高校数学C 内積と長さの不等式—成分の式から等号が成立する向きを調べる｜武蔵野個別指導塾

平方の非負から内積の範囲を導き、逆向きや零を含む等号条件を吟味する鍵は内積の不等式です。

よくあるのは、理系の高校生が2本のベクトルは平行だから、和の長さが長さの和に等しいと考える場面です。同じ向きなら矢印をつないだ分だけ進みますが、逆向きなら一部が打ち消されます。等号を調べるときは平行かどうかに加えて、向きと零ベクトルを確かめます。

どの不等式を使うか

出方の1つは、2つの長さから内積の取り得る範囲を求める問題です。内積の最大値と最小値はそれぞれ同じ向きと逆向きに対応します。長さの積という値を出した後、実際にその向きが作れるかまで確認します。

もう1つは、和や差の長さの範囲を求める問題です。和の長さは長さの和を超えず、差の長さも同じ方法で扱えます。下限を調べる際は差の長さを逆に組み立て、絶対値を付けます。上限の等号と下限の等号では求める向きが入れ替わるので、同じ条件を機械的に使わないことが必要です。

さらに、成分に文字が含まれるときは、等号条件から文字を決められます。文字を求める式を立てる前に、比較するベクトルが零になる場合を調べます。零ベクトルには向きを定めないので、非零の場合の「同じ向き」という説明をそのまま当てはめることはできません。

平方の非負から向きを読む

a = (x, y)、b = (u, v) を平面上のベクトルとします。|a| は長さ、a・b は内積です。成分を展開すると、次の等式が成り立ちます。

|a|²|b|² - (a・b)²
= (x² + y²)(u² + v²) - (xu + yv)²
= x²v² - 2xyuv + y²u²
= (xv - yu)²

右辺は実数の平方なので0以上です。したがって (a・b)² ≤ |a|²|b|² であり、両辺の平方根を考えて |a・b| ≤ |a||b| を得ます。絶対値を外すと、内積の上限と下限は次のように表せます。

-|a||b| ≤ a・b ≤ |a||b|

この証明は角度を定められない零ベクトルを含めても成り立ちます。等号は平方が0、つまり xv − yu = 0 のときです。a が非零で x ≠ 0 なら、u = (u/x)x と v = (u/x)y となり b は a の実数倍です。x = 0 なら y ≠ 0 で、式から u = 0 なので b = (v/y)a です。a が零の場合も等号が成立します。両方が非零なら実数倍の係数が正か負かで同じ向きと逆向きに分かれます。

図1のように、長さの積を上端と下端に置いて考えます。非零同士では上端が同じ向き、下端が逆向きです。どちらかが零なら積も内積も0となり、上端と下端は一致します。

次に和の長さを調べます。上の上限を使えば、

|a + b|² = |a|² + 2a・b + |b|²
≤ |a|² + 2|a||b| + |b|²
= (|a| + |b|)²

長さとその和はともに0以上なので、平方根を取って |a + b| ≤ |a| + |b| です。これが三角不等式です。等号は a・b = |a||b| と同値です。両方が非零なら同じ向き、どちらかが零なら必ず等号が成立します。逆向きの非零ベクトルでは、内積が負なので上限の等号は成立しません。

下限も三角不等式から出せます。a = (a + b) − b と書くと |a| ≤ |a + b| + |b| です。同様に |b| ≤ |a + b| + |a| ですから、2つを合わせて ||a| − |b|| ≤ |a + b| となります。両方が非零のとき、この下限の等号は逆向きで成立します。零を含む場合も成立します。上限と下限を使う際は、等号の条件まで一組にして記録すると混乱を防げます。

基本例題：内積と和の両端

a、b を |a| = 3、|b| = 2 のベクトルとします。a・b の範囲と |a + b| の範囲を、それぞれ整数を用いた不等式で表し、各端の等号条件を答えてください。

