高校数学C 空間の三角形内の点—係数の非負条件で辺と内部を区別する｜武蔵野個別指導塾

三頂点の重みを全成分で照合し、その和と非負条件から内部・辺・頂点・外部を分け、文字の範囲を不等式で絞れます。

よくあるのは、理系の高3が点Pを三角形ABCのある平面上に見つけ、そのまま三角形の内側にあると判断する場面です。平面は三角形の辺の先にも広がります。計算で平面上にあることを示しても、辺を越えていないかは別に調べなければなりません。

三角形の3頂点にかける係数を「重み」と見ると、この違いを式で表せます。辺や頂点を含む範囲と、辺を含まない内部を区別しながら、文字を含む点の動く範囲まで考えます。数学Cで学ぶ座標・ベクトルの対象は平面にとどまらず空間にも及びますが、ここでは三角形を含む平面での位置に焦点を当てます。

どんな形で問われるか

まず、座標で与えられた点が内部、辺、頂点、外部のどこにあるかを判定する問題があります。3成分から重みを求め、残った成分でも点が同じ平面にあるか確認します。2成分が合っただけでは空間の点は決まりません。

次に、文字を含む点について、三角形の内部に入る文字の範囲を求める問題があります。各重みの正負を不等式にし、共通範囲を取ります。端の値で重みが0になる場合は辺に移るため、等号の扱いが答えを左右します。

さらに、2つの動点を結ぶ線分と三角形が交わる範囲を調べることもあります。線分の媒介変数の範囲と、三角形の重みの条件を同時に満たす必要があります。どの条件がどの図形から出たかを分けて書くと、条件の抜けを防げます。

3つの重みが表す場所

A、B、Cを一直線上にない3点とし、位置ベクトルをそれぞれa、b、c（ベクトル）とします。点Pの位置ベクトルをpとすると、平面ABC上の点は実数u、vを用いて次の形に表せます。

p = a + u(b - a) + v(c - a)
  = (1 - u - v)a + ub + vc

b − aとc − aは、A、B、Cが一直線上にないので平行でなく、独立です。したがってu、vは一意に決まります。3つの係数を順にα、β、γと書けば、α = 1 − u − v、β = u、γ = vであり、和は1です。逆に、和が1の実数α、β、γでp = αa + βb + γcと表せれば、上の形に戻せるのでPは平面ABC上です。

ただし和が1であるだけでは、係数は負にもなれます。三角形の辺と内部を合わせた領域にあるための条件は、3つの重みがいずれも0以上であることです。図1のように、係数が0になる境界を越えると、その係数は負になります。

この条件の理由を確かめます。β + γ > 0なら、辺BC上の点Qを、bとcの重みがそれぞれβ/(β + γ)、γ/(β + γ)となる点として取れます。両方が0以上で和が1ですからQは線分BC上です。さらにp = αa + (β + γ)qで、αとβ + γは0以上、和は1です。よってPは線分AQ上にあり、三角形の辺または内部にあります。β + γ = 0なら非負性からβ = γ = 0で、PはAです。

逆に三角形の点は、Aと辺BC上の点を結ぶ線分上に置けます。線分上の比を使って表せば、3頂点の重みはすべて0以上、和は1になります。したがって条件は必要十分です。3つがすべて正なら内部、1つが0で残りが正なら対応する向かい側の辺の端点以外、2つが0なら残る頂点です。1つでも負なら、その平面上では三角形の外部です。

例えばα = 0ならp = βb + γc、β + γ = 1です。β、γが正なら辺BCの途中ですが、βが負なら直線BC上でも線分BCの外です。係数が0という事実と、残りの係数が非負という事実を両方調べてください。平面の外の点は、重みの正負を判定する前に平面への所属で除きます。

基本例題：座標から重みを読む

A(0, 0, 0)、B(6, 0, 0)、C(0, 3, 3)とします。P(2, 1, 1)の3頂点に対する重みを分数で求め、Pが内部、辺、頂点、外部のどこにあるか答えてください。A、B、Cは非共線です。図2のように、B方向とC方向の成分を別々に見られます。

p = αa + βb + γc、α + β + γ = 1と置き、成分を比べます。

6β = 2
3γ = 1
3γ = 1
β = 1/3
γ = 1/3
α = 1 - 1/3 - 1/3
  = 1/3

3成分が一致し、重みはすべて正です。よってPは三角形ABCの内部にあります。答えを座標に戻すと、(A + B + C)/3 = (2, 1, 1)です。なお、この式中のA、B、Cは各点の座標を表しています。第3成分が異なる点なら、初めの2成分から同じ重みが出ても平面上にはありません。図2の長さや角度は投影された見かけであり、実際の長さや角度を示すものではありません。

