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高校数学III 微分による不等式証明—両辺の差の増減と基準点から大小を示す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法の応用を掘り下げる

指数・対数・三角関数の不等式で両辺の差を作り、導関数の符号と基準点の値から証明と等号条件を組み立てます。

よくあるのは、理系高3の演習で2つの曲線を描き、片方が上に見えるので不等式が全区間で成立すると結論する場面です。図は方針を探す助けになりますが、画面の外や接する点の近くまでは示しません。両辺の差を1つの関数にし、その符号を増減と基準点の値から証明します。導関数を用いた増減は数学IIIの学習範囲です。

要点（結論から）

両辺の差を置き、目標の符号と共通の定義域を決めます。
差が0となる基準点と、導関数の符号を照合します。
増減から差の符号を示し、厳密な部分で等号を判定します。

どんな問いで差を作るか

第1の型は、指数関数と直線の比較です。両辺が等しくなる点を探し、差がそこで最小になると示せば、点の左右をまとめて扱えます。基準点での等号だけを確認しても、他の点の大小はまだ決まりません。

第2の型は、対数を含む比較です。真数が正という条件を最初に書きます。微分後に分母が現れるとき、その符号が定義域で一定かどうかを調べると、増減の判断が簡潔になります。端が定義域に入らないとき、端で等号が成立するとは書けません。

第3の型は、三角関数を含む比較です。導関数の符号は区間によって変わるため、角の範囲を確認してから判定します。角度は弧度法で表します。さらに差を微分しただけでは符号が決まらない場合、導関数をもう一度調べ、その増減を通じて元の差に戻ります。

差と基準点を結ぶ

示したい式が A(x) ≥ B(x) なら、共通の定義域で F(x) = A(x) − B(x) と置きます。目標は F(x) ≥ 0 です。向きを逆にして B(x) − A(x) を置いても構いませんが、その場合の目標は非正です。最初に目標の符号を明記すると、最後に不等号の向きを取り違えにくくなります。

図1のように、基準点 c で F(c) = 0 となり、左で減少、右で増加するなら、定義域の両側で F(x) ≥ 0 です。左右で厳密に増減するなら、等号は x = c のときに限ります。定義域の端が基準点なら、その区間に存在する片側の増減だけを使います。

図1の矢印は差そのものの増減です。導関数が正だから元の両辺がともに正とは限りません。また F′(c) = 0 という事実だけでは、c が最小点とも限りません。符号が左右でどう変わるかまで調べます。

区間で連続、内部で微分可能な関数について、内部で導関数が正ならその区間で増加し、負なら減少します。導関数が0以上の場合は減少しないことが言えますが、それだけで等号が基準点以外にないとは言えません。厳密な符号を示せる区間と、導関数が0になる点を区別します。図の形は結論を整理するもので、増減の根拠は導関数の符号です。

基準点を探すときは、両辺に代入しやすく等しくなる点を候補にします。候補が定義域に入ることも必要です。等号がない問題では差の端での振る舞いや厳密な増減を使いますが、端の極限値を実際に取る値と混同しないようにします。

境界と等号を読む順序

区間が閉じているとき、端点も不等式の対象です。端点では通常、両側の微分係数を使って増減を判定する必要はありません。内部で得た増減と端点での連続性を用いて端点まで比較します。一方、開いた端点では、その値を代入して等号成立とすることはできません。極限が0であっても、区間の各点で差が正なら等号は成立しません。

また、差を作る式変形は、もとの不等式と同値であることを確認します。両辺から同じ式を引く操作は定義された範囲で常に同値ですが、文字を含む式を掛けるときはその符号によって不等号の向きが変わります。負になりうる式を無条件に掛けると、証明したい向きが壊れます。差をそのまま微分する方法なら、こうした余計な場合分けを避けられることがあります。

等号の確認では、導関数が0となる点と、差が0となる点を混同しません。前者は増減の境目の候補、後者は元の両辺が一致する点です。両者が一致するかはそれぞれ代入して確かめます。差が最小となる位置が見つかっても、その最小値が負なら、求める不等式はその点で成立しません。その場合は計算を繰り返す前に、元の主張や範囲を点検します。

