高校数学C 動点の位置ベクトルと軌跡—媒介変数を消去した後に到達できる範囲を戻す｜武蔵野個別指導塾

線分上の点から定めた動点について、媒介変数の値域と逆向きの代入で端点や除外点を確かめます。

よくあるのは、理系の高校生が線分上の点から別の点を作り、媒介変数を消した後、得られた直線全体を軌跡として答える場面です。式には元の点の動ける範囲が隠れています。直線上の点を1つ選び、その点を作る元の点が線分にあるか尋ねると、答えの範囲を調べられます。端点や、途中で定義できない点も同じ方法で確認します。

何が動けるかを先に読む

軌跡とは、条件を満たして動く点が実際に通る点全体です。点Pの位置が決まるたびに点Qが決まるとき、Pの動きからQの集合を求めます。図形の名前だけでなく、端を含むか、途中に穴があるかまで答えに含めます。

よく現れる型は3つです。第1に、線分を動く点の位置ベクトルを定数倍して固定ベクトルを加える型です。媒介変数が一次式で残り、通常は線分になります。第2に、媒介変数の二次式が係数に現れる型です。式の形が直線を表しても、係数の最大値や最小値でその一部分に限られます。第3に、定義に分母がある型です。分母が0になる値を元の範囲から除いてから、その欠けた値が像にどう影響するか調べます。

いずれも、消去で得た式はまず必要条件です。条件を満たすQなら式に乗るという意味であり、式上の点が必ず作れるという意味までは含みません。逆向きには、候補点から許された媒介変数を実際に選び、元の定義へ代入します。ここでは線分上の動点を扱い、二次曲線の一般論には進みません。

線分のパラメータと像の範囲

異なる固定点A、Bに対して、原点Oからの位置ベクトルをそれぞれa、b（ベクトル）とします。Pが端点を含む線分AB上にあることと、ある実数tを使って次のように表せることは同値です。

ベクトル OP = (1 - t)a + tb
0 ≦ t ≦ 1

t = 0でP = A、t = 1でP = Bです。0 < t < 1ではベクトル AP = t・ベクトル ABなので、Pは2点の間にあります。AとBは異なり、ベクトル ABは零でないため、各Pに対応するtは一意です。端点を除く場合には、対応する不等号を厳密な不等号に変えます。

図1のように、tの範囲は元の点の移動を表します。Qの位置ベクトルがc + s dとなり、dが零でない場合、sが区間を動けばQは直線上の対応する区間を動きます。dが零の場合は向きが定まらず、Qは固定点です。この例外を直線と呼ばないようにします。

例えばsがt² − tなら、平方を作ってs = (t − 1/2)² − 1/4です。0 ≦ t ≦ 1から -1/4 ≦ s ≦ 0とわかります。ただし値域を不等式で押さえただけでは、間の値が実現する説明が必要です。この場合、任意のsがその区間にあれば、t = 1/2 + √(s + 1/4)を選べます。平方根は0から1/2の範囲なので、このtは線分上にあり、元の式に戻せます。

元のtに穴がある場合はさらに注意します。あるtを除いても同じQを別の許されたtで作れれば、Qは軌跡から消えません。逆にそのQを作るtが除かれた値しかなければ、Qも除外します。媒介変数の穴と図形上の穴を、機械的に一対一と考えないことが要点です。

基本例題：線分を別の線分へ移す

座標平面でA(0, 0)、B(4, 0)とします。Pは端点を含む線分AB上を動き、点Qをベクトル OQ = ベクトル OP + (1, 2)で定めます。Qの軌跡を、端点の座標とその包含を明記して答えてください。

Pの位置ベクトルを成分で置きます。tは実数で、線分の条件も一緒に書きます。

ベクトル OP = (4t, 0)
0 ≦ t ≦ 1
ベクトル OQ = (4t, 0) + (1, 2)
             = (1 + 4t, 2)

Qを(x, y)とすると、x = 1 + 4t、y = 2です。tの範囲から1 ≦ x ≦ 5となります。したがって候補はy = 2上の、(1, 2)から(5, 2)までの線分です。両端も候補に含まれます。

図2のようにPがA、Bにあるとき、それぞれQは(1, 2)、(5, 2)にあります。逆に、候補上の任意の点(x, 2)に対してt = (x − 1)/4と置けば、1 ≦ x ≦ 5より0 ≦ t ≦ 1です。このtでPを取ると定義からQ = (x, 2)になります。よって答えは両端を含む線分です。

