高校数学C 和と差の図形—平行四辺形と点の移動を対応させて計算する｜武蔵野個別指導塾

平行四辺形の頂点や線分上の点を式に直し、始点と終点を取り違えやすい和と差の図形を読み解きます。

よくあるのは、理系高3が複素数平面の二点の差を、座標の和として描いてしまう場面です。引き算を見て左向きに線を引いたものの、その線がどこからどこへの移動かを説明できない。そこで点を表す数と、点から点への移動を表す差を区別してみます。式の符号は、図の始点と終点を入れ替えるかどうかに結びつきます。

式を立てる前に移動の向きを決める

和と差の図形には、見た目の異なる問いがいくつかあります。第1は、二つの点を隣の頂点とする平行四辺形の残りの頂点を求める問いです。原点からの二つの移動を続けると和に着きます。共通の頂点が原点でない場合は、まずその頂点を出発点として引き直します。

第2は、二点を結ぶ線分の内分点や延長上の点を求める問いです。始点から終点への差に実数を掛けると、その移動の長さと向きが変わります。係数の範囲が、線分なのか端点を含まない線分なのか、直線全体なのかを決めます。

第3は、動く点に和や差の条件を課し、別の点の動く範囲を求める問いです。式を一方向に変形して得られた候補が、実際に元の点から作れることまで確認します。図形を眺める前に、固定された点と動く点、係数の範囲を書き出すと判断しやすくなります。

点を表す数と移動を表す差

複素数 z = x + yi は、実軸を横、虚軸を縦にとった平面の点 (x, y) に対応します。原点を O、複素数 a, b に対応する点を A, B とします。a = p + qi、b = r + si とすると、a + b = (p + r) + (q + s)i です。横方向と縦方向の移動をそれぞれ足しているので、O から A への移動に、O から B への移動と同じ移動を続けた先が a + b に対応します。

図1のように、2つの移動を平行にずらして並べると、O を共通の頂点とする平行四辺形の向かい側の頂点に着きます。A と B が原点と一直線上にある場合は平行四辺形がつぶれますが、座標の和としての説明はそのまま成立します。図形がつぶれる場合も式から捨てないことが大切です。

差 b − a = (r − p) + (s − q)i は、A から B へ移動するときの横と縦の変化です。差に対応する点そのものは O から同じ移動をした先にあります。図1では A から B への矢印と、O から b − a への矢印が同じ向き、同じ長さです。逆向きの B から A への移動は a − b です。点 B そのものと移動 b − a を同じものと見ないようにします。

実数 t に対し、a + t(b − a) を考えます。t = 0 で A、t = 1 で B です。0 < t < 1 では A から B への移動を途中まで進むため、点は線分 AB の内部にあります。t < 0 なら A から B と反対の向き、t > 1 なら B を越えた先です。負の実数倍では向きが逆転し、t = 0 では移動がなくなります。

座標で見れば、この式の実部は p + t(r − p)、虚部は q + t(s − q) です。実部と虚部に同じ t を使うので、横と縦の変化は一体です。各成分に別々の係数を許すと、一般には同じ直線上に限られません。A = B なら差は 0 で、どんな t でも点は A のままです。直線全体を表すと結論するには A と B が異なることが必要です。

基本例題：共通の頂点を見つける

原点 O と、a = 2 + i、b = 1 + 2i に対応する点 A、B があります。O、A、C、B がこの順に並ぶ平行四辺形の頂点 C を表す複素数 c を、実部と虚部を整数で表して求めてください。また、A から B への移動を表す複素数を求めてください。

図2のように、O から A へ進んだ後、O から B への移動を A から行うと C に着きます。C の位置を直接足すのではなく、平行四辺形の向かい合う辺の移動が等しいことを使います。

A から C への移動は b なので、c − a = b です。これを順に解きます。

c = a + b
  = (2 + i) + (1 + 2i)
  = 3 + 3i

一方、A から B への移動は終点から始点を引くので、次のようになります。

b - a = (1 + 2i) - (2 + i)
      = -1 + i

答えを図に戻すと、A (2, 1) から C (3, 3) への変化は (1, 2) で、O から B への変化に一致します。B (1, 2) から C への変化も (2, 1) で、O から A への変化に一致します。また A から B へは左に 1、上に 1 進み、-1 + i と合います。頂点の並ぶ順を変えた別の平行四辺形を求めていないかも、辺の対応で確かめます。

