 かつ Re z ≥ 1 を満たす円周上の点です。端点は z = 1 ± √3 i です。そこでは OP² = 1 + 3 = 4、AP² = 1 + 3 = 4 なので両境界に入り、等号を含む条件に合います。円周上の x < 1 の点は OP < 2 となり、最初の条件を満たしても除外されます。

分かれ目は、距離の上限や下限が見えた後に、その値を実際に取れるか調べるところです。たとえば最初の条件が |z-2| < 2 なら、上限2に近づけても2自体は取れず、最大値は存在しません。上限と最大値を区別し、境界を外した影響を最後に点検します。

誤答から塗る側を直す

基本例題で、|z-1| ≤ |z+1| の境界 x = 0 を求めて、円周と虚軸の線分だけを答えたとします。等号が成り立つ点は確かに境界ですが、不等号には距離が等しくない点も入ります。図3のように点1を試すと、左辺0、右辺2で条件を満たします。円板の中でも右側全体が必要です。

別の誤りは、境界を実線にするかどうかを図の見栄えで決めることです。たとえば |z| < 2 では (2, 0) を代入すると 2 < 2 は偽です。円周上の点は除かれますが、原点は 0 < 2 を満たします。円周を消して領域まで消す必要はありません。

さらに、2乗して得た式だけを見ると、元の条件にあった分母の制限を失う場合があります。|z-3|/|z| ≤ 1 なら z ≠ 0 が先です。この例では原点は距離の積の式にも入らないため結果は変わりませんが、それを確かめる前に除外条件を忘れてはいけません。等号、試す点、定義されない点をそれぞれ別に調べるのが修正の順序です。

練習：5つの条件を自分で描く

次の各問で、領域は座標の不等式または中心・半径と内外で正確に表し、境界の包含も答えてください。最大値を問う場合は値を取る点も答えます。

1. |z-(3-2i)| < 1 の領域を求めます。
2. |z-2i| ≥ |z+2i| の領域を求めます。
3. |z-6| ≤ 2|z| の領域を求めます。
4. |z| ≤ 3 かつ |z-2| < |z+2| の共通部分を求めます。
5. |z+1| ≤ 2 のとき |z| の最大値と、その値を取る z を求めます。

練習の答えと戻し方

1. 中心 3-2i、半径1の円の内部で、円周は含みません。z = x + yi なら (x-3)² + (y+2)² < 1 です。中心を入れると距離0 < 1、中心から右に1離れた点 4-2i は距離1なので入りません。距離の定義からこの座標不等式と元の条件は互いに戻れます。

2. 両辺は非負なので2乗します。

x² + (y-2)² ≥ x² + (y+2)²
-4y ≥ 4y
y ≤ 0

実軸を含む下半平面です。z = -2i では左辺4、右辺0なので入り、z = 2i では0 ≥ 4 が偽です。実軸上では2つの距離が等しく、境界を含みます。変形は逆にもたどれるため、この半平面の点は元の条件を満たします。

3. 非負の両辺を2乗して平方完成します。

(x-6)² + y² ≤ 4x² + 4y²
0 ≤ 3x² + 3y² + 12x - 36
0 ≤ x² + y² + 4x - 12
16 ≤ (x+2)² + y²

中心 -2、半径4の円の外部と円周です。z = 6 は左辺0、右辺12で入り、中心 z = -2 は左辺8、右辺4で入りません。境界上では2乗した距離が等しく、両辺が非負なので元の距離も等しくなります。

4. 後の条件を2乗すると、(x-2)² + y² < (x+2)² + y²、すなわち x > 0 です。答えは x² + y² ≤ 9 かつ x > 0 です。右半円の円周は含みますが、虚軸上の線分とその端点は含みません。z = 1 は両条件を満たし、z = 0 は2つの距離が等しいので後の条件を満たしません。両式はそれぞれ逆変形できるので、共通部分の各点は元の両条件に戻ります。

5. 三角形の距離の関係より |z| = |(z+1)-1| ≤ |z+1| + 1 ≤ 3 です。z = -3 では |z+1| = 2、|z| = 3 なので最大値は3です。等号を取るには、原点から見て中心 -1 のさらに先に点があり、中心からの距離が2でなければならないため、z = -3 に限ります。元の円板の境界に実際にあることも代入で確かめました。

要点

• 絶対値を点間の距離に直し、等号で境界を探します。
• 非負の両辺を2乗し、試す点を元の条件に戻して内外を選びます。
• 共通部分では各境界と交点の包含、商では分母を確認します。
• 最小値・最大値は候補が実際に取れるかまで調べます。

どこで判断が止まったか

境界は描けるのに塗る側が決まらない場合は、円の中心や2つの基準点を候補にして、元の距離を口頭で比べてみます。計算した不等号の向きと点の判定が食い違えば、展開や負の数で割る箇所を見直せます。個別指導では、図の境界上の点と境界の両側の点をそれぞれ1つ選び、代入した式と図の塗りが一致するか確かめます。境界を外すと最大値が消える場合まで説明できれば、領域を点の集まりとして扱えています。