高校数学III 対数関数の部分積分—因子1を補って原始関数を求め直す｜武蔵野個別指導塾

log xの積分を微分と取り違える原因から、因子1と対数の二乗の計算までたどります。要となるのは対数部分積分です。

よくあるのは、対数の積分を逆数とする場面です。log xを見て1/xを書けるのは微分のときです。積分では、書いた式を微分して元のlog xに戻るかを調べます。戻らなければ、因子1を見つけて積の形にし、部分積分で対数を微分する方向へ進みます。ここでのlogは自然対数で、扱う範囲はx>0です。学習指導要領の数学IIIでは、部分積分による方法を考察します。

対数を含む式の見取り図

出方の1つは、∫ log x dxのように対数が単独で見える形です。積の片方が見えなくてもlog x・1と読めます。1を積分するとxになり、対数を微分すると1/xになるので、残る積分は簡単な定数の積分です。

次はx log xのように、対数と多項式が掛かっている形です。対数を微分し、xを積分すると、積分後のx²と1/xが約分されます。最初の積を見て公式へ代入する前に、残りがどの式になるか予想すると選択の良し悪しが見えます。

さらに(log x)²では、対数を微分してもlog xが残ります。それでも次数が1つ下がるため、まず求めた∫ log x dxへ戻せます。括弧の二乗と、log(x²)は異なる式です。前者は対数の値を二乗し、後者は正のxで2 log xに等しいので、混同しないように書きます。

積の微分から積分へ

区間Iでuとvが連続な導関数を持つとき、積の微分は (uv)′ = u′v + uv′ です。両辺の原始関数を考え、移項すると次の部分積分の公式を得ます。

∫ u(x)v′(x) dx = u(x)v(x) - ∫ u′(x)v(x) dx

不定積分の両辺は原始関数の族を表します。右辺の最後に任意定数Cを1つ付ければ、積分によって生じる定数をまとめられます。公式は、積の微分で現れる2項のうち一方を移項したものです。微分する因子と積分する因子の両方を指定してから代入します。

図1のように、log xを微分側に、1を積分側に置きます。x>0でlog xと1は連続で、log xの導関数は1/xです。1の原始関数にxを選べるため、残る積はx・(1/x) = 1です。図1の矢印は因子の操作を示し、等号を表しているわけではありません。

どちらをどちらに割り当てるかは自由ですが、計算が進むとは限りません。log xを積分する側に選ぶと、その原始関数が必要になり、今から求めるものを前提にしてしまいます。逆に、対数を微分する選択なら、すでに知っている導関数を使えます。

基本例題　隠れた1を見つける

x>0で、∫ log x dxを求め、積分定数を付けて表してください。答えを微分して元の被積分関数に戻ることも確かめます。

図2のように、log xの隣に1を補います。積分する式そのものは変わりません。u = log x、v′ = 1と選ぶと、u′ = 1/x、v = xです。ここでvに定数を付けなくても、最後のCが原始関数全体を表します。

∫ log x dx = ∫ (log x)・1 dx
             = x log x - ∫ x・(1/x) dx
             = x log x - ∫ 1 dx
             = x log x - x + C

2行目は部分積分、3行目はx>0でxが0でないことによる約分です。最後は1の原始関数がxであることを使いました。元へ戻すため、積の微分を使います。

(x log x - x + C)′ = log x + x・(1/x) - 1
                     = log x

x log xの微分にはlog xのほかに1が現れます。-xはこの余分な1を打ち消すために必要です。x = 1でも導関数はlog 1 = 0となり、元の式と一致します。1点での一致は全区間の証明ではありませんが、代入による符号の点検に役立ちます。

標準例題　多項式との積

x>0で、∫ x log x dxを求め、積分定数を含む式で答えてください。対数を微分し、xを積分します。u = log x、v′ = xなので、u′ = 1/x、v = x²/2です。x²/2に1/xを掛けるとx/2になるので、残りはべきの積分です。

∫ x log x dx = (x²/2) log x - ∫ (x²/2)・(1/x) dx
               = (x²/2) log x - (1/2) ∫ x dx
               = (x²/2) log x - x²/4 + C

最初の項の係数1/2は、xを積分した結果です。次の項では1/xとの約分後にも1/2が残り、さらにxの積分で1/2が掛かります。この2つの係数を別々に記録すると、1/4を落としにくくなります。

逆向きに微分すると、最初の項からx log xとx/2が出ます。後の項の導関数は-x/2ですから、余分な項が消え、確かにx log xに戻ります。特にx = 1では元の値が0で、導関数の2つの定数項も打ち消し合います。

発展例題　対数の二乗を1段下げる

x>0で、∫ (log x)² dxを求め、積分定数を含む式で表してください。ここでも因子1を補えます。u = (log x)²、v′ = 1と置き、合成関数の微分によりu′ = 2 log x / x、v = xです。

∫ (log x)² dx = x(log x)² - ∫ x・(2 log x / x) dx
                = x(log x)² - 2 ∫ log x dx
                = x(log x)² - 2(x log x - x) + C
                = x(log x)² - 2x log x + 2x + C

2行目ではx>0なので約分できます。3行目に基本例題の結果を代入しました。括弧の前の-2は両方の項に掛かるため、最後の項は+2xです。残った積分が既知の形になっているかを見てから展開します。

導関数による確認では、最初の項が(log x)² + 2 log x、次の項が-2 log x − 2、最後が2を与えます。和は(log x)²となり、元の式に戻ります。x = 1では各対数が0となり、導関数も0です。二乗の対数を一度微分して次数を下げることと、外側の負号を保つことが分岐点です。