標準例題：内分点と延長を係数で読む

点 A、B はそれぞれ a = -2 + 3i、b = 4 − i に対応します。点 P は直線 AB 上にあり、A から B への移動の 2/3 倍を A から行った点です。点 Q は A から B への移動の 3/2 倍を A から行った点です。P、Q の複素数をそれぞれ実部と虚部が整数または既約分数の形で求め、線分との位置関係も述べてください。

まず移動の差を計算します。

b - a = (4 - i) - (-2 + 3i)
      = 6 - 4i

P は A を出発するので、p = a + (2/3)(b − a) です。

p = (-2 + 3i) + (2/3)(6 - 4i)
  = (-2 + 3i) + 4 - (8/3)i
  = 2 + (1/3)i

係数 2/3 は 0 と 1 の間なので、P は線分 AB の内部にあります。AP と PB の長さの比は 2 : 1 です。比の順序は A からの移動が全体の 2/3 であることから決めます。

同様に Q については次のように求めます。

q = a + (3/2)(b - a)
  = (-2 + 3i) + (3/2)(6 - 4i)
  = (-2 + 3i) + 9 - 6i
  = 7 - 3i

3/2 は 1 より大きいので Q は B を越えた延長上です。Q から B までの移動の大きさは AB の半分です。元の条件へ戻すと、p − a = 4 − (8/3)i = (2/3)(6 − 4i)、q − a = 9 − 6i = (3/2)(6 − 4i) です。どちらも指定された出発点と移動量に一致します。

内分の公式を使う場合も、p = (1/3)a + (2/3)b の重みを確かめます。A に近い点ほど a の重みが大きくなります。比の数字をそのまま同じ側の点に掛けると、別の内分点へ移ってしまいます。外分の公式を暗記して符号に迷ったときも、A を出発点とする式に戻せます。

発展例題：動く点の範囲を往復で示す

固定点 A、B は a = 1 + 2i、b = 7 + 2i に対応します。点 P は A と B を含む線分 AB 上を動きます。点 Q は、原点 O から Q への移動が、O から P への移動の 2 倍に、-3 + i に対応する移動を加えたものとなる点です。Q の動く範囲を端点の複素数を含めて求めてください。

A と B は異なるので、線分上の P は実数 t を使って一意に次のように表せます。両端を含むため 0 ≤ t ≤ 1 です。

p = a + t(b - a)
  = (1 + 2i) + t((7 + 2i) - (1 + 2i))
  = 1 + 2i + 6t

条件の移動を式にすると q = 2p − 3 + i です。これに代入します。

q = 2(1 + 2i + 6t) - 3 + i
  = -1 + 5i + 12t

したがって Q の虚部は 5、実部は -1 から 11 までです。候補は、-1 + 5i と 11 + 5i に対応する 2 点を端点とする線分です。t = 0、1 は許されるので両端を含みます。

ここで必要条件だけで終わらず、逆向きも確認します。候補の線分上の任意の点を q = x + 5i、-1 ≤ x ≤ 11 とすると、t = (x + 1)/12 は 0 ≤ t ≤ 1 を満たします。この t から p = 1 + 2i + 6t を作れば P は元の線分上にあり、2p − 3 + i = q です。よって候補の点はすべて実現します。端点はそれぞれ P = A、P = B から得られます。

分かれ目は、点の式を求めることと、その式が動く範囲を求めることの違いです。実数倍が正なら移動の向きは保たれ、負なら向きは逆転します。係数が 0 なら範囲は 1 点に縮み、逆算でその係数を割ることはできません。この例では 2 と 12 が非零であり、逆向きの構成が可能です。

誤答を移動の図で直す

A が a、B が b を表すとき、「A から B への移動は a − b」とした答案を考えます。原因は、式の左側に始点を置けばよいと思い、差を引き算の順序だけで覚えていることです。A から移動 d を行って B に着くなら、出発点と移動の和は a + d = b です。これを解くと d = b − a となります。