基本例題：指数関数と直線

すべての実数 x に対し、e²ˣ ≥ 1 + 2x を証明し、等号成立条件を求めてください。等号の条件は x の値で答えます。

両辺は実数全体で定義され、差は連続かつ微分可能です。等しくなる x = 0 を基準に選びます。左辺から右辺を引いて、次のように置きます。

F(x) = e²ˣ - 1 - 2x
F(0) = 1 - 1 - 0 = 0
F′(x) = 2e²ˣ - 2
       = 2(e²ˣ - 1)

指数関数は厳密に増加し、e⁰ = 1 です。したがって x < 0 では F′(x) < 0、x = 0 では F′(x) = 0、x > 0 では F′(x) > 0 です。F は0の左で減少し、右で増加します。よって実数全体で F(x) ≥ F(0) = 0 です。

図2のように、差は基準点で0に達し、左右のどちらでも正です。以上より e²ˣ ≥ 1 + 2x が成立し、等号は x = 0 のときに限ります。元の式に戻すと両辺はともに1です。

図2は差のグラフの模式図です。左右で符号を調べる代わりに、F′(x) ≥ 0 と決めつけると負の範囲を取り逃します。基準点の左では差が減少していても、基準点の値に向かって下がるので差自体は正です。増減と正負を別々に読むことが要点です。

標準例題：対数の定義域を残す

x > 0 のとき、log x ≤ x/2 + log 2 − 1 を証明し、等号成立条件を x の値で求めてください。log は自然対数です。

右辺から左辺を引き、非負を目標にします。対数の真数条件から定義域は x > 0 です。この範囲で差は連続かつ微分可能で、両辺が等しい x = 2 を基準にできます。

G(x) = x/2 + log 2 - 1 - log x
G(2) = 1 + log 2 - 1 - log 2 = 0
G′(x) = 1/2 - 1/x
       = (x - 2)/(2x)

x > 0 なので分母 2x は正です。0 < x < 2 で G′(x) < 0、x = 2 で G′(x) = 0、x > 2 で G′(x) > 0 です。よって G は2で最小となり、G(x) ≥ 0 です。厳密な増減により等号は x = 2 のときに限ります。元の式に代入すると両辺とも log 2 となります。

分母を払って符号を見る前に、分母が正であることを必ず書きます。x = 0 は微分式の分母が0になる以前に、もとの log x が定義されない点です。負の範囲に増減表を延ばしても、この問題の証明には使えません。

発展例題：導関数の符号をさらに調べる

0 ≤ x ≤ π/2 で sin x ≥ x − x³/6 を証明し、等号成立条件を x の値で求めてください。

差 H(x) = sin x − x + x³/6 を考えます。三角関数と多項式の差なので、指定された閉区間で連続、内部で必要な回数だけ微分可能です。0を基準点として順に計算します。

H(0) = 0
H′(x) = cos x - 1 + x²/2
H′(0) = 0
H″(x) = -sin x + x
H″(0) = 0
H‴(x) = 1 - cos x

0 < x ≤ π/2 では cos x < 1 なので H‴(x) > 0 です。したがって H″ は区間で厳密に増加し、H″(0) = 0 から x > 0 では H″(x) > 0 です。同様に H′ は厳密に増加し、H′(0) = 0 から x > 0 で H′(x) > 0 です。さらに H は厳密に増加するので H(x) ≥ H(0) = 0 となり、x > 0 では不等号は厳密です。

よって求める不等式が成立し、等号は x = 0 のときに限ります。元の式でも両辺は0です。微分を重ねる目的は式を長くすることではなく、符号がわかる段階まで進み、基準点の値を使って逆順に戻ることです。H‴ が正というだけで H が正と直結させず、H″ と H′ の基準値を確認します。

誤答を直す：増加と正の違い

「差 P が増加するから P は正」と結論する解答を考えます。図3のように P(x) = x − 1 は実数全体で増加しますが、x < 1 では負です。増加は2点の値の順序を表し、値そのものが0のどちら側にあるかは示しません。

修正するには P(1) = 0 を記し、x > 1 なら P(x) > P(1) = 0、x < 1 なら P(x) < P(1) = 0 と比較します。図3の直線が横軸を横切る位置は x = 1 です。全区間で非負を示したいなら、増加だけでなく、対象区間が基準点の右側にあるか、別の最小点があるかを調べます。

