高校数学III 部分積分の反復—多項式の次数を下げて式と符号を整理する｜武蔵野個別指導塾

二次式と指数・三角関数の積を例に、外側の負号を追い、微分で戻す部分積分の反復です。

よくあるのは、二次式と指数関数の積を部分積分し、2回目の計算で外側の負号を忘れる場面です。最初の変形は合っていても、残った積分の答えを括弧なしで代入すると、後ろの項の符号が変わります。各回で何を微分し、何を積分したかを記録し、最後に微分して出発点に戻るところまで追います。

どのような式で反復するか

第一の型は、多項式と指数関数の積です。多項式を微分する側に置くと、二次式は一次式、一次式は定数へと変わります。一方、指数関数は積分しても指数関数のままです。次数が下がるので、終わりまでの道筋を先に見通せます。

第二の型は、多項式と正弦・余弦の積です。三角関数を積分すると正弦と余弦が交互に現れ、そのたびに係数や符号も変わります。多項式の次数が下がるという見通しは同じですが、符号を式の外と三角関数の原始関数の両方で確かめます。

第三の型は、二次より高い多項式を含む場合です。回数が増えても、各段階の積分全体に掛かる負号を保ち、定数に達したところで残りを直接積分します。ここで扱うのは多項式の次数が下がって終わる反復で、同じ積分が戻る型は扱いません。

公式と終了までの見通し

区間上でuとvが微分可能で、その導関数が連続なら、積の微分は次のようになります。

(uv)′ = u′v + uv′

両辺の原始関数を考え、右辺の一方を移項すると、部分積分の公式が得られます。

∫ u v′ dx = uv - ∫ u′v dx

不定積分の等式は、左右が同じ原始関数の族を表すという意味です。計算の途中では積分定数をまとめて扱い、最後にCを1回付けます。図1のように、微分する側と積分する側を決めた後、残る積分全体に負号が付くことを忘れないようにします。

多項式P(x)が二次以上で、指数関数または三角関数をv′とする場合を考えます。u=P(x)と選ぶと、u′の次数は1下がります。指数・三角関数は積分後も同じ種類の式として書けるため、残った積分にも同じ選択を使えます。これらは実数全体で連続かつ微分可能なので、各回の公式を適用できます。

例えば三次式なら、微分の列は三次、二次、一次、定数です。定数に達したら残るのは定数と指数・三角関数の積であり、基本の積分公式で処理できます。定数の次に無理に部分積分を続ける必要はありません。途中で多項式を積分する側にすると次数が上がり、終了への見通しが失われる場合があります。

なお、学校で学ぶ部分積分の基本を、ここでは複数回の適用へ発展させています。反復の回数自体を覚えるより、毎回次数が下がっているかを確認することが判断の軸です。

基本例題：二次式と指数関数

次の不定積分を求め、積分定数Cを含む形で答えてください。

∫ x²eˣ dx

x²を微分し、eˣを積分します。どちらも実数全体で微分可能で、必要な導関数は連続です。最初にu=x²、v′=eˣとするとu′=2x、v=eˣなので、公式から次を得ます。

∫ x²eˣ dx = x²eˣ - ∫ 2xeˣ dx
             = x²eˣ - 2∫ xeˣ dx

残った積分でu=x、v′=eˣとするとu′=1、v=eˣです。一次式を微分して定数にするため、2回目を次のように計算します。

∫ xeˣ dx = xeˣ - ∫ eˣ dx
          = xeˣ - eˣ

この等式は積分定数を最後にまとめる約束で書いています。図2のように、得られた式を括弧に入れて最初の式へ戻します。

∫ x²eˣ dx = x²eˣ - 2(xeˣ - eˣ) + C
             = eˣ(x² - 2x + 2) + C

外側の-2は括弧の両項に掛かります。答えを微分すると、積の微分と多項式の微分により次のようになります。

{eˣ(x² - 2x + 2)}′ = eˣ(x² - 2x + 2) + eˣ(2x - 2)
                      = x²eˣ

与えられた被積分関数に戻りました。特に定数項の+2がなければ、微分したとき余分な項が残ります。

標準例題：指数の係数も引き継ぐ

次の不定積分を、指数関数と多項式を用い、積分定数Cを含む形で求めてください。

∫ x²e²ˣ dx

e²ˣの原始関数はe²ˣ/2です。指数の内側の係数2を忘れずに微分して確かめると、(e²ˣ/2)′=e²ˣです。u=x²、v′=e²ˣとする1回目は次のようになります。

