高校数学C 空間の垂直二等分面—等距離条件を一次式へ直して位置を確かめる｜武蔵野個別指導塾

二点からの距離の二乗を比べ、中点と法線で捉える軌跡は垂直二等分面です。

よくあるのは、理系の高3が空間の2点から等距離にある点を考え、平面図形で見た垂直二等分線をそのまま空間の直線として描く場面です。紙の上では1本の線に見えても、空間ではその線以外の方向にも動けます。点を動かしたとき何が固定され、何が自由に選べるのかを確かめましょう。

ここでは異なる2点から等距離にある点の集合を、座標と内積で調べます。数学Cで扱う空間の座標とベクトルを使い、二乗の差が一次式になる理由から、中点を通り2点を結ぶ方向に垂直な平面までつなげます。距離が等しい点を1点見つけることと、そのような点をすべて表すことは別の課題です。

等距離の条件が現れる場面

問い方には大きく3つあります。2つの定点が与えられて軌跡の方程式を求める型、さらに直線などの条件を加えて点を決める型、定点に文字が含まれ、軌跡の形を場合分けする型です。いずれも最初に2点が異なるかを確認し、等距離を式に置き換えます。

等距離の条件は距離の二乗を等しくして処理できます。距離は0以上なので、二乗して等しいことから元の距離も等しいと戻せるためです。式が一次式になったら、その係数が0でないこと、中点を通ることを確かめます。最後に必要な制約を加え、求めた点を元の距離に戻して照合します。

二乗の差から見える平面

異なる2点を A(a, b, c)、B(d, e, f) とし、動点を P(x, y, z) とします。中点を M、位置ベクトルをそれぞれ p、m、ベクトル AB を n とします。ここで p、m、n はベクトルです。AとBが異なるので n は零ベクトルではありません。

図1のように、線分ABの中点Mを通り、ABに垂直な平面を考えます。Pがその平面上にあれば、ベクトル MP と n の内積は0です。逆に内積が0なら、Pはその平面上にあります。M自身では MP が零ベクトルですが、内積の式は成立し、Mも平面に含まれます。

図1の斜めの四角形は平面の一部を表します。図の投影された角度や長さを、空間内の実際の角度や長さと読み替えないでください。平面は描かれた範囲の外にも広がります。

この幾何の条件は距離からも導けます。ベクトル MA = -n/2、MB = n/2 ですから、距離の二乗の差は次のようになります。

PA² - PB² = |p - m + n/2|² - |p - m - n/2|²
             = 2(p - m)・n

したがって PA = PB と (p − m)・n = 0 は同値です。両方の距離は非負なので、二乗を使った後にも余分な点は入りません。n が非零であるため、この内積の条件は確かに平面を表します。この平面を線分ABの垂直二等分面と呼びます。

座標で展開する方法も同じ結論に達します。x²、y²、z² が差を取ると消え、次の式が残ります。

2(d - a)x + 2(e - b)y + 2(f - c)z
= d² + e² + f² - a² - b² - c²

左辺の係数の組はベクトル AB の2倍です。平面の法線は一方から他方へ向かうベクトルであり、逆向きでも同じ平面を表します。座標の式は各成分を機械的に処理しやすく、中点と法線の式は図形の意味を確認しやすいという違いがあります。

もし A = B なら n は零ベクトルになり、平面の法線には使えません。このとき PA = PB は空間内のどの点でも成立します。異なる2点という条件は単なる飾りではなく、軌跡が平面になるために必要です。

基本例題：二点から方程式を求める

A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0) から等距離にある点Pの軌跡を、x、y、zの一次方程式で求めてください。

図2のように中点は M(2, 0, 0) で、ABの方向は (4, 0, 0) です。異なる2点なので、この方向は非零です。P(x, y, z) と置いて距離を二乗します。

PA² = x² + y² + z²
PB² = (x - 4)² + y² + z²
PA² = PB²
x² + y² + z² = x² - 8x + 16 + y² + z²
8x = 16
x = 2

