高校数学III 速度と道のりの積分—向きが変わる時刻で速さを分けて足す｜武蔵野個別指導塾

速度が2回零になる運動を例に、符号表と位置の変化から折り返しを数える道のりを追います。

よくあるのは、理系の高3が直線上を動く点の問題で、終点と始点の位置差を総道のりにしてしまう場面です。途中で向きが変われば、戻った分も実際に進んだ距離に入ります。出発点に戻った運動の位置差は0ですが、動いた道のりまで0になるわけではありません。速度の符号を時刻ごとに追い、区間ごとの移動を足す方法を見ていきます。

何を求める量として読むか

直線に正の向きを定め、時刻tの位置をx(t)、速度をv(t)とします。位置の差は符号を持つ量です。正の向きへ進んだ分を正、逆向きに進んだ分を負として合計したものが変位です。一方、道のりは進行方向を問わず、実際に通った長さを足した量です。単位はどちらも長さですが、意味は異なります。

問題では、速度が与えられて総道のりを求める型、位置も指定されて終点と途中の位置を求める型、複数の零点を持つ速度から往復を読み取る型があります。まず時間の範囲と求める量に印を付けましょう。速度が負の時間を見落とすと、正しい原始関数を使っても答えは変位のままです。

この話は有限時間の直線運動を扱います。平面上の運動では、各成分から速さを作る必要があり、直線上の符号表をそのまま流用できません。また、物体の大きさは考えず、位置を1つの点で表します。

速度の符号から進行方向を読む

位置x(t)が微分可能で、その導関数v(t)が閉区間で連続なら、時刻aからbまでの変位は∫[a→b] v(t) dtです。これは微分と積分の関係からx(b) − x(a)になります。速さは速度の絶対値|v(t)|なので、同じ時間の総道のりは∫[a→b] |v(t)| dtです。連続な速度の絶対値も連続なので、ここでの定積分は定義できます。

図1のように、速度が正の区間では正の向きへ、負の区間では逆向きへ進みます。速度が零の時刻は立ち止まる候補ですが、その前後で符号が同じなら向きは変わりません。したがって、零点を求めた後に各区間の符号を調べます。端点の零点は時間の端として扱い、区間の外側の符号を調べる必要はありません。

図1では、右向きを正に定めています。向きを逆に選べば速度と変位の符号は反転しますが、速さと道のりは変わりません。符号の規約と長さそのものを区別することが、計算を点検する入口になります。

実際の手順は、まずv(t) = 0を指定された範囲で解き、小さい順に並べることです。その点で時間を区切り、各区間の代表時刻を代入して符号を決めます。正ならv(t)、負なら-v(t)を積分して足します。零点が重解のときは、左右で同じ符号になる場合があるため、解の個数だけで折り返しの回数を決めないようにします。

速度の値が小さくても、時間が長ければ移動した距離は大きくなります。速度の最大値だけでは道のりを決められず、時間の各部分で速さを積み重ねる必要があります。速度が0である一瞬は長さを加えませんが、その前後の向きの判定には役立ちます。

同じ計算を位置から見ることもできます。符号が一定の区間では位置が単調に変化するので、その区間の道のりは両端の位置差の絶対値です。区間の道のりを足せば総道のりが出ます。初期位置が与えられなくても位置差は速度から求まり、総道のりには初期位置が影響しません。

基本例題：1回向きを変える

点Pは直線上を動き、時刻t秒の速度はv(t) = 4 − 2t m/sです。0秒から3秒までの変位と総道のりを、それぞれ分数または整数の厳密値で求めてください。

速度は多項式なので連続です。停止時刻は4 − 2t = 0からt = 2です。0 ≦ t < 2では速度が正、2 < t ≦ 3では負です。図2のように、2秒で進行方向が変わります。速度のグラフの横軸より下の部分は、変位では負ですが道のりでは正に数えます。