∫ x²e²ˣ dx = x²e²ˣ/2 - ∫ 2x(e²ˣ/2) dx
               = x²e²ˣ/2 - ∫ xe²ˣ dx

次はu=x、v′=e²ˣとし、同じ原始関数を使います。

∫ xe²ˣ dx = xe²ˣ/2 - ∫ e²ˣ/2 dx
            = xe²ˣ/2 - e²ˣ/4

これを負号ごと代入すると、次の答えです。

∫ x²e²ˣ dx = x²e²ˣ/2 - (xe²ˣ/2 - e²ˣ/4) + C
               = e²ˣ(x²/2 - x/2 + 1/4) + C

答えの括弧をQ(x)とすると、Q′(x)=x − 1/2です。答えの微分はe²ˣ{2Q(x)+Q′(x)}であり、括弧内はx²になります。したがって元のx²e²ˣに戻ります。1回目の係数の約分と2回目の負号を別々に残すと、係数の欠落を見つけやすくなります。

発展例題：三次式と三角関数

次の不定積分を、正弦・余弦と多項式を用い、積分定数Cを含む形で求めてください。

∫ x³cos x dx

x³とcos xは実数全体で連続に微分できます。多項式の微分の列はx³、3x²、6x、6です。cos xの原始関数はsin x、sin xの原始関数は-cos xであることを使い、1回ずつ次数を下げます。

まずu=x³、v′=cos xとすると、u′=3x²、v=sin xです。

∫ x³cos x dx = x³sin x - 3∫ x²sin x dx

次はu=x²、v′=sin xです。v=-cos xなので、公式の負号とvの負号の両方を記録します。

∫ x²sin x dx = -x²cos x - ∫ 2x(-cos x) dx
                = -x²cos x + 2∫ xcos x dx

残った一次式にも同じ選択をすると、u=x、v=sin xです。

∫ xcos x dx = xsin x - ∫ sin x dx
              = xsin x + cos x

ここで多項式は定数に達し、残る三角関数を直接積分できました。最後の式を一段前へ戻し、さらに最初の式へ戻します。

∫ x²sin x dx = -x²cos x + 2(xsin x + cos x)
∫ x³cos x dx = x³sin x - 3(-x²cos x + 2xsin x + 2cos x) + C
                = x³sin x + 3x²cos x - 6xsin x - 6cos x + C

検算では各項を微分し、同じ種類の項をまとめます。

(x³sin x)′ = 3x²sin x + x³cos x
(3x²cos x)′ = 6xcos x - 3x²sin x
(-6xsin x)′ = -6sin x - 6xcos x
(-6cos x)′ = 6sin x

足すとx³cos x以外が消え、出発点に戻ります。途中の符号が1つ違えば対応する項が残るので、微分は具体的な誤りの場所を探す手掛かりにもなります。

外側の負号を落とした答案を直す

基本例題の2回目を正しく計算しても、次のように括弧を外すと誤答になります。

x²eˣ - 2(xeˣ - eˣ)
誤り: x²eˣ - 2xeˣ - 2eˣ

誤りの原因は、括弧内の2項目にも-2を掛けることを忘れた点です。図3のように、外側の係数を両方の項に渡すと、2項目は正になります。

正しくは: x²eˣ - 2xeˣ + 2eˣ

誤った式を微分すれば、eˣ(x² − 4)となり、x²eˣに戻りません。例えばx=0では元の被積分関数が0なのに、誤答の導関数は-4です。この1点で誤りは見つかりますが、正しさを示すには式全体の微分を確かめます。符号を直した後も、積分定数を最後に付けてください。

別の失敗は、三角関数の原始関数の符号と公式の負号を一度に暗算してしまうことです。sin xを積分するなら、まずv=-cos xと書き、その後に公式の「-∫ u′v dx」を適用します。外の負号とvの負号の由来を分けておけば、どちらを落としたかをたどれます。

練習：式を選び、次数を追う

次の5問は、いずれも不定積分を求めます。指数関数または三角関数と多項式を用い、積分定数Cを含む正確な式で答えてください。各式の関数は実数全体で連続に微分できます。

1. ∫ x²e³ˣ dx
2. ∫ x³eˣ dx
3. ∫ x²sin 3x dx
4. ∫ x²cos 2x dx
5. ∫ (x² + 2x)e⁻ˣ dx