標準例題：端点を含むかを決める

A(1, 1, 0)、B(5, 1, 0)、C(1, 5, 4)とし、P(t, 2, 1)を考えます。Pが三角形ABCの辺または内部にあるための実数tの範囲を、不等式で求めてください。また内部に限るときの範囲も求めてください。

ベクトル AB = (4, 0, 0)、ベクトル AC = (0, 4, 4)は平行でなく、3点は非共線です。Pが平面上にあるかも含めて、P = A + u(B − A) + v(C − A)を成分ごとに調べます。ここでも点の記号を座標として扱います。

(t, 2, 1) = (1 + 4u, 1 + 4v, 4v)
4v = 1
v = 1/4
1 + 4v = 2
u = (t - 1)/4

第2成分も一致するので、すべての実数tについてPは平面ABC上です。重みは次のとおりです。

β = (t - 1)/4
γ = 1/4
α = 1 - (t - 1)/4 - 1/4
  = (4 - t)/4

辺を含む範囲ではα、β、γが0以上です。γは正なので、残りの条件を連立します。

t - 1 ≧ 0
4 - t ≧ 0
1 ≦ t ≦ 4

内部では3つとも正ですから、答えは1 < t < 4です。t = 1ではβ = 0で辺AC上、t = 4ではα = 0で辺BC上です。端ではいずれも他の2つの重みが正なので頂点ではありません。t = 1を元の点に戻すとP(1, 2, 1) = (3A + C)/4、t = 4ではP(4, 2, 1) = (3B + C)/4です。端点がそれぞれ該当する辺にあることも確かめられます。

発展例題：線分と三角形の共通部分

A(0, 0, 0)、B(8, 0, 0)、C(0, 4, 4)とします。D(-2, 2, 2)、E(10, 2, 2)を結ぶ線分DEのうち、三角形ABCの辺または内部にある部分の両端の座標を求めてください。3頂点は非共線で、DとEも異なります。線分の端を動かす係数と三角形の重みは別のものとして扱います。

線分DE上の点をTとし、実数sを使います。線分という条件から、初めに0 ≦ s ≦ 1を付けます。

T = D + s(E - D)
  = (-2 + 12s, 2, 2)
0 ≦ s ≦ 1

Tは第2成分と第3成分が等しいので、A、B、Cの平面上にあります。重みをα、β、γとすると、成分と和の条件から次を得ます。

8β = -2 + 12s
4γ = 2
β = (-1 + 6s)/4
γ = 1/2
α = 1 - β - γ
  = (3 - 6s)/4

三角形の条件は3つの重みが0以上であることです。γは正なので、αとβから次を得ます。

-1 + 6s ≧ 0
3 - 6s ≧ 0
1/6 ≦ s ≦ 1/2

この範囲は線分の条件0 ≦ s ≦ 1の内側です。両端をTに戻せば、求める部分は(0, 2, 2)と(4, 2, 2)を端とする線分です。前者はα = 1/2、β = 0、γ = 1/2で辺ACの中点、後者はα = 0、β = 1/2、γ = 1/2で辺BCの中点です。両点はそれぞれs = 1/6、1/2でDE上にもあります。

もし得られた重みの範囲が0 ≦ s ≦ 1と重ならなければ、直線を延長した先で三角形に入っていても線分には共通部分がありません。逆に共通範囲が1つの値なら、接する1点だけが共通部分です。範囲の両端が線分の端から来る場合もあるので、常に三角形の辺との交点が2つあると決めてはいけません。

誤答を図で直す

A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、C(0, 4, 4)に対し、R(4, 2, 2)を考えます。「Rは平面ABC上だから三角形の内部」という答えは誤りです。図3のように、平面は辺BCの先まで続き、Rはその外側にあります。

実際、R = B + C/2ですから、重みの和を1にそろえると次のようになります。

R = (-1/2)A + B + C/2
α = -1/2
β = 1
γ = 1/2
α + β + γ = 1

和が1であることは平面上にある証拠ですが、αが負なので三角形には入りません。座標に戻すと(4, 0, 0) + (0, 2, 2) = (4, 2, 2)で、計算した点は確かにRです。図3では辺BCを越えた位置にRを置いています。外側である理由は見た目の距離ではなく、負の重みです。

