高校数学III 定積分と不等式—関数の大小を区間全体で比べて評価する｜武蔵野個別指導塾

一点での比較が通用しない理由から、非負の重みと等号成立の条件まで、区間全体の符号から定積分と不等式を読み解きます。

よくあるのは、2つの関数を1つの点で比べ、その結果をそのまま定積分の大小に移す場面です。たとえば左端で上にあるグラフも、右へ進む途中で相手を横切るかもしれません。定積分を比べる前に、差の符号が区間のどこでどうなるかを調べます。小さな等号の扱いも、答えの不等号を決める材料です。

評価の問題を読み分ける

まず、積分を計算しきらずに範囲を示す型があります。被積分関数を定数で上下から挟み、積分区間の長さを掛けます。上限と下限は成り立つ値であればよく、必ずしも最も鋭い値である必要はありません。ただし問題が最良の定数を求めるなら、その値より改善できない理由まで必要です。

次に、2つの積分の大小を証明する型があります。差を1つの関数として整理し、その符号を区間全体で調べます。交点がある場合は等号の位置も記録します。ある点で等しいことは、積分値が等しいことを意味しません。

さらに、非負の関数を重みとして掛けて比べる型があります。重みが正なら元の大小を保ちますが、負の場所があれば大小は逆転します。重みが0になる点では差も0になるので、狭義不等式を示すには、積が正となる場所が実際に残るかを確かめます。

区間全体の大小から積分の大小へ

以下ではa<bとし、扱う関数は閉区間[a, b]で連続とします。連続関数hが区間全体でh(x)≥0なら、∫[a→b] h(x) dx≥0です。したがって、同じ区間の全てのxでf(x)≤g(x)なら、差g-fは非負なので、積分の線形性から次が成り立ちます。

0 ≤ ∫[a→b] (g(x)-f(x)) dx
  = ∫[a→b] g(x) dx - ∫[a→b] f(x) dx

つまり∫[a→b] f(x) dx≤∫[a→b] g(x) dxです。図1のように、比較するのは各点の縦の差です。左右の端点を含む区間全体で差の符号を確認してから、積分の大小を結論します。

図1では上の関数が下の関数以上です。区間の向きも条件の一部です。aとbを入れ替えると各積分の符号が変わり、不等号の向きも逆になります。端点が同じなら積分値はいずれも0なので、狭義の大小は得られません。

特にm≤f(x)≤Mが区間全体で成り立つとき、定数関数との比較により次を得ます。

m(b-a) ≤ ∫[a→b] f(x) dx ≤ M(b-a)

この式はmやMが負でも使えます。b-aが正であることが向きを保つ理由です。連続関数は閉区間で最大値と最小値を持ちますが、評価に使うmとMはその値に限りません。たとえば最大値より大きな数も上界になりますが、その分だけ評価の幅は広がります。

等号にはもう一段の確認が要ります。連続なhが区間全体で非負なら、積分が0となるのはhが区間全体で0のときです。実際、ある点cでh(c)>0なら、連続性によりcの近くの区間でもhは正の数以上です。cが端点でも区間内の片側に正の長さを取れます。そこだけでも積分は正なので、全体の積分は正です。逆にhが常に0なら積分も0です。

よってf≤gが全区間で成り立ち、少なくとも1点でf<gなら、連続性によって∫f<∫gです。1点だけの不等式から出発するのではありません。全区間で逆転しないことと、1点で差が正になることの両方が必要です。

連続な重みwが全区間でw(x)≥0なら、f≤gに掛けてwf≤wgを得ます。等号を考えるときは差w(g-f)を調べます。元の差が正の点でも重みが0なら、その点だけでは積分の狭義不等式を導けません。重みと差が同時に正となる点を探します。

基本例題：定数で挟む

問題　I=∫[0→2] 1/(1+x) dxについて、1<I<2を証明してください。対数を使った正確な値も求めて照合します。

考え方　区間の端で分母の範囲を調べます。分母は常に正なので、逆数にすると大小の向きが逆になります。図2のように、関数は左端で1、右端で1/3です。

図2の範囲で、1≤1+x≤3です。したがって1/3≤1/(1+x)≤1です。これを積分すると2/3≤I≤2ですが、下限2/3は求める1より弱いため、別の下からの評価を探します。単に最小値を使う手順が、いつも十分な精度を与えるとは限りません。

ここでは正の分母を払って、直線と比較します。

1/(1+x) - (1-x/2) = x(x-1)/(2(1+x))

この差は0<x<1で負なので、この直線は区間全体の下界ではありません。途中で符号が変わる比較をそのまま積分してはいけません。代わりに次を使います。

1/(1+x) - (1-x/3) = x(x-2)/(3(1+x))