消去だけならy = 2という式が残り、例えば(7, 2)も通ってしまいます。しかしその点に必要なtは3/2で、PはBを越えます。直線の式に代入できることと、元の線分から到達できることを分けて考えます。座標の差を見ても、両端の間の長さは元のABと同じ4です。

標準例題：折り返す係数の値域

A(0, 0)、B(2, 0)とし、P = (2t, 0)が端点を含む線分AB上を動くとします。Qをベクトル OQ = (1, 3) + t(1 − t)(2, 0)で定めます。Qの軌跡を端点の座標と包含を明記して答えてください。

Qの縦成分は常に3なので、直線y = 3を候補にします。ただしtが0から1まで増えるとき、係数t(1 − t)は単調には増えません。端点での値だけを比較すると、途中で右へ動くことを見落とします。平方完成で値域を求めます。

0 ≦ t ≦ 1
t(1 - t) = t - t²
             = 1/4 - (t - 1/2)²
0 ≦ t(1 - t) ≦ 1/4
x = 1 + 2t(1 - t)
1 ≦ x ≦ 3/2
y = 3

下限はt = 0または1、上限はt = 1/2で実現します。候補の線分上の任意のxについても、逆にtを選べることを示します。

1 ≦ x ≦ 3/2
t = 1/2 - √((3/2 - x)/2)
0 ≦ t ≦ 1/2
1 + 2t(1 - t) = x

平方根の中は0以上1/4以下ですから、選んだtは元の範囲にあります。代入によりQは指定した(x, 3)です。答えは(1, 3)と(3/2, 3)を両端とする線分で、両端を含みます。x = 1はPの両端から到達し、x = 3/2はP = (1, 0)から到達します。Pが左右対称な2か所にあると同じQになる場合もあり、PとQの対応は一対一とは限りません。

発展例題：分母が消える位置と到達不能点

A(0, 0)、B(3, 0)とし、P = (3t, 0)が端点を含む線分AB上を動きます。ただしt = 1/2では次の式が定義されないため、そのPを除きます。点Qを次のように定め、軌跡を座標の条件で答えてください。

ベクトル OQ = (t/(2t - 1), 1)

まず0 ≦ t ≦ 1かつt ≠ 1/2です。Q = (x, y)とするとy = 1、x = t/(2t − 1)です。分母が0でない条件を保ったままtを解きます。

x(2t - 1) = t
(2x - 1)t = x

ここで2x − 1 = 0なら、最後の式は0 = 1/2となり不可能です。したがってx ≠ 1/2であり、t = x/(2x − 1)です。この逆式を使って元の範囲を調べます。分母の符号で場合分けします。

x < 1/2では2x − 1 < 0です。t ≧ 0はx ≦ 0と同値で、そのときt ≦ 1も成り立ちます。実際、負の数を掛けて不等号を反転すると、x ≧ 2x − 1、すなわちx ≦ 1です。

x > 1/2では分母が正です。t ≧ 0は自動的に成り立ち、t ≦ 1はx ≦ 2x − 1、すなわちx ≧ 1です。よって候補は次の2つの半直線です。

y = 1, x ≦ 0
または
y = 1, x ≧ 1

逆に、この範囲の任意のxに対してt = x/(2x − 1)と置くと、上の符号の議論から0 ≦ t ≦ 1です。さらに2t − 1 = 1/(2x − 1) ≠ 0なので、除いた値にはなりません。元の式へ戻すとt/(2t − 1) = xです。端の(0, 1)はt = 0、(1, 1)はt = 1で実現します。一方、例えば(1/2, 1)は元の式から不可能です。答えは両端を含む上記の2つの半直線です。

線分の途中を除くと、Qの軌跡は必ず線分から1点を除いた形になるとは限りません。今回のように、定義式が分数であれば2つに分かれることもあります。分母が0の点に値を代入して図に穴を置くことはできません。まず定義域を分け、それぞれの像を調べます。

誤答を直す：式の上でも届かない点

基本例題で「y = 2だから軌跡は直線y = 2」とする答えを考えます。y = 2は確かに必要条件ですが、xの範囲を落としています。図3のように(7, 2)は直線上にありながら、そこへ行くにはt = 3/2が必要です。Pは線分の外に出るため、この点は軌跡に入りません。

