高校数学III 循環する部分積分—元の積分が戻る式を方程式として解く｜武蔵野個別指導塾

2回の部分積分で戻るIと途中のJを整理し、指数関数と三角関数の積の原始関数や定積分を求めます。

よくあるのは、部分積分を進めたところ同じ積分が戻り、計算を諦めるという場面です。式が元に戻っても、それまでに積分の外へ出た項は残っています。戻った積分を左辺へ移せば、未知数を含む方程式のように扱えます。指数関数と三角関数の積を材料に、符号と係数を追いましょう。

どのような形で出会うか

指数関数と正弦の積では、指数関数を積分し、正弦を微分すると余弦が残ります。もう一度同じ役割で部分積分すると正弦に戻ります。戻るまでの2回に出た係数を記録すれば、原始関数を取り出せます。

余弦から始める場合も同じです。ただし余弦の微分には負号があるため、最初の残りの積分に付く符号が変わります。正弦の場合の式を暗記して書き換えるより、各回の公式から符号を決める方が確実です。

また、定積分で同じ循環を使うこともできます。積分の外に出るのは両端の値の差です。不定積分の積分定数と、定積分の境界項を混同しないようにします。部分積分の基本的な適用から、反復を使う計算へ進む内容です。

戻った式を方程式として読む

連続な関数fに対し、F′(x)=f(x)となる関数Fを原始関数といいます。同じ区間での原始関数は定数の差を除いて一致します。不定積分はその族を表し、最後に積分定数Cを添えます。

微分可能なu、vについて積の微分は (uv)′=u′v+uv′ です。両辺を積分し、右辺の一方を移すと、部分積分の公式 ∫uv′ dx=uv-∫u′v dx を得ます。ここで扱う指数関数と三角関数、およびそれらの導関数は実数全体で連続ですから、この操作を各実数区間で使えます。

不定積分を文字で扱うときは、まず原始関数を1つ選び、その関数をI(x)と定めると定数の扱いが明確です。2回の部分積分の結果が I(x)=A(x)-qI(x)+K となれば、Kは定数です。よって (1+q)I(x)=A(x)+K と整理できます。1+qが0でないことを確かめてから割り、最後に任意定数をCと書き直します。途中の定数を省いた計算は、等式が定数の差を除いて成り立つという意味です。

図1のように、出発した積分をI、途中の積分をJと置けば、2本の式からJを消してIを求められます。図の矢印は部分積分による関係を示し、同じ積分が戻ることが行き止まりではないと示しています。

例えばa、bを実数、a≠0とし、Iをeのax乗とsin bxの積の原始関数とします。指数側を積分するたびに1/aが付き、三角関数を微分するたびにbが付きます。2回後には元のIに -(b²/a²) が掛かります。移項した係数は1+b²/a²で、正なので0にはなりません。a=0では指数側を1/a倍して積分する操作が使えないため、元の三角関数を直接積分します。

基本例題：係数を最後にまとめる

次の不定積分を求め、答えには積分定数Cを付けてください。

∫ eˣ sin 2x dx

Iをこの被積分関数の原始関数の1つ、Jをeˣ cos 2xの原始関数の1つとします。いずれも実数全体で考えます。図2のように、指数側の原始関数は変わらず、三角側の微分で係数2と符号が生じます。

最初にu=sin 2x、v′=eˣと置くと、u′=2 cos 2x、v=eˣです。公式から定数の差を除いて次を得ます。

I = eˣ sin 2x - 2J

次はu=cos 2x、v′=eˣと置きます。u′=-2 sin 2xなので、残りの積分の前にある負号と合わせます。

J = eˣ cos 2x - ∫ eˣ(-2 sin 2x) dx
  = eˣ cos 2x + 2I

これを最初の式へ代入します。2行目では括弧全体に-2を掛けます。

I = eˣ sin 2x - 2(eˣ cos 2x + 2I)
  = eˣ sin 2x - 2eˣ cos 2x - 4I
5I = eˣ sin 2x - 2eˣ cos 2x
I = eˣ(sin 2x - 2 cos 2x)/5

等式はここまで定数の差を除く意味です。したがって答えは eˣ(sin 2x − 2 cos 2x)/5 + C です。係数5は、戻った4Iを左辺に加えた結果です。

