高校数学C ベクトルの垂直条件—未知数を含む成分から直交する場合を選び出す｜武蔵野個別指導塾

未知数を含む内積を0と置き、候補を元の成分へ戻して零ベクトルを除く判断を練習します。

よくあるのは、成分に文字を含む2つのベクトルの内積を0と置き、得られた値をそのまま答える場面です。計算が合っていても、その値で片方のベクトルが零になれば、向きが定まらず、なす角を90°とは言えません。式を解く段階と、図形として意味があるかを調べる段階を分けてみましょう。

どのような問いで使うか

1つ目は、片方が固定された非零ベクトルで、もう片方に未知数が入る型です。成分の積の和を0と置けば、未知数についての方程式が得られます。候補を元の成分へ戻し、両方が非零であることを確認します。

2つ目は、両方に同じ未知数が入る型です。内積は2次式になることがあり、候補が2つあっても、その一方でベクトルが零になることがあります。因数分解が終点ではありません。成分が同時に0となる値を別に調べ、候補と照合します。

3つ目は、内積が常に0になる場合や、逆に条件を満たす値が存在しない場合です。方程式の解が無数にあっても、零になる値は除きます。候補がないときは、無理に角度を求めず、内積が0になる値がないことを示します。ここでは垂直かどうかを判定し、垂線の足の位置は求めません。

0という数と零ベクトルを区別する

以下、a、bなどの小文字はベクトルを表します。非零のa、bのなす角をθとすると、内積の定義は a・b = |a||b|cos θ です。なす角は0°以上180°以下であり、cos θ = 0となるのはθ = 90°のときです。非零なら長さの積は正なので、次が成り立ちます。

aとbが垂直 ⇔ a・b = 0

この同値には、両方が非零という前提が必要です。零ベクトルとどのベクトルの内積も0ですが、零ベクトルには向きがなく、なす角を定められません。内積の値0と、成分がすべて0である零ベクトルは別のものです。

図1のように、共通の始点から2本の非零ベクトルを描くと、垂直とはその間の角が直角であることです。矢印を平行移動して始点をそろえても、向きと長さは変わりません。図の直角の印は、長さが0の矢印に付けるものではありません。

成分が a = (a₁, a₂)、b = (b₁, b₂) なら、内積は a・b = a₁b₁ + a₂b₂ です。したがって、両方が非零であることを確認したうえで、a₁b₁ + a₂b₂ = 0を調べます。2つの積が0でなくても、正負が打ち消されて和が0になる場合があります。

非零の確認は、成分のどちらかが0でないことを示せば十分です。零になる条件は、2成分が同時に0であることです。たとえば成分が (t, t − 1) のとき、前者が0ならt = 0ですが、後者は-1です。両方同時に0とはならず、どの実数tでも非零です。

解く順序は、まず内積を0と置き、その候補で各ベクトルが非零かを調べる方法が便利です。あらかじめ零になる値を列挙しても構いません。いずれの場合も、方程式の解の集合と、幾何学的な条件を満たす集合を混同しないことが要点です。

候補を戻すとき、成分の一方が0であることと、ベクトル全体が零であることも区別します。例えば (0, 5) は縦向きの非零ベクトルであり、(3, 0) と垂直です。成分に0が見えた時点で除外するのではなく、両成分を組にして判断します。

逆に、成分を確認せずに図の見た目だけで直角と決めるのも避けます。図は方向の理解を助けますが、文字によって成分が変わる場合、1枚の図が表すのはそのうちの1つの状態です。文字の値ごとに使える根拠は、成分の式と非零条件です。両方を記録すれば、除外した理由も後からたどれます。

基本例題：固定された向きとの直角

a = (3, 2)、b = (t, -6) とします。aとbが垂直になる実数tを求め、整数で答えてください。

図2のように、候補が決まったときの2本の向きを同じ始点から描きます。まずaは成分3が0でないため非零です。bも第2成分が-6なので、どのtでも非零です。この問題では、内積0がそのまま垂直の条件になります。