答えは平面 x = 2 です。図2に示すように、この平面上では y と z を自由に選べます。例えば (2, 3, 1) なら PA² = 14、PB² = 14 です。一方、(2, 3, 1) を含む1本の直線に限ってしまうと、同じく条件を満たす (2, 0, 1) などが漏れます。

中点と法線でも確かめます。法線 (4, 0, 0) とベクトル MP = (x − 2, y, z) の内積を0とすると 4(x − 2) = 0 です。中点を通ることと法線方向が正しいことの両方を見れば、定数項の間違いも見つけやすくなります。

標準例題：直線との共通点

A(1, 2, 0)、B(5, 0, 2) から等距離にあり、直線 (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) 上にある点を座標で求めてください。tは実数です。

まず A と B は異なります。中点は M(3, 1, 1)、法線に使える AB は (4, -2, 2) です。等距離の平面は次のように求まります。

4(x - 3) - 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0
4x - 2y + 2z - 12 = 0
2x - y + z = 6

直線上の点では x = 1 + t、y = t、z = t です。3成分を同じ t で代入します。

2(1 + t) - t + t = 6
2 + 2t = 6
t = 2
(x, y, z) = (3, 2, 2)

答えは (3, 2, 2) です。元の条件に戻すと、Aからの距離の二乗は 2² + 0² + 2² = 8、Bからは (-2)² + 2² + 0² = 8 です。また t = 2 を直線の3成分に戻すと同じ座標になります。

直線を代入したとき、今回のように t の係数が非零なら共通点は1点です。係数が0になる場合もあります。そのとき残った等式が成り立たなければ共通点はなく、恒等的に成り立てば直線上の全点が条件を満たします。係数が0という事実だけでは、この2つのどちらかは決まりません。

発展例題：定点が動くときの例外

実数 k に対し A(1, 0, 2)、B(k, 2, 2) とします。A、Bから等距離にある点の軌跡が点 C(0, 1, 2) を含むような k をすべて求め、それぞれの軌跡を一次方程式で表してください。

AとBの y 座標は常に異なるため、どの実数 k でも2点は異なります。したがって軌跡は垂直二等分面です。まずCを元の距離条件に入れます。

CA² = (0 - 1)² + (1 - 0)² + (2 - 2)² = 2
CB² = (0 - k)² + (1 - 2)² + (2 - 2)² = k² + 1
k² + 1 = 2
k² = 1
k = 1 または k = -1

k = 1 のとき、中点は (1, 1, 2)、ABは (0, 2, 0) です。

2(y - 1) = 0
y = 1

k = -1 のとき、中点は (0, 1, 2)、ABは (-2, 2, 0) です。

-2x + 2(y - 1) = 0
-x + y = 1

答えは k = 1 のとき y = 1、k = -1 のとき -x + y = 1 です。どちらにも C を代入すると成立します。さらに C から各定点への距離の二乗はどちらの k でも2であり、条件を元に戻して確かめられます。

この問題では y 成分が常に2だけ違うので、kの値によって定点が一致する例外はありません。別の問題で全成分が一致し得るなら、その値を先に分けてください。零ベクトルを法線として平面を作る計算はできません。また二乗方程式から得た候補は、点が条件を満たすか元の距離で確認します。

誤答をほどく：垂直二等分線で終えない

基本例題で「答えは x = 2、z = 0 の直線」とする誤答を考えます。この直線上の点は確かにAとBから等距離ですが、条件を満たす点の一部です。平面上で断面を描いた線を、空間全体の軌跡と取り違えています。

図3のように、同じ x = 2 でも z を変えられます。例えば Q(2, 0, 1) は直線 z = 0 上にはありませんが、QA² = 5、QB² = 5 です。この1点が、直線を答えとする主張への反例になります。

修正するときは、等距離から導いた式が x = 2 の1本であることに注目します。y、zには追加条件がないので自由です。逆に x = 2 の任意の点を距離の式へ代入すれば、二乗が等しくなることも確認できます。必要性と十分性を両方示すことで、余分な点も漏れた点もない軌跡になります。