もう1つの誤りは、差が0になる点を発見した段階で等号条件を確定することです。別の点でも差が0になる可能性が残っています。差の厳密な増減を示し、基準点以外の値が0より大きいことまで言えば、等号の候補を漏れなく判定できます。導関数が一部で0になっても直ちに失敗ではなく、区間ごとの厳密な増減を改めて調べます。

証明が進まないときの点検

導関数の符号が途中で変わる場合は、符号が変わる候補を小さい順に並べ、各区間の増減を調べます。符号が変わること自体は失敗ではありません。基本例題では負から正への変化によって、かえって基準点が最小だとわかります。候補の前後の値と基準点の値を比較できるよう、増減表には差の値も記入します。

基準点で差が0にならない場合も、すぐにその方法を捨てる必要はありません。差の最小値を計算して正と示せれば、等号のない不等式が得られます。ただし、最小値が存在せず端に近づく場合は、端が含まれるかを調べ、極限と実際の値を分けます。図から推測した候補は、代入と増減の根拠で裏づけます。

練習問題

各問で不等式を証明し、等号が成立する x の値を求めてください。log は自然対数、角は弧度法です。

すべての実数 x について e³ˣ ≥ 1 + 3x。
x > 0 について log x ≤ x/3 + log 3 − 1。
0 ≤ x ≤ π/2 について sin x ≤ x。
0 ≤ x ≤ π/2 について cos x ≥ 1 − x²/2。
x > -1 について log(1 + x) ≤ x。

練習問題の答えと道筋

1

差を A(x) = e³ˣ − 1 − 3x とします。実数全体で連続、微分可能です。

A(0) = 0
A′(x) = 3(e³ˣ - 1)

A′ は x < 0 で負、x > 0 で正です。A は0で最小となり非負です。厳密な増減から等号は x = 0 のときに限り、元の両辺は1です。

2

B(x) = x/3 + log 3 − 1 − log x と置きます。x > 0 で連続、微分可能です。

B(3) = 0
B′(x) = 1/3 - 1/x
       = (x - 3)/(3x)

分母は正ですから、B は3の左で減少、右で増加します。B(x) ≥ 0 であり、等号は x = 3 のときに限ります。元の両辺は log 3 です。

3

C(x) = x − sin x とします。閉区間で連続、内部で微分可能です。

C(0) = 0
C′(x) = 1 - cos x

0 < x ≤ π/2 で C′(x) > 0 です。C は区間で厳密に増加するので C(x) ≥ 0、等号は x = 0 に限ります。元の式の両辺は0です。

4

D(x) = cos x − 1 + x²/2 とします。必要な微分は区間内で可能です。

D(0) = 0
D′(x) = x - sin x
D″(x) = 1 - cos x
D′(0) = 0

0 < x ≤ π/2 で D″(x) > 0 なので D′(x) > D′(0) = 0 です。よって D(x) ≥ D(0) = 0 で、等号は x = 0 に限ります。元の式の両辺は1です。

5

E(x) = x − log(1 + x) とします。真数条件は x > -1 で、この範囲で連続、微分可能です。

E(0) = 0
E′(x) = 1 - 1/(1 + x)
       = x/(1 + x)

分母は正なので、E′ は -1 < x < 0 で負、x > 0 で正です。したがって E(x) ≥ 0 で、等号は x = 0 に限ります。元の両辺は0で、真数も1となり条件を満たします。

要点

両辺の差を置き、目標の符号と共通の定義域を決めます。
差が0となる基準点と、導関数の符号を照合します。
増減から差の符号を示し、厳密な部分で等号を判定します。
導関数の符号が不明なら、その増減と基準値を調べて戻ります。

つまずきの診断

途中で止まったら、まず差の定義の横に「非負」か「非正」を書き、元の不等号と一致するか確かめます。次に、基準点が定義域に入るか、その点で差がいくつかを代入します。符号表が作れなければ分母や三角関数の符号を区間ごとに問い直します。個別指導では、導関数の正負から差の増減へ進む行と、増減から0との大小へ進む行を分けて説明してもらうと、飛躍した箇所が見えます。等号を元の式に戻すところまで、証明の筋道を確認できます。