こちらも0<x<2で負で、上界にはなりますが下界にはなりません。そこで区間を分け、各部分で端の値を使います。0≤x≤1では1/(1+x)≥1/2、1≤x≤2では1/(1+x)≥1/3です。これだけでは5/6なので、さらに細かく分けることもできますが、ここでは別の有効な下界を作ります。

1/(1+x) - (3-x)/4 = (x-1)²/(4(1+x)) ≥ 0

分母は正で、分子は平方です。等号はx=1に限られ、たとえばx=0では差が正です。連続性より積分すると狭義の大小が得られます。

I > ∫[0→2] (3-x)/4 dx
  = [(3x-x²/2)/4] の0から2までの差
  = (6-2)/4
  = 1

上側は1/(1+x)≤1で、x=1では狭義です。したがってI<∫[0→2] 1 dx=2です。以上より1<I<2です。なお正確な値は、原始関数log(1+x)を使ってI=log 3です。微分すると元の逆数に戻り、端点0と2に代入するとlog 3-log 1=log 3です。評価は1<log 3<2とも読めます。

標準例題：等号がある点を残して比べる

問題　J=∫[0→2] x/(1+x²) dxとK=∫[0→2] x/2 dxの大小を、不等号を用いて示してください。正確な値でも照合します。

解答　分母が動くので、端点の値だけで判断せず、差の符号を調べます。

x/2 - x/(1+x²) = x(x²-1)/(2(1+x²))

分母は正、xも非負ですが、x²-1はx=1で符号を変えます。したがって被積分関数の全区間での大小は決まりません。部分区間の比較をそのまま全体の結論にすることもできません。ここでは積分値を正確に求め、別の比較で符号を判定します。

J = [log(1+x²)/2] の0から2までの差
  = (log 5)/2
K = [x²/4] の0から2までの差
  = 1

Jの原始関数を微分するとx/(1+x²)に戻り、Kの原始関数もx/2に戻ります。log 5<2を示すため、基本例題で得たlog 3<2をそのまま流用することはできません。代わりに、0≤t≤4で1/(1+t)≤1/(1+t/4)と比較すると積分が複雑になります。より簡単に、0≤t≤2でeᵗ≥1+tを使います。これはeᵗ-1-tの導関数がeᵗ-1であり、t≥0で非負、0より大きいところで正であることから従います。特にe²>3ではlog 5との比較に足りません。さらにe²=1+∫[0→2] eᵗ dtであり、eᵗ≥1+tよりe²≥1+∫0→2 dt=5です。区間の正の点で狭義なのでe²>5、よってlog 5<2です。したがってJ<Kです。

この例の要点は、関数が途中で交差しても積分の大小は決まる一方、各点の比較定理だけでは直ちに結論できないことです。符号の変化を見つけたら、区間を分けて正負の寄与を比べるか、積分値を求める方針に切り替えます。

発展例題：重みが0になる場所

問題　連続関数fが0≤x≤1でx≤f(x)≤1を満たすとします。T=∫[0→1] x f(x) dxの取りうる値の範囲を、両端を含めて分数で求めてください。

解答　重みxは指定区間で非負です。よって全てのxで次が成り立ちます。

x² ≤ x f(x) ≤ x

3つの関数は連続なので積分の大小を使えます。両端を計算します。

∫[0→1] x² dx = [x³/3] の0から1までの差 = 1/3
∫[0→1] x dx = [x²/2] の0から1までの差 = 1/2

したがって1/3≤T≤1/2です。下限はf(x)=x、上限はf(x)=1で実際に達成され、どちらも条件を満たします。間の値についても、0≤s≤1としてf(x)=(1-s)x+sと置けば、fは連続でx≤f(x)≤1です。

T = (1-s)∫[0→1] x² dx + s∫[0→1] x dx
  = (1-s)/3 + s/2
  = 1/3 + s/6

sが0から1まで動くとTは1/3から1/2まで動きます。よって取りうる値は閉区間[1/3, 1/2]です。重みはx=0で0ですが、連続性を使えば下限での等号はf(x)=xが全区間で成り立つ場合に限られます。実際、ある正の点でf(x)>xなら、近くでもx(f(x)-x)>0です。0で差が正の場合も連続性により近くの正の点で差が正になります。上限も同様です。重みが0の点を見て、他の場所まで等号条件から除外しないようにします。

一点だけの比較から修正する

誤答　0≤x≤2でf(x)=x、g(x)=1とします。x=0ではf(x)<g(x)だから、∫[0→2] f(x) dx<∫[0→2] g(x) dxです。

理由　図3のように2つの直線はx=1で交わり、右側では大小が逆です。左端の比較は右側の符号を保証しません。実際に積分すると両方とも2で、結論の狭義不等式は偽です。

