高校数学III サイクロイドの面積—一つの弧と軸の領域を置換して求める｜武蔵野個別指導塾

サイクロイドの端点を座標式で確認し、高さと横幅の変化率を掛けて、一弧や半弧の面積を導きます。

よくあるのは、理系の高3が演習で、サイクロイドの一弧の終点を図だけで決めてしまう場面です。山が1つ見える図でも、横軸の目盛りが角度を表すのか座標を表すのかは別の話です。座標式に戻り、軸に着く時刻を求めてから横の座標を計算すれば、積分する領域を取り違えずに済みます。ここでは与えられた座標式から面積を求め、曲線が転がる運動から生じる理由には立ち入りません。

山の端を何で決めるか

正の定数 a に対し、曲線が x = a(t − sin t)、y = a(1 − cos t) と与えられたとします。t は角度としてラジアンで測ります。面積を求める問題では、まず隣り合う軸との接点の間を一弧として指定する型があります。また、頂点を通る縦の直線で一弧を切り、片側の面積を求める型もあります。さらに、底辺と高さの長方形から弧の下の部分を引く型では、何を引くのか図で確かめます。

いずれも、絵の見た目を根拠に積分の上下端を決めないことが出発点です。y = 0 は cos t = 1 と同じなので、隣り合う解は t = 0 と t = 2π です。この間の弧の両端の x 座標は、それぞれ 0 と 2πa です。π は t の値にも x の値にも現れますが、後者には a が掛かります。面積の積分ではどの変数の端を使っているかを明記します。

問題文に別の範囲があれば、まずその範囲を優先します。例えば t が一弧の半分までしか動かないのに、山全体を積分すれば求める領域をはみ出します。反対に、t の範囲が複数の弧に及ぶときは、一弧の面積をそのまま答えにできません。ここで扱うのは有限区間に指定された一弧と、その一部分です。

横幅と高さを同じ文字で表す

図1のように、一弧の上の点を t で指定します。高さは y = a(1 − cos t) で、横方向の変化は dx/dt = a(1 − cos t) です。したがって小さな t の変化に対応する横幅には、a(1 − cos t) という因子が付きます。高さを t の式に置き換えた後で dx を残してはいけません。

図1で頂点に当たる t = π では x = πa、y = 2a です。0 < t < 2π では 1 − cos t > 0 なので x は狭義に増加し、各 x に対する高さが一つに定まります。端点で dx/dt = 0 になっても、内部の単調性と座標の連続性は失われません。曲線と x 軸の間の領域を縦に切ると、各切り口の長さは非負の y です。

そのため面積 S は、置換積分を使って次のように書けます。座標の導関数は連続で、x は区間全体で増加するため、端点も向きもこの置換に対応します。

S = ∫[0→2πa] y dx
  = ∫[0→2π] a(1 - cos t)・a(1 - cos t) dt
  = a²∫[0→2π] (1 - cos t)² dt

x = 0 と x = 2πa は横座標、t = 0 と t = 2π は媒介変数の値です。式の左から右へ移るとき、積分区間も微小な横幅も一緒に変わっています。端点で横幅の変化率が 0 になる事実は、端点を除く部分の面積まで 0 にするものではありません。

計算には cos² t = (1 + cos 2t)/2 を使います。この式は倍角の公式から得られ、0 から 2π までの区間で連続な関数について通常の定積分を適用できます。面積は長さの積なので a² に比例します。a を2倍にした図形では横も縦も2倍となり、面積が4倍になることと一致します。

基本例題：一弧の下を積分する

例題1。x = 2(t − sin t)、y = 2(1 − cos t)、0 ≦ t ≦ 2π で表される一弧と x 軸で囲まれた面積を、πを用いる厳密な値で求めてください。

図2のように、両端の媒介変数を座標に代入すると、端点は (0, 0) と (4π, 0) です。t = π では (2π, 4) です。内部で dx/dt = 2(1 − cos t) > 0 なので、一弧を左から右へ1回描きます。高さも非負であり、縦の切り口から面積を作れます。