練習の解答と解き方

1. e³ˣの原始関数はe³ˣ/3です。二次、一次の順に部分積分します。

∫ x²e³ˣ dx = x²e³ˣ/3 - (2/3)∫ xe³ˣ dx
∫ xe³ˣ dx = xe³ˣ/3 - e³ˣ/9
∫ x²e³ˣ dx = x²e³ˣ/3 - (2/3)(xe³ˣ/3 - e³ˣ/9) + C
               = e³ˣ(x²/3 - 2x/9 + 2/27) + C

括弧をQとすると、3Q+Q′=x²です。答えを微分すると元のx²e³ˣに戻り、係数1/3も照合できます。

2. 三次式を微分するたびに次数を1ずつ下げます。最後の指数関数は直接積分します。

∫ x³eˣ dx = x³eˣ - 3∫ x²eˣ dx
∫ x²eˣ dx = x²eˣ - 2∫ xeˣ dx
∫ xeˣ dx = xeˣ - eˣ
∫ x²eˣ dx = x²eˣ - 2xeˣ + 2eˣ
∫ x³eˣ dx = eˣ(x³ - 3x² + 6x - 6) + C

括弧をQとするとQ+Q′=x³です。積の微分で与えられたx³eˣへ戻ります。

3. sin 3xの原始関数が-cos 3x/3であることを先に書きます。角の係数3を積分のたびに引き継ぎます。

∫ x²sin 3x dx = -x²cos 3x/3 + (2/3)∫ xcos 3x dx
∫ xcos 3x dx = xsin 3x/3 - ∫ sin 3x/3 dx
               = xsin 3x/3 + cos 3x/9
∫ x²sin 3x dx = -x²cos 3x/3 + 2xsin 3x/9 + 2cos 3x/27 + C

答えを微分すると、-2xcos 3x/3 + x²sin 3x、2sin 3x/9 + 2xcos 3x/3、-2sin 3x/9の和です。余分な項が消えて元のx²sin 3xになります。

4. cos 2xの原始関数はsin 2x/2です。次にsin 2xを積分するときは-cos 2x/2となり、係数と符号を引き継ぎます。

∫ x²cos 2x dx = x²sin 2x/2 - ∫ xsin 2x dx
∫ xsin 2x dx = -xcos 2x/2 + ∫ cos 2x/2 dx
                = -xcos 2x/2 + sin 2x/4
∫ x²cos 2x dx = x²sin 2x/2 + xcos 2x/2 - sin 2x/4 + C

微分すると、最初の項からxsin 2x + x²cos 2x、次の項からcos 2x/2 − xsin 2x、最後の項から-cos 2x/2が出ます。和は元のx²cos 2xです。

5. e⁻ˣの原始関数は-e⁻ˣです。多項式全体を微分する側に選びます。

∫ (x² + 2x)e⁻ˣ dx = -(x² + 2x)e⁻ˣ + ∫ (2x + 2)e⁻ˣ dx
∫ (2x + 2)e⁻ˣ dx = -(2x + 2)e⁻ˣ + 2∫ e⁻ˣ dx
                      = -(2x + 2)e⁻ˣ - 2e⁻ˣ
∫ (x² + 2x)e⁻ˣ dx = -e⁻ˣ(x² + 4x + 4) + C

答えを微分するとe⁻ˣ(x² + 4x + 4) − e⁻ˣ(2x + 4)です。整理すれば与えられた(x² + 2x)e⁻ˣとなり、負の指数から生じる符号も確かめられます。

手元に残す要点

多項式を微分する側に置き、次数が下がることを確認します。
指数・三角関数の原始関数の係数と符号を各回に書きます。
残った積分全体の前の負号は、代入時に括弧で保ちます。
定数に達したら直接積分し、最後にCを付けて微分で戻します。

答案のどこで止まったかを見る

次数が上がっている答案では、最初にどちらを微分する側に選んだかを見ます。次数は下がっているのに答えが戻らない場合は、2回目の原始関数と、その式を戻した括弧を別々に点検します。個別指導で確かめるなら、途中の1行を隠して、次のu′とvを自分で書けるか、外側の負号をどこまで掛けるかを口にしてもらいます。微分で余った項が、どの行の符号や係数から生じたかまで追うと、次の問題でも修正できます。