もう1つの失敗は、距離の式で一方の符号を逆にし、法線の成分を取り違えることです。途中式を点ごとに分けて書き、中点が求めた式を満たすか、平面の係数がABに平行かを点検します。片方が合うだけでは十分ではありません。中点を通る異なる平面は何枚もあり、法線が同じ平行な平面も何枚もあるからです。

自分で試す5問

答えは平面なら一次方程式、点なら座標、場合分けなら各場合の集合を示してください。文字は実数とします。

1. A(0, 0, 0)、B(0, 6, 0) から等距離の点の軌跡を求めてください。
2. A(2, 1, 0)、B(0, 3, 2) から等距離の点の軌跡を求めてください。
3. A(0, 0, 0)、B(2, 2, 0) から等距離で、直線 (x, y, z) = (t, 0, 1) 上にある点を求めてください。
4. A(1, 1, 1)、B(s, 1, 1) から等距離の点の集合を、s の値で場合分けしてください。
5. A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0) から等距離の平面と、直線 (x, y, z) = (1, u, 2u) の共通部分を求めてください。

解答と解き方

1. 中点は (0, 3, 0)、非零の法線は (0, 6, 0) です。よって 6(y − 3) = 0、答えは y = 3 です。任意の点 (x, 3, z) の両定点からの距離の二乗は、ともに x² + 9 + z² です。平面の全点が元の条件を満たします。

2. 中点は (1, 2, 1)、ABは (-2, 2, 2) です。内積を0とすると、

-2(x - 1) + 2(y - 2) + 2(z - 1) = 0
-x + y + z = 2

これが答えです。中点を代入すると -1 + 2 + 1 = 2 で、係数の組はABの1/2です。距離の二乗の差を展開しても同じ式が得られるため、平面上の任意の点で距離が等しくなります。

3. 中点は (1, 1, 0)、ABは (2, 2, 0) なので、等距離の平面は x + y = 2 です。直線から x = t、y = 0、z = 1 を代入し、t = 2 を得ます。答えは (2, 0, 1) です。距離の二乗は A、B のいずれからも5で、t = 2 は直線の3成分にも戻ります。

4. s = 1 なら A = B なので答えは空間全体です。s ≠ 1 なら2点は異なり、中点は ((1 + s)/2, 1, 1)、法線は (s − 1, 0, 0) です。したがって (s − 1)(x − (1 + s)/2) = 0 から、答えは x = (1 + s)/2 です。s − 1 で割る前に0の場合を分けることが必要です。それぞれの集合で距離の二乗を比べると一致します。

5. 異なる2点の中点は (1, 0, 0)、ABは (2, 0, 0) です。平面は x = 1 で、直線上の点はどの u でもこの式を満たします。答えは与えられた直線全体です。実際に各点の距離の二乗は両方とも 1 + 5u² です。1点だけを答えると残りの点が漏れます。

持ち帰る式

異なる2点 A、B の中点を M とすると、PA = PB は ベクトル MP・ベクトル AB = 0 と同値です。 距離の二乗の差では二次の項が消え、非零の法線を持つ一次式が残ります。 2点が一致するときの集合は空間全体です。 追加条件を代入した後は、係数が0かどうかを分けて点の個数を調べます。

つまずきを見分けるには

軌跡を直線と書いた場合は、図の断面にない等距離点を1つ作れるか試します。一次式ができても図形を判断できない場合は、中点と法線を別々に書き、式に戻します。定点に文字があるときは、全成分が一致する値を調べてから割り算に進みます。

個別指導で確認するなら、完成した答えだけでなく、距離の二乗を並べた行、消えた項、中点を通ることの説明を順に見ます。最後に平面上の任意の点が条件を満たす理由を言葉にすると、断面の線と空間の軌跡の違いが明確になります。等距離の条件は、中点を通る平面へ広がります。

たとえば計算後の式に中点を入れて0にならなければ、定数項を再計算します。中点が合っていても法線が AB の実数倍でなければ、二乗の展開で成分を取り違えています。両方が合う場合にも、直線や線分の条件が問題文に付いていれば、その範囲まで戻して確認します。媒介変数が得られたら、値だけで終えず3成分の座標を作り、2つの距離と所属の両方に代入してください。