図2の淡い部分を S として、まず高さと横幅をそれぞれ t で表します。dx/dt を掛けることで、t の小さな変化を横幅へ変えます。

S = ∫[0→2π] 2(1 - cos t)・2(1 - cos t) dt
  = 4∫[0→2π] (1 - 2 cos t + cos² t) dt
  = 4∫[0→2π] (3/2 - 2 cos t + (cos 2t)/2) dt
  = 4[(3t)/2 - 2 sin t + (sin 2t)/4] の 0 から 2π までの差
  = 4・3π
  = 12π

答えは 12π です。元の条件に戻ると、底辺は 4π、高さは 4 ですから、全体を含む長方形の面積は 16π です。12π は正であり、長方形より小さいという図の条件を満たします。この大小確認は計算の証明にはなりませんが、横幅の因子を落とした答えや負の答えを見直す手掛かりになります。

標準例題：頂点で分ける

例題2。x = 3(t − sin t)、y = 3(1 − cos t)、0 ≦ t ≦ 2π の一弧について、x 軸と弧に囲まれた領域のうち、直線 x = 3π より左にある部分の面積を、πを用いる厳密な値で求めてください。

x = 3π を t で解く際、図から値を読み取るだけでは不十分です。t = π を代入すると x = 3π であり、内部で x は狭義に増加するので、この区間に他の対応値はありません。左側は 0 ≦ t ≦ π に対応します。高さは非負で、座標と導関数も連続ですから、置換して次のように求められます。

S = ∫[0→π] 3(1 - cos t)・3(1 - cos t) dt
  = 9∫[0→π] (3/2 - 2 cos t + (cos 2t)/2) dt
  = 9[(3t)/2 - 2 sin t + (sin 2t)/4] の 0 から π までの差
  = 27π/2

答えは 27π/2 です。別の見方では、t と 2π − t に対応する2点の高さは等しく、x 座標の和は 6π です。したがって弧は x = 3π に関して対称で、左側は全体の半分です。ただし対称という図の印象だけで半分にせず、座標の対応を確かめて使います。底辺 3π、高さ 6 の長方形の面積 18π と比べても、答えはその範囲に収まります。

発展例題：上側に残る部分

例題3。x = 4(t − sin t)、y = 4(1 − cos t)、0 ≦ t ≦ 2π の一弧と x 軸が囲む領域を、0 ≦ x ≦ 8π、0 ≦ y ≦ 8 の長方形から取り除きます。残る部分の面積を、πを用いる厳密な値で求めてください。

この弧は両端で高さ 0、中央の t = π で高さ 8 です。cos t は -1 以上 1 以下なので、弧の高さは 0 以上 8 以下です。また x は左端から右端まで増加します。よって長方形の各縦の切り口は、弧より下と弧より上に重なりなく分かれます。境界線の面積は 0 です。

まず下側の面積を A と置きます。例題1と同じ形ですが係数を代入し直し、端点も長方形の横幅に戻して確かめます。

A = ∫[0→2π] 16(1 - cos t)² dt
  = 16[(3t)/2 - 2 sin t + (sin 2t)/4] の 0 から 2π までの差
  = 48π
長方形の面積 = 8π・8
              = 64π
残る面積 = 64π - 48π
         = 16π

答えは 16π です。弧の下と上を足すと 64π に戻り、指定された長方形の面積に一致します。横切りで上側を直接求めようとすると、同じ高さに左右2点が対応するため、左右の枝を区別する必要があります。この問題では縦切りの下側を求めて引く方が、枝を解き分けずに済みます。

誤答を直す：終点と横幅の二重確認

例題1で「終点は x = 2π だから、S = ∫[0→2π] 2(1 − cos t) dt = 4π」とする答案を考えます。この式には、終点の読み違いと横幅の因子の欠落があります。図3のように、t = 2π を x の式に戻すと終点は x = 4π です。t と x は異なる量なので、同じ数値を端点として移してはいけません。

さらに、図3の t の区間を使って積分するなら、dx = 2(1 − cos t) dt と置き換えます。誤った式は高さを t で積分していますが、求める面積の横幅を表していません。正しくは高さと横幅の因子を掛けた 4(1 − cos t)² を積分します。端点が偶然同じ数になる係数でも、因子を省いてよい理由にはなりません。

もう一つの失敗は、積分値が正だから領域を正しく数えたと判断することです。正の値でも、半分の弧を全体として扱えば別の面積になります。x の増減と t の区間を書き、何を塗ったのかを式の横に残してください。図がなくても両端を式に代入できることが、検算の基準になります。

