高校数学III 媒介変数曲線の長さ—二つの座標の変化から速さに当たる量を作る｜武蔵野個別指導塾

円弧と曲線の例で、横と縦の変化、区間の向き、零になる成分から読み解く鍵は媒介変数曲線の長さにあります。

よくあるのは、理系の高3が演習で媒介変数表示を見て、dx/dtを積分すれば曲線の長さになると考える場面です。横向きに進んだ量は確かに得られますが、曲線が上下にも動くなら、その分は数えられていません。たとえば始点と終点の横座標が等しい円弧でも、弧の長さは0ではありません。点が描く図を追いながら、2つの座標の変化をどう合わせるかを考えます。

長さを問われたら何を読むか

媒介変数tで点の座標がx = f(t)、y = g(t)と与えられると、tの区間がそのまま曲線のどの部分を描くかを決めます。まず両端の座標を求め、途中の増減や向きを調べます。式が同じでも区間が異なれば、求める弧も異なるからです。弧の長さを聞かれたのに、終点と始点を結ぶ線分の長さを答えることも避けたいところです。曲がった道の長さは一般にその線分より大きくなります。

出方には、円の一部の長さを媒介変数の区間から求める型、2つの導関数の二乗和を整理する型、座標の一方が減少する区間を含む型があります。どの場合も、最初に図と端点、次に導関数、最後に積分の順で点検します。ここでは有限区間で両座標の導関数が連続で、同時に0にならない正則な弧を扱います。区間内で同じ弧を繰り返し描かないことも、それぞれの例で確認します。

小さな線分から長さの式へ

図1のように、近い2点の横の差をΔx、縦の差をΔyとすると、その2点を結ぶ線分の長さは三平方の定理から√((Δx)²+(Δy)²)です。横の差だけでは斜めの線分になりません。区間を細かく分けた線分の長さの和を考えると、十分滑らかな曲線では、その極限が弧の長さになります。

図1の横と縦の変化をそれぞれΔtで割り、Δtが小さくなるときの変化率を考えます。f′とg′が閉区間で連続で、両者が同時に0にならないとき、a < bに対して長さLは次の式です。

L = ∫[a→b] √((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt

根号の中は2方向の変化率の二乗和です。tを時間と読むなら根号は速さに当たりますが、tが時間である必要はありません。曲線上の点を指定する文字として扱えます。被積分関数は連続で非負なので、有限の定積分が定まり、長さも非負です。

面積の置換では横幅に対応するdxが現れ、dx/dtの符号が積分の向きに関係します。一方、長さには横と縦の両方が入り、各成分は二乗されます。dx/dtが負でも、その部分の長さは負になりません。端点を逆順にしたまま定積分すると符号が逆になるので、長さの積分は小さいtから大きいtへ書きます。

正則とは、各点で2つの導関数が同時には0にならないことです。一方の導関数が0でも、他方が0でなければ正則です。また、正則であることだけから重複がないとは限りません。端点と増減、必要なら三角関数の変域を調べ、指定された弧が何回描かれるかを別に判断します。

基本：円弧を一度たどる

例題1：x = 3 cos t、y = 3 sin t、0 ≤ t ≤ π/2で表される弧の長さを、πを用いた厳密値で求めてください。

両座標はこの閉区間で連続な導関数を持ちます。始点は(3, 0)、終点は(0, 3)です。x²+y² = 9で、両座標は非負ですから、図2の第1象限の円弧を描きます。区間の内部ではxが減少し、yが増加するため、同じ点を繰り返し通りません。

図2の矢印はtが増える向きです。xは減りますが、弧の長さは増えていきます。まず両座標を微分してから、二乗和を作ります。

dx/dt = -3 sin t
dy/dt = 3 cos t
(dx/dt)²+(dy/dt)² = 9 sin² t + 9 cos² t
= 9
√((dx/dt)²+(dy/dt)²) = 3

二乗和は常に9なので正則です。根号は非負の3を取ります。長さは次のように求まります。

L = ∫[0→π/2] 3 dt
= 3[t][0→π/2]
= 3π/2

始点と終点の距離は√(3²+3²) = 3√2です。3π/2はこれより大きく、弧として自然な値です。また半径3の円周6πの4分の1にも一致します。円の幾何を使う方法も短いですが、導関数から求める方法は円以外の弧にも使えます。xの減少量だけを使うと3であり、弧の長さとは一致しません。