図3の交点を確かめるにはx=1を解くだけです。差1-xは0≤x<1で正、1<x≤2で負となります。それぞれの区間の寄与は、原始関数x-x²/2から1/2と-1/2です。符号を調べたうえで足すと0になります。

直し方　まずg-fの符号を全区間で調べます。非負なら積分の大小を適用し、さらに狭義にしたい場合は正になる点を探します。符号が変わる場合は交点で積分を分け、正と負の寄与の大小を別に調べます。重みを掛けるときも、先に重みの符号を確認します。

自分で試す5問

各問は示された形で答え、使う大小が区間全体で成り立つことを説明してください。

1. A=∫[1→3] (x²+2) dxを分数で求め、区間内の最小値と最大値から得る上下の整数で挟んでください。
2. B=∫[0→1] 1/(2+x) dxについて、1/3<B<1/2を証明し、正確な値を対数で示してください。
3. C=∫[0→1] x(1-x) dxとD=∫[0→1] x dxの大小を狭義不等号で示し、それぞれ分数で求めてください。
4. 連続なfが0≤x≤2で2≤f(x)≤4を満たします。E=∫[0→2] (2-x)f(x) dxの取りうる範囲を、両端を含む整数の区間で示してください。
5. F=∫[0→3] x dxとG=∫[0→3] 2 dxを比較し、差を分数で求めてください。被積分関数の大小が途中で変わることも確かめます。

5問の解答と照合

1

1≤x≤3では1≤x²≤9なので、3≤x²+2≤11です。区間の長さ2を掛けると6≤A≤22です。被積分関数は多項式なので連続です。原始関数を使って計算すると次の通りです。

A = [x³/3+2x] の1から3までの差
  = (27/3+6) - (1/3+2)
  = 38/3

正確な値は分数38/3です。微分するとx²+2に戻り、38/3は6と22の間にあります。答えの形の条件も計算結果と照合する必要があります。

2

0≤x≤1なら2≤2+x≤3で、分母はいずれも正です。逆数を取ると1/3≤1/(2+x)≤1/2です。左側の等号はx=1、右側の等号はx=0でのみ成り立ち、それぞれ他の点では狭義です。連続性と区間の長さ1から1/3<B<1/2です。

B = [log(2+x)] の0から1までの差
  = log 3-log 2
  = log(3/2)

log(2+x)の導関数は元の1/(2+x)です。端点を元の分母へ戻すと2と3で、対数の差の順序も一致します。

3

0≤x≤1でx≥0かつ1-x≤1なので、x(1-x)≤xです。x=1/2では両辺の差x²が正で、両関数は連続です。ゆえにC<Dです。値を計算して差も確かめます。

C = ∫[0→1] (x-x²) dx
  = [x²/2-x³/3] の0から1までの差
  = 1/2-1/3
  = 1/6
D = [x²/2] の0から1までの差
  = 1/2
D-C = 1/3 > 0

原始関数を微分するとそれぞれx-x²とxに戻ります。差の1/3は∫[0→1] x² dxとも一致します。

4

重み2-xは0≤x≤2で非負です。条件に掛けて2(2-x)≤(2-x)f(x)≤4(2-x)を得ます。積分の線形性を使います。

∫[0→2] (2-x) dx = [2x-x²/2] の0から2までの差
                     = 4-2 = 2
4 ≤ E ≤ 8

f(x)=2とf(x)=4はともに連続で条件を満たし、各端に達します。さらにf(x)=cを2≤c≤4で選ぶとE=2cなので、間の値も取りえます。重みが右端で0になることは、この範囲を狭めません。

5

差はx-2です。0≤x<2では負、2<x≤3では正なので、全区間の各点で同じ向きの比較はできません。値を求めると次の通りです。

F = [x²/2] の0から3までの差 = 9/2
G = [2x] の0から3までの差 = 6
F-G = 9/2-6 = -3/2

よってF<Gです。差を交点で分けると、∫[0→2] (x-2) dx=-2、∫[2→3] (x-2) dx=1/2で、合計は-3/2です。原始関数の微分と端点の代入も元の区間と一致します。

覚えておくこと

• 積分を比べる前に、同じ向きの区間全体で関数を比べます。
• 連続な非負の差が1点で正なら、その積分は正です。
• 非負の重みを掛けた後は、差と重みが同時に正となる場所を調べます。
• 符号が変われば区間を分け、寄与を比較します。

どこで判断が止まったかを見る

最初の式に端点での値しか書かれていなければ、差の関数を作り、零点と符号を区間に沿って書き足します。等号から狭義不等号への移行が曖昧なら、差が正となる具体的な点と連続性の役割を言葉にします。個別指導では、重みが負になる区間を含む場合も問い、掛け算の前に符号を調べられるかを本人の途中式で確かめます。積分の大小は、区間全体の符号を根拠に決まります。