原始関数をF(t) = 4t − t²とおくと、F(0) = 0、F(2) = 4、F(3) = 3です。まず符号付きで足す変位は次のようになります。

∫[0→3] (4 − 2t) dt = F(3) − F(0) = 3 m

一方、前半の変位は4 m、後半の変位は3 − 4 = -1 mです。後半は逆向きに1 m進みます。よって道のりは次のとおりです。

∫[0→2] (4 − 2t) dt + ∫[2→3] (2t − 4) dt = 4 + 1 = 5 m

図2の三角形でも確かめられます。前半は底辺2、高さ4なので面積は4、後半は底辺1、高さ2なので面積は1です。後半を負として引けば変位3 m、正の長さとして足せば道のり5 mです。単位も、速度m/sに時間sを掛けてmに戻っています。

始点を仮に位置0 mとすると、2秒では位置4 m、3秒では位置3 mです。0から4まで進み、4から3まで戻る経路は、求めた5 mと一致します。始点が別の位置でも、この2つの移動の長さは変わりません。

標準例題：2回の折り返し

点Qの速度をv(t) = (t − 1)(t − 3) m/sとします。0 ≦ t ≦ 4での変位と総道のりを、分数の厳密値で求めてください。

速度は連続で、零点は1と3です。各区間に0、2、4を代入すると符号は順に正、負、正です。したがって2回向きが変わります。原始関数を次のように定めます。

F(t) = t³/3 − 2t² + 3t F(0) = 0 F(1) = 4/3 F(3) = 0 F(4) = 4/3

各区間の変位は順に4/3、-4/3、4/3 mです。これらを符号付きで足した変位は4/3 mです。総道のりは各位置差の絶対値を足します。

4/3 + |-4/3| + 4/3 = 4 m

始点を0 mとすると、停止時の位置は順に4/3 m、0 m、終点は4/3 mです。0から4/3へ、そこから0へ、再び4/3へ進むので、3区間の長さはいずれも4/3 mです。端点だけを見ると最後の位置差は4/3 mですが、途中の往復は消えてしまいます。

別の立式は∫[0→4] |(t − 1)(t − 3)| dtです。計算する際には、1と3で絶対値の中身の符号が変わるため、結局3区間に分けます。位置の値を表にする方法は道筋を確認しやすく、積分を区間別に書く方法は速さを直接表しやすい方法です。

発展例題：停止しても折り返さない時刻

点Rの速度はv(t) = (t − 1)²(t − 2) m/sです。0 ≦ t ≦ 3での総道のりと変位を分数の厳密値で求め、向きが変わる時刻を答えてください。

速度は連続で、零点は1と2です。(t − 1)²は負にならず、1の前後では正です。したがって速度は0 < t < 1と1 < t < 2で負、2 < t < 3で正です。1秒では一瞬停止しますが、前後とも逆向きに進みます。向きが変わるのは2秒です。

展開して積分すると、原始関数を次のように取れます。

v(t) = t³ − 4t² + 5t − 2 F(t) = t⁴/4 − 4t³/3 + 5t²/2 − 2t F(0) = 0 F(1) = -7/12 F(2) = -2/3 F(3) = 3/4

0秒から2秒までの変位は-2/3 m、2秒から3秒までは3/4 − (-2/3) = 17/12 mです。よって次のように道のりを計算します。

総道のり = 2/3 + 17/12 = 25/12 m 変位 = F(3) − F(0) = 3/4 m

途中の1秒も入れて確かめると、0から1秒の道のりは7/12 m、1秒から2秒は1/12 mです。足せば2/3 mとなり、停止時刻で分けても結果は変わりません。始点を0 mとすれば、位置は0、-7/12、-2/3、3/4 mの順です。この位置の並びは、1秒を挟んでも減り続け、2秒から増えるという符号判定と一致します。

零点を境界に置くことは安全な整理ですが、零点の数をそのまま折り返しの数とすることはできません。各区間の符号が同じなら、隣り合う区間をまとめて積分できます。逆に、符号が変わる境界をまたいだまま絶対値を外すと、戻った距離が打ち消されます。

負の部分を消してしまったら

基本例題で、∫[0→3] v(t) dt = 3を計算して「総道のり3 m」と書く誤りを考えます。図3のように、前向きに4 m進んだ後、逆向きに1 m戻っています。終点は始点から正の向きに3 mですが、歩いた長さは4 + 1 = 5 mです。