成分公式に代入して、次の方程式を解きます。

a・b = 3t + 2・(-6)
a・b = 3t - 12
3t - 12 = 0
3t = 12
t = 4

答えは t = 4 です。このときb = (4, -6) です。元の成分へ戻すと、3・4 + 2・(-6) = 12 − 12 = 0となります。両方とも非零なので、内積の定義からなす角は90°です。

別の見方でも確かめられます。aとbの長さの二乗はそれぞれ13、52で、和a + b = (7, -4)の長さの二乗は65です。13 + 52 = 65ですから、2本を辺とする三角形について三平方の定理の逆も直角を示します。こちらは検算であり、未知数を求める式の代わりに長さを最初から計算する必要はありません。

標準例題：候補の一方で向きが消える

a = (t − 2, 2t − 4)、b = (t + 1, 1) とします。aとbが垂直になる実数tをすべて求め、整数で答えてください。

両方にtが入るため、内積は2次式です。aは2成分に共通因数を持ち、t = 2で零になることが先に見えます。bは第2成分が1なので常に非零です。内積が0になる値を求めてから、この例外と照合します。

a・b = (t - 2)(t + 1) + (2t - 4)・1
a・b = (t - 2)(t + 1) + 2(t - 2)
a・b = (t - 2)(t + 3)
(t - 2)(t + 3) = 0
t = 2 または t = -3

t = 2では a = (0, 0) です。内積は0ですが、aの向きが定まらないので垂直とは言えません。t = -3では a = (-5, -10)、b = (-2, 1) であり、どちらも非零です。

(-5)・(-2) + (-10)・1 = 10 - 10 = 0

したがって答えは t = -3 です。逆に、この値では非零と内積0の両方を満たすため、確かに垂直です。t = 2を捨てる理由を「方程式の解ではない」と書くと誤りです。方程式の解ではありますが、問題が要求する角度を定められません。

発展例題：解がない場合と無数にある場合

実数kを定数とし、a = (t − 1, 2t − 2)、b = (2, k) とします。aとbが垂直になる実数tの集合を、kの値によって分類してください。答えは条件を満たすtの範囲で示してください。

bは第1成分が2なので、どのkでも非零です。一方、a = (t − 1)(1, 2) ですから、aが零になるのは t = 1 のときです。それ以外ではaは非零です。よって必要な条件は、内積が0であり、かつ t ≠ 1 です。

a・b = 2(t - 1) + k(2t - 2)
a・b = 2(t - 1) + 2k(t - 1)
a・b = 2(1 + k)(t - 1)
2(1 + k)(t - 1) = 0

ここで 1 + k で割る前に、それが0かどうかを分けます。0で割ることはできないためです。

k ≠ -1なら 1 + k ≠ 0 なので、方程式の解は t = 1 です。しかしその値でaは零です。したがって、この場合に垂直になるtは存在しません。

k = -1なら、内積はどのtでも0です。ただし t = 1 ではaが零なので除きます。答えは t ≠ 1 のすべての実数です。このとき b = (2, -1) で、t ≠ 1ならaは非零です。実際に元の成分へ戻すと、次のように0になります。

(t - 1)・2 + (2t - 2)・(-1)
= 2t - 2 - 2t + 2
= 0

答えは、k ≠ -1なら解なし、k = -1なら t ≠ 1 です。後者で無数の値が許されるのは、aの向きがt = 1を境に反転しても、bとの角が90°のままだからです。逆向きに変わる前後を含め、零になる境目だけは角を持ちません。

誤答をほどく：内積0の候補をそのまま残す

例えば a = (s, 2s)、b = (2, -1) について、「内積は常に0だから、すべての実数sで垂直」とする答えを考えます。計算 s・2 + 2s・(-1) = 0 自体は正しいものです。しかし s = 0 では a = (0, 0) です。