検算では答えの定数以外を積の微分で戻します。三角部分の微分は2 cos 2x + 4 sin 2xなので、元の三角部分と足すと5 sin 2xです。5で割ればeˣ sin 2xとなり、最初の被積分関数に一致します。原始関数が1つ得られた後にCを付けることで、任意の原始関数を表せます。

標準例題：指数側の係数も追う

∫ eの2x乗 cos 3x dx を求め、積分定数Cを付けてください。ここではeの2x乗をEと略します。E′=2Eで、E/2を微分するとEです。

IをE cos 3xの、JをE sin 3xの原始関数として選びます。余弦の微分は-3 sin 3xなので、最初の公式の負号と重なってJは正になります。

I = E cos 3x/2 - ∫ (E/2)(-3 sin 3x) dx
  = E cos 3x/2 + 3J/2
J = E sin 3x/2 - ∫ (E/2)(3 cos 3x) dx
  = E sin 3x/2 - 3I/2

代入して、両辺に残るIを集めます。以下も定数の差を除いて書いています。

I = E cos 3x/2 + (3/2)(E sin 3x/2 - 3I/2)
  = E cos 3x/2 + 3E sin 3x/4 - 9I/4
13I/4 = E cos 3x/2 + 3E sin 3x/4
I = E(2 cos 3x + 3 sin 3x)/13

答えは E(2 cos 3x + 3 sin 3x)/13 + C です。検算では括弧の微分が-6 sin 3x + 9 cos 3xです。さらにEの微分から括弧の2倍が加わるので、分子は13E cos 3xとなり、13で割ると元に戻ります。指数側を積分するたびに1/2が必要で、2回目にその係数を落とすと9/4が得られません。

発展例題：定積分で両端を保持する

∫[0→π/2] eˣ cos x dx を、eとπを含む正確な式で求めてください。被積分関数は閉区間で連続なので、定積分の部分積分が使えます。Iを求める定積分、Jを∫[0→π/2] eˣ sin x dxと置きます。

境界項を上端での値から下端での値を引いたものとして書きます。上端ではcos(π/2)=0、下端ではcos 0=1です。

I = [eˣ cos x]₀→π/2 + J
  = (0 - 1) + J
  = -1 + J

次にsin xを微分し、2つ目の境界項を評価します。上端のsinは1、下端のsinは0です。

J = [eˣ sin x]₀→π/2 - I
  = eのπ/2乗 - I

代入すれば、循環する積分の方程式が得られます。

I = -1 + eのπ/2乗 - I
2I = eのπ/2乗 - 1
I = (eのπ/2乗 - 1)/2

求める値は (eのπ/2乗 − 1)/2 です。区間内ではeˣは正、cos xは0以上で、積は内部で正です。答えも正であり、積分の向きと符号に矛盾しません。別に原始関数eˣ(cos x + sin x)/2を微分するとeˣ cos xとなり、その上端と下端の差も同じ値です。境界項の下端を落とす誤りは、この照合で見つかります。

誤答を追いかけて修正する

基本例題で J=eˣ cos 2x-2I としてしまう誤答を考えます。cos 2xの微分は-2 sin 2xですが、部分積分の公式には残りの積分の前にも負号があります。この2つを掛け合わせると正になるため、J=eˣ cos 2x+2Iが正しい関係です。

図3のように、微分による負号と公式の負号を別々に書いてからまとめます。符号を頭の中で同時に処理せず、括弧を残すことが修正の要点です。

もう1つの失敗は、I=A-4IからI=A/4とする移項です。左辺のIも含めるので5I=Aです。最後に原始関数を微分すれば、係数の誤りを元の式で確かめられます。定積分の場合は積分定数を付ける代わりに、上下端をそれぞれ代入し、下端を引く括弧を保ちます。

練習：戻る積分を自分で整理する

次の1〜4は不定積分を求め、答えに積分定数Cを付けてください。5はeを含む正確な値で答えてください。いずれも角は弧度法です。

1. ∫ eˣ cos 2x dx
2. ∫ eの2x乗 sin x dx
3. ∫ e⁻ˣ sin 2x dx
4. ∫ eの3x乗 cos x dx
5. ∫[0→π] eˣ sin x dx