逆数を書いたら何が壊れるか

誤答として∫ log x dx = 1/x + Cと書いたとします。これはlog xの微分を積分と取り違えています。図3のように、確かめる矢印は答えの候補から微分して元へ戻る向きです。候補1/x + Cの導関数は-1/x²であり、log xではありません。

例えばx = 1で、元のlog 1は0ですが、候補の導関数は-1です。この1点の不一致で候補は原始関数ではないと判定できます。Cの値を変えても導関数は変わらないので、定数を調整しても誤りは直りません。図3の修正先では、積の微分が出す余分な1も引いています。

別の誤りは、x log xを答えとして止めることです。微分するとlog x + 1で、元より1だけ多くなります。部分積分の右辺には積uvと残りの積分の両方があり、後者を落としてはいけません。余分な1を消す-xを加えれば、正しい原始関数になります。

正の定義域の点検も必要です。log xはx≤0で実数として定義されません。1/xが負のxでも定義されることを理由に、元の対数の範囲まで広げることはできません。式を約分する際にも、xが0でない根拠を先に書きます。

練習　因子と残りを先に予想する

次の5問はいずれもx>0で考え、答えは積分定数Cを含む正確な式で表してください。各問で、答えを微分して元の被積分関数に戻してください。

1. ∫ 3 log x dxを求めてください。
2. ∫ x² log x dxを求めてください。
3. ∫ (2x + 1) log x dxを求めてください。
4. ∫ (log x)² + log x dxを求めてください。
5. F′(x) = log x、F(e) = 2を満たすF(x)を求めてください。ここでは条件によって定数を決めた式で答えてください。

解答と戻し方

1　定数倍を外に置く

3はxによらないので、積分の線形性で外へ出せます。log xを微分する選択は基本例題と同じですが、3を最後まで掛けます。

∫ 3 log x dx = 3∫ log x dx
               = 3(x log x - x) + C
               = 3x log x - 3x + C

微分すると3(log x + 1) − 3 = 3 log xです。元の係数3を含めて戻りました。定数倍を展開するときに-xを残さないと、導関数に3が余ります。

2　積分側の次数を上げる

u = log x、v′ = x²と置きます。u′ = 1/x、v = x³/3です。x>0で約分すると、残りはx²/3です。

∫ x² log x dx = (x³/3) log x - ∫ (x³/3)・(1/x) dx
                = (x³/3) log x - (1/3)∫ x² dx
                = (x³/3) log x - x³/9 + C

答えの導関数はx² log x + x²/3 − x²/3です。したがって元のx² log xに戻ります。最初の1/3と残りを積分したときの1/3が掛かり、最後の係数が1/9になることを確認します。

3　和を分けてから整理する

分配法則と積分の線形性を使い、標準例題と基本例題に分けます。それぞれの原始関数の定数は最後に1つにまとめられます。

∫ (2x + 1) log x dx = 2∫ x log x dx + ∫ log x dx
                       = 2((x²/2) log x - x²/4) + x log x - x + C
                       = x² log x - x²/2 + x log x - x + C

微分すると、前半は2x log x + x − x、後半はlog x + 1 − 1です。和は(2x + 1) log xとなり、問題の積へ戻ります。2を括弧内の両項に掛けたかも、この確認で見直せます。

4　既知の原始関数を組み合わせる

和のそれぞれに発展例題と基本例題の結果を使います。括弧の内側の符号を保ってから同類項をまとめます。

∫ ((log x)² + log x) dx = x(log x)² - 2x log x + 2x
                              + x log x - x + C
                            = x(log x)² - x log x + x + C

微分すると、(log x)² + 2 log xからlog x + 1を引き、さらに1を加えます。残るのは(log x)² + log xで、問題の和です。二乗をlog(x²)と読み替えていないことも確認します。

5　初期条件で定数を決める

まずF′の原始関数を求め、その後で条件を使います。e>0なので条件の代入は定義域内です。log e = 1を用います。

F(x) = x log x - x + C
F(e) = e log e - e + C
     = C
C = 2
F(x) = x log x - x + 2

この式を微分するとlog xに戻り、x = eを代入するとe − e + 2 = 2です。導関数と初期条件の両方に戻して、定数を決めた後の式を確かめました。微分だけではCの値を判定できません。

手元に残す要点

• log xは微分で1/xになり、積分では因子1を補います。
• 対数を微分側に置き、残る積分が簡単になるか予想します。
• 部分積分の積の項と残りの積分を両方書きます。
• 答えの微分、正の定義域、必要なら初期条件へ戻して確かめます。

式のどこで止まったかを見る

最初の行に1/xだけが出たなら、微分と積分の向きを確かめます。x log xで止まったなら、積の微分で生じる余分な1を探します。二乗の場合に符号が合わなければ、残りの積分の前の負号と括弧をたどります。原因が異なれば、同じ計算を繰り返すより先に見る行も変わります。

個別指導では、本人が選んだuとv′、その導関数と原始関数、公式に代入した行を順に見ます。次に答えを本人の手で微分し、余分な項がどこから出たかを言葉にしてもらいます。逆向きの照合ができれば、対数の部分積分は式の途中から立て直せます。

たとえば途中で係数が合わないときは、完成した答え全体を消す前に、微分側の係数と積分側の係数を別々に書き直します。対数の二乗の微分に現れる2と、部分積分の公式にある負号は別の場所から来ています。この区別が付けば、括弧を展開する前の式にも戻れます。

また、計算を急いで止まったときには、残りの積分に含まれる対数の次数を確認します。次数が下がっていれば、すでに求めた原始関数を使える可能性があります。元と同じ難しさのままなら、因子の選び方を見直します。対数の定義域を書き、各操作の根拠と照合することで、誤りのある行を特定できます。

原始関数は定数の分だけ異なる式を含みます。見た目が違う答えを比べるときも、それぞれを微分して元の式に戻るかを調べます。