標準：二乗和を平方にする

例題2：x = t − t³/3、y = t²、1 ≤ t ≤ 2で表される弧の長さを、分数で求めてください。

両座標は多項式なので導関数が連続です。yが増加するので異なるtに異なる点が対応し、弧は重なりません。この弧ではdx/dt = 1 − t²、dy/dt = 2tです。yが増加するので重なりはなく、導関数は連続でdy/dtは正です。端点は(2/3, 1)、(-2/3, 4)です。

(dx/dt)²+(dy/dt)² = (1 - t²)² + (2t)²
= 1 + 2t² + t⁴
= (1 + t²)²
√((dx/dt)²+(dy/dt)²) = 1 + t²

1 + t²は正なので、平方根を外しても符号は変わりません。よって次のとおりです。

L = ∫[1→2] (1 + t²) dt
= [t + t³/3][1→2]
= (2 + 8/3) - (1 + 1/3)
= 10/3

端点の差は横が-4/3、縦が3です。弦の長さは√97/3で、10/3より小さくなります。横方向の変化が負でも長さが正になることを、この例で確かめられます。yを使った関数表示に直す方法もありますが、tのまま二乗和が平方になるため、ここでは変数を変える必要がありません。

発展：区間の符号と端点を合わせる

例題3：x = 2t、y = t²、-1 ≤ t ≤ 1で表される弧の長さを、対数と根号を用いた厳密値で求めてください。

両導関数は連続で、dx/dt = 2は常に0ではありません。xは増加するので弧の重複もありません。両端は(-2, 1)、(2, 1)、中央は(0, 0)です。yは途中で減少から増加へ変わりますが、微分係数を二乗して合わせるため、そこを境に別の長さの公式に変える必要はありません。

dx/dt = 2
dy/dt = 2t
√((dx/dt)²+(dy/dt)²) = 2√(1 + t²)
L = 2∫[-1→1] √(1 + t²) dt
= 4∫[0→1] √(1 + t²) dt

最後の変形には、根号内がtについて偶関数であることを使いました。積分を計算するため、u = t + √(1 + t²)と置きます。0 ≤ t ≤ 1ではu > 0で、du/dt = u/√(1 + t²) > 0です。したがって端点の順序を保った置換ができます。さらに(u − t)² = 1 + t²から次が成り立ちます。

t = (u - 1/u)/2
√(1 + t²) = (u + 1/u)/2
dt = (1 + 1/u²) du/2

端点はt = 0でu = 1、t = 1でu = 1 + √2です。これらを同じ変数にそろえます。

∫[0→1] √(1 + t²) dt
= (1/4)∫[1→1+√2] (u + 2/u + 1/u³) du
= (1/4)[u²/2 + 2 log u - 1/(2u²)][1→1+√2]
= (√2 + log(1 + √2))/2
L = 2√2 + 2 log(1 + √2)

ここでlogは自然対数です。始点と終点の距離は4で、求めた弧の長さは4より大きくなります。実際、0 < t ≤ 1では√(1 + t²) > 1なので、積分の式からもL > 4とわかります。式に端点を戻す確認と、弦との比較は異なる誤りを見つける手がかりです。

横の変化だけを積分した答えを直す

例題1で「∫[0→π/2] dx/dt dt = -3だから長さは-3」とする答えを考えます。この積分は横座標の変化0 − 3を表します。長さが負になった時点で、何を合計したかを見直します。符号を変えて3としても、縦の変化が抜けたままです。

図3の横向きの差は3ですが、円弧は横にも縦にも進みます。各小区間で三平方の定理を使ってから足し、2つの導関数を根号の中に入れます。積分後に成分を足したり、dx/dtとdy/dtをそのまま足したりしても、斜めの小線分の長さにはなりません。