図3のように、基本例題の A (2, 1) から B (1, 2) に行くには左に 1、上に 1 です。誤った差 a − b = 1 − i を A に足すと 3 になり、B の 1 + 2i に着きません。正しい差 -1 + i なら (2 + i) + (-1 + i) = 1 + 2i です。差を出したら始点へ足し戻す検査は、座標の正負が複雑でも使えます。

もう一つの誤りは、線分の式で係数の範囲を書かないことです。p = a + t(b − a) に実数全体を許すと、異なる A、B を通る直線全体が現れます。線分の内部を求める問題なら 0 < t < 1、端点を含む線分なら 0 ≤ t ≤ 1 とします。式が正しくても範囲が広すぎる場合は、端点の扱いから修正します。

練習：移動を式にして戻す

次の 5 問は、複素数を実部と虚部が整数または既約分数の形で答えてください。点の範囲を答えるときは端点を含むかも示します。

1. A、B がそれぞれ -3 + 2i、2 + 6i に対応します。A から B への移動を表す複素数を求めてください。
2. O、A、C、B がこの順に平行四辺形の頂点です。a = 3 − 2i、b = -1 + 5i のとき、C を表す複素数を求めてください。
3. A は 1 − 4i、B は 7 + 2i に対応します。線分 AB を AP : PB = 1 : 2 に内分する P を求めてください。
4. A は -2 − i、B は 2 + 3i に対応します。A から B への移動の -1/2 倍を A から行った点 R を求め、R の位置を述べてください。
5. P が 2 + i と 2 + 4i を両端とする線分上を両端を含めて動きます。q = -p + 4 − 2i で定まる Q の動く範囲を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 終点から始点を引きます。

b - a = (2 + 6i) - (-3 + 2i)
      = 5 + 4i

A に足すと (-3 + 2i) + (5 + 4i) = 2 + 6i です。横に 5、縦に 4 の移動で B に着きます。

2. O から A、次に O から B と同じ移動を行います。

c = a + b
  = (3 - 2i) + (-1 + 5i)
  = 2 + 3i

c − a = -1 + 5i = b、c − b = 3 − 2i = a です。向かい合う辺の移動が等しく、指定の順序の平行四辺形を作ります。

3. AP は AB の 1/3 です。A と B は異なるため、内分点は一意です。

b - a = (7 + 2i) - (1 - 4i)
      = 6 + 6i
p = a + (1/3)(b - a)
  = (1 - 4i) + (2 + 2i)
  = 3 - 2i

p − a = 2 + 2i、b − p = 4 + 4i です。後者は前者の 2 倍で、P は同じ向きに並ぶ A、B の間にあり、指定された比 1 : 2 に戻ります。

4. 負の係数なので A から B と反対向きへ進みます。

b - a = (2 + 3i) - (-2 - i)
      = 4 + 4i
r = a - (1/2)(b - a)
  = (-2 - i) - (2 + 2i)
  = -4 - 3i

r − a = -2 − 2i = (-1/2)(b − a) です。R は直線 AB 上で A を挟んで B の反対側にあり、AR の長さは AB の半分です。

5. P を p = 2 + i + 3ti、0 ≤ t ≤ 1 と表します。

q = -(2 + i + 3ti) + 4 - 2i
  = 2 - 3i - 3ti

t = 0 で 2 − 3i、t = 1 で 2 − 6i です。Q の範囲は、この 2 点を端点とする線分で、両端を含みます。逆にその線分上の点は 0 ≤ t ≤ 1 を用いて上の形に表せ、p = 2 + i + 3ti を選べば元の線分に戻ります。負の係数によって端点の対応順が反対になることも確認できます。

手元に残す要点

• 終点から始点を引くと、その間の移動になります。
• 和は移動を続けた先、差は移動を原点へ移した先に対応します。
• a + t(b − a) では t の範囲が線分や延長を決めます。
• 動く範囲は、得られた点が元の条件から作れるかも確かめます。

どこで止まったかを見分ける

差の符号だけが逆なら、始点に足して終点に着くかを紙上で追います。式は合うのに線分の外まで答えているなら、t = 0、1 とその間の値を図に置き、係数の範囲を見直します。個別指導で確認するなら、まず生徒自身に「何を始点とする移動か」を言葉にしてもらい、その後に a + t(b − a) の各項を図の矢印へ対応させます。式と移動を往復できれば、配置を変えた問題でも和と差の向きが定まります。