自分で試す5問

以下では、面積はすべて π と必要な数を使った厳密な値で答えてください。各曲線は指定した範囲で描くものとします。

1. x = 5(t − sin t)、y = 5(1 − cos t)、0 ≦ t ≦ 2π の一弧と x 軸で囲まれる面積を求めてください。
2. x = 6(t − sin t)、y = 6(1 − cos t)、0 ≦ t ≦ π の弧と x 軸、および直線 x = 6π で囲まれる面積を求めてください。
3. x = 7(t − sin t)、y = 7(1 − cos t)、0 ≦ t ≦ 2π の一弧について、弧の下の領域を含む長方形 0 ≦ x ≦ 14π、0 ≦ y ≦ 14 からその領域を除いた面積を求めてください。
4. x = t − sin t、y = 1 − cos t、0 ≦ t ≦ π/2 の弧と x 軸、および両端を通る縦の直線で囲まれる面積を求めてください。
5. x = 8(t − sin t)、y = 8(1 − cos t)、π ≦ t ≦ 2π の弧と x 軸、および両端を通る縦の直線で囲まれる面積を求めてください。

答えと確かめ方

1. 答えは 75π です。dx/dt = 5(1 − cos t) は区間内で非負なので、高さに掛けて積分します。

S = 25∫[0→2π] (1 - cos t)² dt
  = 25・3π
  = 75π

元の式から底辺は 10π、最大の高さは 10 です。長方形の面積 100π に対し、求めた面積は正でそれより小さくなっています。

2. 答えは 54π です。t = π のとき x = 6π となり、指定された直線と一致します。x は内部で増加するため、指定した弧は領域を重複して描きません。

S = 36∫[0→π] (1 - cos t)² dt
  = 36・3π/2
  = 54π

高さの最大値は 12 であり、底辺 6π の長方形の面積 72π に収まります。t = 0 と π の座標を代入して、軸と縦の直線が図形を閉じることも確かめられます。

3. 答えは 49π です。弧の下は 49・3π = 147π、指定された長方形は 14π・14 = 196π です。差を取ると 49π で、下側と合わせて長方形の 196π に戻ります。最大の高さは t = π で 14 なので、指定された長方形の外には出ません。

4. 答えは 3π/4 − 2 です。右端は t = π/2 を代入して x = π/2 − 1 です。高さと dx/dt はともに 1 − cos t ですから、次のように計算します。

S = ∫[0→π/2] (1 - cos t)² dt
  = [(3t)/2 - 2 sin t + (sin 2t)/4] の 0 から π/2 までの差
  = 3π/4 - 2

両端の高さは 0 と 1 で、横幅は π/2 − 1 です。面積は正で、この横幅と高さ 1 の長方形の面積より小さく、元の領域の位置と合います。

5. 答えは 96π です。左端の t = π は x = 8π、右端の t = 2π は x = 16π に対応します。区間内で x は増加し、高さは非負です。

S = 64∫[π→2π] (1 - cos t)² dt
  = 64・3π/2
  = 96π

底辺 8π、高さ 16 の長方形の面積 128π の中に入ります。左右の対応を使えば、残りの半弧も同じ面積で、合わせて 192π となることも確かめられます。

手元に残す要点

• 軸との交点は y = 0 を解き、対応する x を座標式に代入します。
• x の増減と高さの符号から、塗る領域と弧の対応を確かめます。
• t で積分するときは y と dx/dt の両方を入れ、端点も t に直します。
• 半弧を使う場合は、頂点の位置や左右の対称性を座標式で確かめます。
• 面積を長方形の面積と比較し、引き算なら足し戻します。

式が止まったときの見分け方

端点が定まらないときは、図に t の値と x の値を別々に書きます。次に、曲線上の点の高さと横幅の変化率を並べ、積分の被積分関数に両方が入っているか確かめます。答えが負や外側の長方形より大きいときは、計算の前に塗った領域と積分区間の対応を見直します。

個別指導で確かめるなら、まず座標式から端点を出す過程を声にして説明し、次に図の縦の切り口を指しながら置換式を書きます。途中式が合っていても、半弧と全弧の区別を説明できなければ条件へ戻ります。サイクロイドの面積は、点の動きと領域の横幅が対応して初めて定まります。