別の失敗は、平方根を外すときに√(h(t)²)を常にh(t)とすることです。正しくは|h(t)|です。符号が一定かを区間で調べ、変わるなら境界で分けます。また、xが一定の部分でdx/dt = 0になっても、dy/dtが0でなければ縦方向の長さがあります。両方が0になる場合は、ここで使った正則性の条件を満たさないため、そのまま同じ説明を適用せず、区間や曲線の様子を改めて調べます。

練習問題

各問とも指定区間で弧を1回描くものとして、長さを厳密値で求めてください。座標の単位は共通とします。まず両導関数の連続性と正則性、弧の重複の有無を確かめてから計算してください。

1. x = 4 cos t、y = 4 sin t、0 ≤ t ≤ π/3。答えはπを用いて表してください。
2. x = 2t、y = 3t + 1、0 ≤ t ≤ 2。答えは根号を用いて表してください。
3. x = t − t³/3、y = t²、0 ≤ t ≤ 1。答えは分数で表してください。
4. x = 5 cos t、y = 5 sin t、π/2 ≤ t ≤ π。答えはπを用いて表してください。
5. x = t − t³/3、y = t²、0 ≤ t ≤ 2。答えは分数で表してください。

練習の答えと解き方

1. 導関数は-4 sin t、4 cos tで、二乗和は16です。連続で同時に0にならず、この区間で円の角度は重複しません。

L = ∫[0→π/3] 4 dt
= 4π/3

端点は(4, 0)、(2, 2√3)です。半径4の円の6分の1周にも戻り、弦の長さ4より大きい値です。

2. 導関数は2、3で一定です。二乗和13は正で、xが増加するため重なりません。

L = ∫[0→2] √(2² + 3²) dt
= 2√13

端点(0, 1)、(4, 7)の差は(4, 6)です。この弧は線分なので、端点間の距離√(4²+6²) = 2√13と一致します。

3. 導関数は1 − t²、2tです。二乗和は(1 + t²)²で常に正です。xは区間の内部で増加し、弧は重なりません。

L = ∫[0→1] (1 + t²) dt
= [t + t³/3][0→1]
= 4/3

端点は(0, 0)、(2/3, 1)で、弦の長さ√13/3より4/3は大きくなります。端点におけるdx/dt = 0は、dy/dt = 2なので正則性を損ないません。

4. 導関数の二乗和は25で正、導関数も連続です。角度の区間は半周より短く、同じ点を繰り返しません。

L = ∫[π/2→π] 5 dt
= 5π/2

端点は(0, 5)、(-5, 0)です。半径5の円周の4分の1と一致し、弦の長さ5√2を上回ります。xが負に向かっても積分する長さは正です。

5. 両導関数は連続です。dy/dt = 2tで、t = 0でもdx/dt = 1です。yは増加し、弧は重なりません。

L = ∫[0→2] (1 + t²) dt
= [t + t³/3][0→2]
= 14/3

端点は(0, 0)、(-2/3, 4)です。弦の長さは2√37/3で、14/3より小さくなります。途中でxが折り返してもyは増加し、同じ点を再び通らないことを条件に戻して確認できます。

計算結果を条件へ戻すときは、端点が合うだけでなく、弧がその間をどう通るかにも目を向けます。練習5ではxの増減だけで重複を判定できませんが、yの増加が異なる点を区別します。練習2では直線なので、積分結果と弦の長さが一致することが独立した確認になります。円弧では弦より長いという比較に加え、指定された角度が円周の何分のいくつかを調べられます。

手元に残す要点

• 端点、描く向き、弧の重複を先に調べます。
• 両導関数の連続性と、同時に0にならないことを確かめます。
• 長さの被積分関数は2つの変化率の二乗和の平方根です。
• 平方根を外す前に絶対値と区間内の符号を確認します。
• 答えは非負で、端点を結ぶ弦以上かを点検します。

式が立たないときは、短い弧の両端から横と縦の差を描き、斜めの線分がどこにあるかを説明してみてください。式は立つのに値が合わないときは、微分、平方根の符号、積分区間の順に戻ります。個別指導では、図に端点と向きを書けるか、2つの成分を同じtで表せるか、答えを弦と比べられるかを順に確かめられます。横の増減が変わる弧でも、2方向の変化を合わせれば長さを追えます。