練習の解答と道筋

1

Iをeˣ cos 2xの原始関数、Jをeˣ sin 2xの原始関数とし、以下は定数の差を除いて計算します。cos 2xの微分は-2 sin 2xです。

I = eˣ cos 2x + 2J
J = eˣ sin 2x - 2I
I = eˣ cos 2x + 2eˣ sin 2x - 4I
5I = eˣ(cos 2x + 2 sin 2x)

答えは eˣ(cos 2x + 2 sin 2x)/5 + C です。括弧を微分すると-2 sin 2x + 4 cos 2xで、元の括弧と足せば5 cos 2xです。よって微分は問題のeˣ cos 2xに戻ります。

2

Eをeの2x乗、IをE sin xの原始関数、JをE cos xの原始関数とします。Eの原始関数E/2を用い、定数の差を除いて計算します。

I = E sin x/2 - J/2
J = E cos x/2 + I/2
I = E sin x/2 - E cos x/4 - I/4
5I/4 = E sin x/2 - E cos x/4

答えは E(2 sin x − cos x)/5 + C です。括弧の微分は2 cos x + sin xで、Eの微分による括弧の2倍を加えると5 sin xです。元のE sin xが復元されます。

3

Iをe⁻ˣ sin 2xの、Jをe⁻ˣ cos 2xの原始関数とします。e⁻ˣの原始関数は-e⁻ˣです。定数の差を除き、公式へ代入します。

I = -e⁻ˣ sin 2x + 2J
J = -e⁻ˣ cos 2x - 2I
I = -e⁻ˣ sin 2x - 2e⁻ˣ cos 2x - 4I
5I = -e⁻ˣ(sin 2x + 2 cos 2x)

答えは -e⁻ˣ(sin 2x + 2 cos 2x)/5 + C です。積の微分では指数部分の負号にも注意します。微分後の分子は5e⁻ˣ sin 2xとなり、元の被積分関数に一致します。

4

Eをeの3x乗、IをE cos xの、JをE sin xの原始関数とします。Eの原始関数はE/3です。各式は定数の差を除いて成り立ちます。

I = E cos x/3 + J/3
J = E sin x/3 - I/3
I = E cos x/3 + E sin x/9 - I/9
10I/9 = E cos x/3 + E sin x/9

答えは E(3 cos x + sin x)/10 + C です。微分すると、指数側から3倍した括弧と、三角側から-3 sin x + cos xが生じます。その和は10 cos xなので、問題のE cos xに戻ります。

5

Iを指定の定積分、Jを∫[0→π] eˣ cos x dxとします。関数は区間で連続です。sin 0とsin πは0、cos 0は1、cos πは-1です。

I = [eˣ sin x]₀→π - J
  = -J
J = [eˣ cos x]₀→π + I
  = -eのπ乗 - 1 + I
I = eのπ乗 + 1 - I
2I = eのπ乗 + 1

答えは (eのπ乗 + 1)/2 です。原始関数eˣ(sin x − cos x)/2を微分するとeˣ sin xです。上端ではeのπ乗/2、下端では-1/2となるので、上端から下端を引けば同じ答えに戻ります。区間の内部でsin xは正なので、正の値であることも整合します。

手元に残す要点

• 指数側を積分し、三角側を微分して2回の関係を作ります。
• 戻った積分の係数を元の左辺の係数と合わせます。
• 不定積分は最後に積分定数を付け、微分して戻します。
• 定積分は境界項の下端を引き、区間と符号を照合します。

計算が止まったときは、最初に置いたIと、戻ってきた積分の被積分関数が本当に一致するかを見ます。一致するのに先へ進めない場合は、戻った項の係数を丸ごと左へ移してみます。一致しない場合は微分の係数や三角関数の符号を1回ずつ点検します。

個別指導で確かめるなら、答えだけでなく、2回目の部分積分でu′とvを書いた行、代入後の括弧、Iを集めた行を見ます。各行が直前の式から出ているか説明できれば、初めて見る係数でも循環を方程式に変えられます。

途中で係数を割る前にも確認があります。例えばI=A-qIという式なら、移項後は(1+q)I=Aです。この係数が0なら割れず、別の情報が必要です。今回の実数の指数と三角関数の組では、指数側の係数が0でない限り、戻る係数は負の平方となるので、移項後は正です。係数が0の指数は定数関数となり、直接積分する道へ切り替えます。