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高校数学III 交差する二曲線の面積—交点ごとに上下を入れ替えて積分を組み立てる｜武蔵野個別指導塾
三角関数を含む二曲線の交点を数え尽くし、接点で上下が替わらない例も含めて、面積を足す区間を判定します。
よくあるのは、理系の高3が演習で、見えている交点だけを積分区間の端にする場面です。2つの曲線がもう一度交わっていても、概形の端を急いで結ぶと、別の領域を見落とします。反対に、途中の交点を知っていても上下を替えずに積分すると、面積が互いに消えます。交点を式で尽くし、隣り合う交点の間で高さを比べてから計算しましょう。
何を数える領域なのか
二曲線の間の面積では、まず問題が指定した区間と、曲線だけで囲まれる部分との違いを読みます。有限区間が指定されていれば、その両端も領域の境界です。曲線だけで囲まれる部分を問われたときは、隣り合う交点を端とする有限の領域を調べます。どの部分を合計するかを図で確かめてから式を書きます。
典型的には、三角関数を含む方程式から指定区間内の交点を列挙し、その間の上下を交互に調べます。また、接する点が途中にある場合、交点があっても上下が替わるとは限りません。さらに、区間の両端が交点でないときは、端から最初の交点までの部分も数えます。どの型でも、交点の個数を図の見た目だけで決めないことが出発点です。
縦の幅と差の符号
閉区間で連続な2つの関数を f(x)、g(x) とします。区間内で常に f(x) が g(x) 以上なら、縦に切った領域の高さは f(x) − g(x) です。その面積は ∫[a→b] (f(x) − g(x)) dx で求められます。上下が途中で変わる場合は、差 h(x) = f(x) − g(x) の零点で区間を分け、それぞれの高さを非負にします。
図1のように、交点の左右では同じ差の符号が変わることがあります。正の区間では h(x)、負の区間では -h(x) が縦の幅です。交点そのものでは幅が0なので、分割点を両隣の積分の端に置いても面積を重複して数えません。
実際には次の順に進めます。まず f(x) = g(x) を解き、指定区間の端を含めて交点を小さい順に並べます。三角方程式なら周期や変域を使い、範囲に入る解を数え尽くします。次に隣り合う境界の間から1点を取り、h(x) の符号を調べます。連続関数がその間に零点を持たないと確認できていれば、途中で符号は変わりません。
零点の一覧に漏れがあれば、代表点1つの符号だけでは区間全体の上下を保証できません。例えば代表点の前後で2回交差すると、代表点では元の符号に戻るからです。符号表は交点を尽くした後で使います。零点で接する場合には左右で同じ符号もあり得るので、交点のたびに機械的に正負を反転させないようにします。
面積の式は ∫[a→b] |h(x)| dx とまとめられますが、計算時には絶対値を外す区間を示します。積分 ∫[a→b] h(x) dx は上下の符号を保った量であり、広さの合計と一般には一致しません。区間が指定されない問題では、無限に延びる範囲まで勝手に含めず、どの有限領域を問うかを確認します。
基本例題：3つの交点を順に使う
問題：0 ≦ x ≦ 2π で、y = sin x と y = 0 に挟まれた2つの領域の面積の和を厳密値で求めてください。
どちらも閉区間で連続です。交点は sin x = 0 を満たすため、指定区間では x = 0、π、2π です。この範囲にほかの解はありません。0 < x < π では sin x > 0、π < x < 2π では sin x < 0 です。図2のように、前半は曲線が上、後半は直線が上になります。
求める面積を S とすると、縦の幅を各区間で正にして次のように計算します。
S = ∫[0→π] sin x dx + ∫[π→2π] (-sin x) dx
= [-cos x] の 0 から π まで + [cos x] の π から 2π まで
= (1 - (-1)) + (1 - (-1))
= 4図の2領域は交点 x = π で接し、内部は重なりません。それぞれの面積が2なので、合計4は問題の指定した2領域に戻しても一致します。対称性を使って前半の2倍としてもよいですが、後半の幅が前半に対応することを説明してから使います。符号を見ずに2倍する方法では、非対称な例に移ったときに誤ります。