図3の矢印をたどれば、終点と始点の差だけでは途中の移動を復元できないとわかります。直し方は、まず速度の零点2を時間軸に入れ、前後の符号を確かめることです。その後、負の区間の積分にマイナスを付けて長さに直します。積分全体に絶対値を付けた |∫[0→3] v(t) dt| は3 mのままで、区間ごとの打ち消しを防げません。

答えの大小も点検できます。総道のりは常に0以上で、変位の絶対値以上です。ただし、この条件を満たすだけで計算が正しいとは限りません。停止時刻の漏れ、範囲外の零点の混入、負の区間の符号反転をそれぞれ確かめてください。速度がずっと負なら、変位は負でも道のりはその絶対値です。

練習問題

各点は直線上を動き、速度の単位はm/s、時刻の単位は秒とします。答えは分数または整数の厳密値とし、長さには単位を付けてください。いずれも速度は指定範囲で連続です。

1. v(t) = 6 − 3t、0 ≦ t ≦ 4のとき、変位と総道のりを求めてください。
2. v(t) = t − 5、1 ≦ t ≦ 4のとき、変位と総道のりを求めてください。
3. v(t) = (t − 2)(t − 4)、1 ≦ t ≦ 5のとき、総道のりを求めてください。
4. v(t) = (t − 3)²、1 ≦ t ≦ 5のとき、向きが変わるか判定し、総道のりを求めてください。
5. v(t) = 2t − 6、0 ≦ t ≦ 5で、初期位置が2 mです。終点の位置と総道のりを求めてください。

答えと解き方

1. 零点は2で、前半が正、後半が負です。原始関数をF(t) = 6t − 3t²/2とすると、F(0) = 0、F(2) = 6、F(4) = 0です。変位は0 m、総道のりは6 + 6 = 12 mです。位置が始点に戻ることと、往復の長さが12 mあることを区別します。

2. 与えられた範囲では速度は負です。原始関数F(t) = t²/2 − 5tについてF(4) − F(1) = -15/2です。したがって変位は-15/2 m、総道のりは15/2 mです。逆向きに一度も方向を変えずに進むので、この長さを負の向きに取ると元の変位に戻ります。

3. 零点2、4で正、負、正と符号が変わります。F(t) = t³/3 − 3t² + 8tとすると、F(1) = 16/3、F(2) = 20/3、F(4) = 16/3、F(5) = 20/3です。各区間の変位は4/3、-4/3、4/3 mなので、総道のりは4 mです。各移動の符号を戻して足せば、終点と始点の位置差4/3 mも得られます。

4. 速度は3秒で零ですが、その前後では正です。向きは変わりません。原始関数をF(t) = (t − 3)³/3とすれば、道のりはF(5) − F(1) = 8/3 − (-8/3) = 16/3 mです。停止点までとその後はいずれも8/3 mで、両方を正方向の移動として足せます。

5. 速度は3秒まで負、その後は正です。F(t) = t² − 6tとするとF(0) = 0、F(3) = -9、F(5) = -5です。変位は-5 mなので終点の位置は2 − 5 = -3 mです。3秒での位置は2 − 9 = -7 mで、2 mから-7 mまで9 m、-7 mから-3 mまで4 m進みます。総道のりは13 mです。終点の-3 mから初期位置2 mを引けば、変位-5 mに戻ります。

手元に残す要点

速度の符号は進行方向、速度の絶対値は速さです。 変位は速度の積分、総道のりは速さの積分です。 零点を時間の範囲で求め、前後の符号を調べます。 区間ごとの位置差の絶対値を足しても道のりを求められます。

途中式で止まったとき

零点が出せても式が進まない場合は、時間軸にその値を並べ、それぞれの区間から時刻を1つ選んで速度に代入してください。符号を言葉で「正の向き」「逆向き」と書き添えると、負の積分をなぜ反転するのか説明できます。位置の表が作れる場合は、隣り合う値の差を取り、図の矢印と照合しましょう。

個別指導で確かめるなら、まず求める量を変位と道のりのどちらと読んだか、次に符号が変わる時刻を漏らしていないかを式と図で確認します。最後に求めた長さを区間ごとの移動に戻して、単位と合計を見直します。折り返しを時間の順に追うと、消えていた道のりが見えてきます。