長さがともに正なので、どちらも非零です。まず長さの積を内積の上限と下限に代入します。

-3・2 ≤ a・b ≤ 3・2
-6 ≤ a・b ≤ 6

右端は同じ向き、左端は逆向きです。和の長さについては上限と下限をそれぞれ求めます。

|a + b| ≤ 3 + 2 = 5
|a + b| ≥ |3 - 2| = 1
1 ≤ |a + b| ≤ 5

図2のように、同じ向きなら長さ3と2が加わり5です。逆向きなら長さ2の分が戻るので1です。つまり上端5は同じ向き、下端1は逆向きで成立します。たとえば a = (3, 0) とすれば b = (2, 0) で上端、b = (-2, 0) で下端を実現でき、どちらも与えられた長さを満たします。

途中の値についても、非零の2本のなす角を0度から180度まで変えると内積は6から-6まで連続して変わります。和の長さの二乗は13 + 2a・bなので、1から25までの値を取り、和の長さは1から5まで動きます。端だけではなく、その間にも抜けがないことが範囲の答えを支えます。

標準例題：文字を含む等号

a = (2, 1)、b = (t, 3) とします。|a + b| = |a| + |b| となる実数 t を求め、答えを整数で表してください。

和の長さの等号を直接根号で計算することもできますが、向きを使うと候補とその条件が見やすくなります。a は零でなく、b も第2成分が3なのでどの t でも零になりません。したがって等号は b が a の正の実数倍であることと同値です。

b = ka  （k > 0）
(t, 3) = (2k, k)
k = 3
t = 6

逆の確認として t = 6 を代入します。b = (6, 3) = 3a ですから、確かに同じ向きです。長さでも |a| = √5、|b| = 3√5、|a + b| = |(8, 4)| = 4√5 となり、元の等式に戻ります。係数 k の符号を省くと、別の問題では逆向きの候補を誤って残すことがあります。

この問題では第2成分が正なので、k = 3 は条件を満たしました。もし成分の比較で k が負になれば、2本は平行でも和の上限には届きません。また b が零になる余地のある設定では、正の倍数を探す前に零の場合を別に調べます。式の形が似ていても、向きを判定できるかどうかが最初の分かれ目です。

発展例題：長さの範囲と実現

a、b を |a| = 4、|b| = 1 のベクトルとし、実数 s に対して p = a + sb とします。|p| = 2 を実現できる s の範囲を不等式で求めてください。a と b の向きは条件の範囲で自由に選べます。

sb の長さは |s| です。三角不等式の上下限から、必要な条件は次の通りです。

|4 - |s|| ≤ |a + sb| ≤ 4 + |s|
|4 - |s|| ≤ 2 ≤ 4 + |s|

右側は常に成り立ちます。左側を絶対値の定義で解きます。

-2 ≤ 4 - |s| ≤ 2
-6 ≤ -|s| ≤ -2
2 ≤ |s| ≤ 6
s ≤ -2 または s ≥ 2
-6 ≤ s ≤ -2 または 2 ≤ s ≤ 6

ここまででは必要性しか示していません。逆に 2 ≤ |s| ≤ 6 とします。a と sb の長さをそれぞれ4、|s|としたとき、両者の内積を次の値にできれば |a + sb| = 2 です。

4 = 16 + |s|² + 2a・(sb)
a・(sb) = -(12 + |s|²)/2

この値が内積の範囲 -4|s| 以上、4|s| 以下であることを確かめます。上限以下は明らかで、下限以上は (|s| − 2)(|s| − 6) ≤ 0 と同値です。これは今の範囲で成立します。よって非零の2本のなす角を適切に選べます。s が負でも b の向きを反転すれば、選んだ sb を実現できます。

端では |s| = 2 または6 で、a と sb が逆向きです。実際に長さの差はそれぞれ2です。範囲外の例として s = 1 なら |a + sb| ≥ 3、s = -7 なら |a + sb| ≥ 3 なので、どちらも2にはなりません。必要条件だけで止めず、内積が実際に選べることまで戻すと、答えの範囲全体が保証されます。

平行という言葉で止めた誤答

「a = (4, 0)、b = (-1, 0) は平行だから |a + b| = |a| + |b| = 5」という考えは誤りです。図3のように b は a と逆向きで、和は (3, 0) です。元の長さを直接計算すると |a + b| = 3、右辺は4 + 1 = 5です。