標準例題：直線が交差の高さを変える
問題：0 ≦ x ≦ 2π で、y = sin x と y = 1/2 に挟まれた領域の面積の和を厳密値で求めてください。区間の両端の縦線も境界に含めます。
交点は sin x = 1/2 より x = π/6、5π/6 です。正弦の値域と周期を考えると、指定された1周期内でほかにありません。h(x) = sin x − 1/2 とすると、区間の左、中央、右で符号は順に負、正、負です。例えば x = 0、π/2、π を代入すればそれぞれ確かめられます。2つの関数は連続で、列挙した位置以外で差は0にならないため、この符号が各区間全体で成り立ちます。
S = ∫[0→π/6] (1/2 - sin x) dx
+ ∫[π/6→5π/6] (sin x - 1/2) dx
+ ∫[5π/6→2π] (1/2 - sin x) dx原始関数をそれぞれ x/2 + cos x、-cos x − x/2 として、区間ごとに値を出します。
左 = (π/12 + √3/2) - 1
中央 = (√3/2 - 5π/12) - (-√3/2 - π/12)
= √3 - π/3
右 = (π + 1) - (5π/12 - √3/2)
= 7π/12 + 1 + √3/2
S = 2√3 + π/3左と右は、どちらも直線が上ですが、一続きの区間ではありません。中央の領域を抜いて計算するため、2つの積分として残します。合計が正であることに加え、中央の面積と両端側の面積を別々に足す式に戻れば、指定区間を欠けずに覆っていると確認できます。
別の方法として、全区間の符号付き積分と、正の区間の面積を組み合わせられます。ただし、その式も符号表が出発点です。図を描いて直線より上の山だけを数えると、区間端の縦線で閉じる2部分を落とします。
発展例題：接点では符号が変わらない
問題：0 ≦ x ≦ 2π で、y = sin x と y = sin² x に挟まれた領域の面積の和を厳密値で求めてください。
2つの関数は指定区間で連続です。差を因数分解すると交点の条件が見えます。
sin x - sin² x = 0
sin x(1 - sin x) = 0
sin x = 0 または sin x = 1
x = 0、π/2、π、2π0 < x < π では 0 < sin x ≦ 1 です。したがって差は x = π/2 で0になりますが、前後とも正です。π < x < 2π では sin x < 0、1 − sin x > 0 なので差は負です。π/2 は接する点であり、上下が入れ替わる交点と区別します。交点を列挙してから符号を調べることの意味がここにあります。
sin² x = (1 − cos 2x)/2 を使うと、面積は次のように求まります。
S = ∫[0→π] (sin x - sin² x) dx
+ ∫[π→2π] (sin² x - sin x) dx
∫[0→π] sin x dx = 2
∫[0→π] sin² x dx = π/2
∫[π→2π] sin x dx = -2
∫[π→2π] sin² x dx = π/2
S = (2 - π/2) + (π/2 + 2)
= 4π/2 でも積分を分けられますが、同じ式の2区間を足すので値は変わりません。接点を区間の境界として記録した上で、符号が同じ区間をまとめると計算が短くなります。差の符号を元の sin x の範囲へ戻して確かめれば、接点の前後に負の幅を作っていないことも確認できます。
間違えた式を図に戻す
基本例題で ∫[0→2π] sin x dx = 0 と計算し、面積を0とする答案を考えます。原始関数の計算自体は正しいものの、積分したのは符号付きの差です。図3のように、横軸より下の領域は負の寄与となり、上の領域と相殺されます。実際の2つの領域には広さがあります。
直すには、先に交点 x = π で積分区間を分け、後半で上下を逆にします。前半は sin x − 0、後半は 0 − sin x です。次に各被積分関数がその区間で非負であることを確かめます。部分面積のどれかが負になったら、原始関数の符号か上下の選択を見直す手掛かりです。
逆に、結果が正なら正しいとは限りません。交点を1つ飛ばしても、正の寄与のほうが大きければ合計は正に残ります。正負の確認に加え、交点の方程式の解を指定区間内で数え尽くしたか、各区間で上の曲線を実際に代入して比べたかを点検します。接点では入れ替わらないこともありますから、図だけでなく差の符号を根拠にします。