修正はx = 1 + 4tに0 ≦ t ≦ 1を戻し、1 ≦ x ≦ 5を加えることです。さらに、その範囲の任意のxについてt = (x − 1)/4が許されると確かめます。片方向の代入と逆方向の構成がそろって初めて、候補と軌跡が一致します。

別の誤りとして、t = 1/2を除けばQも必ず1点欠けると考える場合があります。標準例題の係数t(1 − t)なら、例えばt = 1/4を除いても同じ値をt = 3/4で作れます。除いた媒介変数だけでなく、同じ像を作る別の値が残るかを調べて修正します。

自分で確かめる5問

いずれもOを原点とし、指定された範囲の実数tを使います。軌跡は座標の条件または端点を含むかどうかがわかる図形で答えてください。

1. P = (6t, 0)、0 ≦ t ≦ 1とし、Q = P + (2, -1)とします。Qの軌跡を求めてください。
2. P = (0, 5t)、0 < t ≦ 1とし、Q = (3, 2t − 2)とします。Qの軌跡を求めてください。
3. P = (4t, 0)、0 ≦ t ≦ 1とし、Q = (t(1 − t), 4)とします。Qの軌跡を求めてください。
4. P = (0, 3t)、0 ≦ t ≦ 1、t ≠ 1/3とし、Q = (2t, 5)とします。Qの軌跡を求めてください。
5. P = (8t, 0)、0 ≦ t ≦ 1、t ≠ 1/4とし、Q = (t(1 − t), -2)とします。Qの軌跡を求めてください。

解答と戻して調べる手順

1. Q = (2 + 6t, -1)なので、0 ≦ t ≦ 1から2 ≦ x ≦ 8、y = -1です。逆にこの範囲のxに対しt = (x − 2)/6とすれば0 ≦ t ≦ 1で、Q = (x, -1)です。両端を含む線分で、Pの端点からQの端点が得られます。

2. y = 2t − 2と0 < t ≦ 1から、-2 < y ≦ 0、x = 3です。逆にt = (y + 2)/2は0 < t ≦ 1を満たし、元の式に戻すと指定されたyになります。したがって(3, -2)を除き、(3, 0)を含む縦の線分です。除いた端はt = 0にしか対応しません。

3. 平方完成すると次の通りです。

t(1 - t) = 1/4 - (t - 1/2)²
0 ≦ x ≦ 1/4
y = 4

逆に0 ≦ x ≦ 1/4ならt = 1/2 − √(1/4 − x)は0以上1/2以下で、t(1 − t) = xです。よって両端を含む線分です。x = 0はt = 0、x = 1/4はt = 1/2で確かに得られます。

4. x = 2tから0 ≦ x ≦ 2、y = 5ですが、t = 1/3を除くためx = 2/3を除きます。逆に残る各xに対してt = x/2は元の範囲にあり、1/3でもありません。代入してQ = (x, 5)を得ます。両端を含む線分から(2/3, 5)を除いた集合です。

5. 問3と同様に0 ≦ x ≦ 1/4、y = -2が候補です。除いたt = 1/4の像はx = 3/16ですが、t = 3/4でも同じ値です。任意のxについてt = 1/2 − √(1/4 − x)を選び、これが1/4なら代わりにt = 3/4を選びます。いずれも許された範囲にあり、元の式へ戻すと指定されたxです。したがって点は欠けず、両端を含む線分が答えです。

手元に残すこと

媒介変数には元の動点の範囲を付けます。
消去した式に、その範囲から得られる制約を加えます。
候補の各点について許される媒介変数を作り、元の定義へ戻します。
端点と除外値は、別の媒介変数でも到達できるか確かめます。

つまずきを見分ける問い

答案が直線の式で止まっていたら、まずその直線上で元の動点から届かない点を1つ挙げられるか考えてみてください。挙げられたら、対応する媒介変数がどの条件に反するかを式で示します。反対に、候補から外した端点については、元の動点の端が許されるか、別の位置からも届くかを調べます。

個別指導で説明するなら、候補上の任意の座標からtを作り、そのtを元の位置ベクトルに戻すところまで声に出すと、必要条件と十分条件の区別が見えます。式を消した後も、動点が実際にたどる範囲を追い続けます。