別の誤りは、α = 0なら無条件に辺BC上とすることです。残りの重みに負があれば、点は辺を延長した直線上にあります。また、平面上にない点に対して、2成分で得た重みだけを使うと誤判定します。修正の順序は、非共線性、全成分の一致、重みの和、各重みの符号です。内部と境界を求め分けるときは、最後に0を許すかを問題文へ戻して確認します。

練習：位置と範囲を判定する

以下の点の座標はすべて空間座標です。各問で三角形の3頂点は非共線です。重みはA、B、Cの順に分数で答え、範囲は不等式で表してください。

1. A(0, 0, 0)、B(9, 0, 0)、C(0, 6, 3)、P(3, 2, 1)です。Pの重みと、内部・辺・頂点・外部の区別を求めてください。
2. A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、C(0, 6, 3)、P(2, 3, 3/2)です。Pの重みと、内部・辺・頂点・外部の区別を求めてください。
3. A(0, 0, 0)、B(5, 0, 0)、C(0, 2, 4)、P(5, 2, 4)です。Pの重みと、内部・辺・頂点・外部の区別を求めてください。
4. A(0, 0, 0)、B(6, 0, 0)、C(0, 4, 2)、P(x, 1, 1/2)です。Pが辺または内部にあるxの範囲と、内部にあるxの範囲を求めてください。
5. A(1, 0, 0)、B(1, 6, 0)、C(1, 0, 8)、P(2, 3, 4)です。Pが三角形ABCの辺または内部にあるか判定してください。

練習の解答と確かめ

1. 第1成分からβ = 3/9 = 1/3、第2成分からγ = 2/6 = 1/3です。第3成分も3γ = 1に一致し、α = 1 − 1/3 − 1/3 = 1/3です。重みは(1/3, 1/3, 1/3)で、すべて正なので内部です。元に戻すとB/3 + C/3 = (3, 2, 1)です。

2. β = 2/4 = 1/2、γ = 3/6 = 1/2です。第3成分は3γ = 3/2で一致し、α = 0です。重みは(0, 1/2, 1/2)で、Pは辺BCの端点以外にあります。BとCの中点を計算しても(2, 3, 3/2)となります。0の係数があるため内部とは答えません。

3. β = 5/5 = 1、γ = 2/2 = 1です。第3成分も4γ = 4に一致します。α = 1 − 1 − 1 = -1なので、重みは(-1, 1, 1)であり、平面上の三角形の外部です。-A + B + C = (5, 2, 4)と戻せるため、負の係数は計算対象の取り違えではありません。

4. β = x/6、γ = 1/4で、第3成分も2γ = 1/2に一致します。α = 3/4 − x/6です。非負条件はx ≧ 0かつ3/4 − x/6 ≧ 0ですから、辺または内部の範囲は0 ≦ x ≦ 9/2です。内部では0 < x < 9/2です。x = 0ではP = (3/4)A + C/4、x = 9/2ではP = (3/4)B + C/4となり、両端はそれぞれ辺AC、辺BCに戻ります。

5. A、B、Cの第1成分はいずれも1です。和が1の重みで表した点の第1成分も必ず1です。しかしPの第1成分は2なので、平面ABC上にありません。したがって三角形の辺にも内部にもありません。第2、第3成分からβ = 1/2、γ = 1/2と求めても、対応する点は(1, 3, 4)でPとは異なります。全成分の照合が必要です。

覚えておく条件

非共線な3頂点の重みの和が1なら、その点は頂点を含む平面上です。
さらに3つとも0以上なら三角形の辺または内部です。
3つとも正なら内部、0を含むなら残りの符号で辺か頂点かを決めます。
負の重みがあれば三角形の外部です。
空間座標では3成分の一致を確かめます。

つまずきを見分けるには

平面上と三角形内を混同したときは、まず紙に辺を延長し、その外側の点にも和1の表示ができるか試します。負の重みが出る位置を図と式に結びつけると、非負条件の役割を説明できます。頂点で係数が2つ0になる場合や、平面の外で3成分がそろわない場合も別に確認してください。

個別指導で式を確認するなら、学習者が求めた3つの係数を元の座標に代入し、どの成分が一致するかを口頭で説明する方法があります。範囲問題では端の値を代入し、辺を含む問いか内部に限る問いかを問題文と照らします。重みの和と符号を分けて読めば、三角形の境界は式の中に現れます。