平方の差を調べても誤りが見えます。a・b = -4 なので、|a + b|² = 16 − 8 + 1 = 9 です。一方、長さの和の二乗は25です。内積が上限4でなく下限-4にあるため、上限の等号にはなりません。

修正するときは、まず両方が非零かを調べます。非零同士なら同じ向きか逆向きかを実数倍の係数の符号で判定します。どちらかが零なら向きを語らず、元の等式に代入します。たとえば b が零なら |a + b| = |a| = |a| + 0 です。逆向きの反例と零の場合を対にして持つと、平行という一語で条件を済ませる間違いを見分けられます。

練習：不等式を条件に戻す

次の5問では、指定がなければベクトルは平面上にあります。範囲は不等式、値は整数または根号を用いて答えてください。

1. |a| = 5、|b| = 2 のとき、a・b の範囲と両端での向きを求めてください。
2. |c| = 7、|d| = 3 のとき、|c + d| の範囲と両端での向きを求めてください。
3. u = (1, 2)、v = (3, t) のとき、|u + v| = |u| + |v| となる実数 t を求めてください。
4. p = (2, -1)、q = (-4, 2) のとき、|p + q| と |p| + |q| を求め、等号が成立するか答えてください。
5. |m| = 3、|n| = 2 のとき、|m − n| の範囲と両端での m と n の向きを求めてください。

解答と確認

1. 長さの積は5・2 = 10です。したがって

-10 ≤ a・b ≤ 10

答えは -10 ≤ a・b ≤ 10 です。a = (5, 0)、b = (2, 0) なら内積10、b = (-2, 0) なら-10です。長さは元の5と2で、右端は同じ向き、左端は逆向きです。

2. 和の上下限に長さを代入します。

|7 - 3| ≤ |c + d| ≤ 7 + 3
4 ≤ |c + d| ≤ 10

c = (7, 0)、d = (3, 0) なら10、d = (-3, 0) なら4です。両方の長さは指定通りなので、上端は同じ向き、下端は逆向きで実現します。その間は向きを連続して変えることで実現します。

3. u と v はどちらも非零です。同じ向きの条件を v = ku、k > 0 とおきます。

(3, t) = (k, 2k)
k = 3
t = 6

t = 6 なら v = 3u です。|u| = √5、|v| = 3√5、|u + v| = 4√5 となり、元の等式を満たします。係数3は正なので向きの条件も満たします。

4. q = -2p なので逆向きです。成分から長さを計算すると、

p + q = (-2, 1)
|p + q| = √5
|p| = √5
|q| = 2√5
|p| + |q| = 3√5

√5 と3√5は異なるので等号は成立しません。元の成分に戻しても q の各成分は p の-2倍であり、逆向きの判定と一致します。

5. -n の長さも2なので、和 m + (-n) に上下限を使います。

|3 - 2| ≤ |m + (-n)| ≤ 3 + 2
1 ≤ |m - n| ≤ 5

上端では m と -n が同じ向き、つまり m と n は逆向きです。下端では m と -n が逆向きなので m と n は同じ向きです。m = (3, 0)、n = (-2, 0) で5、n = (2, 0) で1となり、長さの指定にも戻ります。中間も向きを変えて実現できます。

手元に残す要点

• 内積は -|a||b| 以上、|a||b| 以下です。
• 非零同士では内積の上端が同方向、下端が逆方向です。
• 和の長さは長さの差の絶対値以上、長さの和以下です。
• 和の上端は同方向、下端は逆方向で、零を含むときも等号です。
• 差を和に直したら、向きの条件も元のベクトルに戻します。

つまずきの場所を見分ける

上限の数は出せても等号を逆向きに付けるなら、まず内積の符号を確かめます。同じ向きでは正、逆向きでは負という判断を、成分を1組置いて説明できるか試してください。範囲の問題で端点を出せても途中を説明できないなら、内積を動かしたとき和の長さがどう変わるかを式に戻します。

個別指導で式を確かめる際は、|a + b|² と (|a| + |b|)² の差を引き、どこで等号が成立するか言葉にしてみてください。零を代入した場合と逆向きの例も並べれば、向きの条件をどこで使ったかが見えます。等号は計算の最後に添える飾りではなく、長さを実際に実現する条件です。