練習：境界と符号を自分で決める
次の5問では面積の和を厳密値で求めてください。指定区間の両端の縦線を境界に含めます。各問で交点と区間ごとの上下も示してください。
- 0 ≦ x ≦ 3π で、y = cos x と y = 0 の間。
- 0 ≦ x ≦ π で、y = sin x と y = cos x の間。
- 0 ≦ x ≦ 2π で、y = 2 sin x と y = sin x の間。
- 0 ≦ x ≦ 2π で、y = cos x と y = cos² x の間。
- 0 ≦ x ≦ π で、y = sin x と y = 1 の間。
練習の答えと確かめ方
- 交点は π/2、3π/2、5π/2 です。cos x の符号は左から正、負、正、負です。原始関数 sin x を使い、4区間の幅を足します。
S = 1 + 2 + 2 + 1
= 6交点間では曲線がそれぞれ軸の上下にあり、両端から最寄りの交点までの部分も含めています。端の2部分が各1、中央の2部分が各2であることを、各区間の sin x の値に戻して確認できます。
- sin x = cos x は指定区間で x = π/4 です。左では cos x、右では sin x が上です。両者は連続であり、この区間内にほかの交点はありません。
S = ∫[0→π/4] (cos x - sin x) dx
+ ∫[π/4→π] (sin x - cos x) dx
= (√2 - 1) + (1 + √2)
= 2√2例えば x = 0 と π/2 をそれぞれ代入すると、記載した上下関係に戻ります。左端と右端から交点までの2部分を足しているため、指定範囲に抜けはありません。
- 交点は x = 0、π、2π です。差は sin x なので、前半は y = 2 sin x、後半は y = sin x が上です。
S = ∫[0→π] sin x dx + ∫[π→2π] (-sin x) dx
= 2 + 2
= 4各 x で2曲線の高さの差が |sin x| に戻ります。曲線それぞれと軸の面積を足すのではなく、同じ x での2つの高さを引いている点を確認しましょう。
- cos x − cos² x = cos x(1 − cos x) です。交点は cos x = 0 または 1 より x = 0、π/2、3π/2、2π です。差は両端側で正、中央で負です。
S = ∫[0→π/2] (cos x - cos² x) dx
+ ∫[π/2→3π/2] (cos² x - cos x) dx
+ ∫[3π/2→2π] (cos x - cos² x) dx
= (1 - π/4) + (π/2 + 2) + (1 - π/4)
= 4cos² x の積分には半角の式を使いました。各区間で例えば x = π/3、π、5π/3 を代入し、幅の符号が計算した順序と一致することを確かめます。
- 交点は x = π/2 です。区間全体で sin x ≦ 1 なので、接点の両側で y = 1 が上です。ここでは交点で上下が入れ替わりません。
S = ∫[0→π] (1 - sin x) dx
= π - 2左端と右端で縦の幅はそれぞれ1、中央で0です。差 1 − sin x は区間全体で非負なので、元の領域に戻しても面積の符号は適切です。
手元に残す要点
交点の方程式は、指定範囲内の解を漏れなく並べます。 差の符号を各区間で調べ、上の値から下の値を引きます。 接点では符号が変わらない場合もあります。 指定された領域を重なりなく分けて面積を足します。
つまずきの場所を見分ける
交点の数が合わなければ、まず三角方程式の解を単位円や周期に戻して確認します。交点が合っていて面積が負なら、各区間で選んだ上下と原始関数の符号を別々に調べます。答えが正でも、区間の端から交点までの領域を図に塗り残していないかが必要です。
個別指導で確かめるなら、答案の積分式だけでなく、交点を並べた数直線、各区間の代表点、図の塗り分けを対応させます。説明が止まった箇所をたどれば、方程式の解の漏れと、符号付き積分の意味の混同を区別できます。交点と縦の幅を結びつけることで、図から面積の式までを自分の言葉で説明できます。
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