図3のように、sが0でないときには矢印を描けますが、s = 0では始点と終点が重なり、向きを表す矢印がありません。直角の印を付けられるかを、内積の計算とは別に点検します。

修正した答えは s ≠ 0 です。この範囲ではaとbがともに非零で、内積も0です。反対に、s = 0は内積0という数値条件を満たしても、なす角による垂直の条件を満たしません。零ベクトルと内積をとる計算そのものが禁止されているわけではなく、その結果から角度を結論することができないのです。

もう1つの誤りは、内積の各項をそれぞれ0にすることです。内積は2項の和なので、片方が正、他方が負で合計0になる場合もあります。基本例題では12と-12が打ち消し合っており、各項は0ではありません。和を1つの数として計算してから判定します。

自分で試す5問

各問で、ベクトルが垂直になる実数の値または集合を求めてください。値は整数または分数で答え、存在しない場合は解なしと答えてください。

1. a = (5, -2)、b = (u, 10) とします。uを求めてください。
2. a = (v − 4, v − 4)、b = (v, 2) とします。vをすべて求めてください。
3. a = (w, 1)、b = (1, w) とします。wを求めてください。
4. a = (r, r + 1)、b = (r + 1, -r) とします。条件を満たすrの集合を求めてください。
5. a = (q, 1)、b = (q, 3) とします。qをすべて求めてください。

5問の解答と確かめ

1

aは非零で、bも第2成分が10なので非零です。内積を0と置きます。

5u + (-2)・10 = 0
5u - 20 = 0
u = 4

u = 4ではb = (4, 10) です。元に戻すと 5・4 + (-2)・10 = 0 なので、答えは u = 4 です。bの第1成分も指定どおり4です。

2

bは第2成分が2で非零です。aが零になるのは v = 4 です。

(v - 4)v + (v - 4)・2 = 0
(v - 4)(v + 2) = 0
v = 4 または v = -2

v = 4ではaが零なので除きます。v = -2では a = (-6, -6)、b = (-2, 2) です。内積は12 − 12 = 0で、両方非零ですから答えは v = -2 です。

3

両ベクトルとも成分の1つが1なので、常に非零です。

w・1 + 1・w = 0
2w = 0
w = 0

w = 0を戻すと a = (0, 1)、b = (1, 0) です。内積は0で、座標軸の方向どうしとしても直角です。答えは w = 0 です。

4

rとr + 1が同時に0になることはありません。そのためaは常に非零です。bも同じ2つの成分を符号と順序を変えて持つので非零です。

r(r + 1) + (r + 1)(-r) = 0

内積はどの実数rでも0です。元の成分の積も互いに逆符号で打ち消し合うため、答えはすべての実数です。特定の値を代入した確認にとどまらず、文字のまま両条件を確かめています。

5

両方とも第2成分が0でないので非零です。内積を計算すると次の式になります。

q・q + 1・3 = 0
q² + 3 = 0
q² = -3

実数の二乗は0以上なので、これを満たす実数qはありません。答えは解なしです。実際、どの実数qでも元の内積 q² + 3 は正であり、0に戻る値はありません。

要点を手元に残す

非零の2ベクトルは、内積が0のとき、またそのときに限り垂直です。
内積を0と置いた後、候補ごとに2成分が同時に0にならないか調べます。
文字を含む因子で割る前に、その因子が0の場合を分けます。
候補がない場合や、除外する値以外がすべて答えになる場合もあります。

どこで止まったかを見分ける

内積の式が作れないときは、対応する成分の積を2つ書き、その和を取れているかを確かめます。方程式は解けるのに答えが合わないときは、各候補を元の2つの成分へ戻し、零ベクトルになる値に印を付けます。

個別指導で説明するときは、「内積が0」と「角度が90°」の間に何が必要かを、具体的な成分で言葉にしてみてください。係数が文字の場合には、割る前に0かどうかを分ける理由も式に添えます。向きを持つ2本に戻して初めて、計算した0が直角を意味します。