高校数学III 増減表の区切り方—導関数の零点と定義域の切れ目を区別して並べる｜武蔵野個別指導塾

分母の零点と導関数の零点を区別し、対数を含む関数の符号から増減表を読む。

理系高3の演習で、分母が0になる点を極値の候補に入れてしまう場面があります。微分後の式の分母を見て表に数字を書き込み、そのまま関数値を代入しようとして手が止まるのです。増減表に並ぶ数字には、関数が存在する点と、そもそも存在しない境界が混在します。まず元の式が意味を持つ範囲を決め、次に導関数の符号を調べれば、それぞれの役割が見えてきます。

学習指導要領の数学IIIでは、導関数を用いて関数の増減や極大・極小を調べます。ここでは分数と対数を含む式に絞り、定義域が切れる箇所をまたいで増減をつながない方法を扱います。

どこで表を区切るか

出方の1つは、分母を持つ関数について、定義域と増加・減少する区間を求める問題です。分母を0にする数は、導関数の符号が変わるかを調べるための境界にはなりますが、元の関数の値を持ちません。導関数の分子が0になる数とは、表の上で意味を分けます。

もう1つは、対数の真数条件によって片側だけが定義域になる問題です。形式的に導関数の分子を解くと負の解が出る場合でも、それを表の中の停留点にはできません。真数が正という条件に戻して候補を選びます。

さらに、約分で見えなくなる穴を含む問題もあります。式を簡単にする前に定義域を記録すれば、微分の計算を簡単にしても、穴を埋めたことにはなりません。表の区切りは計算の終点ではなく、元の関数へ戻るための目印です。

増減を読むための印

関数fがある区間で連続で、その内部で微分可能とします。その内部で常にf′(x) > 0ならfはその区間で増加し、常にf′(x) < 0なら減少します。これは平均値の定理から得られる性質です。導関数が各区間で連続である必要はありませんが、ここで扱う式は各定義域の内部で微分可能です。

f′(a) = 0となる定義域の内点aは、符号を調べるための候補です。左右で正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小です。値はaそのものではなくf(a)です。一方、符号が変わらなければ、導関数が0でも極値とは限りません。定義域外の数にはf(a)が存在しないため、極値点と呼べません。

図1のように、導関数の零点には0を、元の式の除外点には区切りを記します。区間の中で符号が一定であることは、因数の符号から根拠を示します。試しに1点を代入する方法も使えますが、符号が途中で変わらないことを先に確かめてから使います。

図1では左側の零点で増加から減少へ変わります。右側の切れ目では関数値を記していません。切れ目の両側が増加でも、離れた2つの区間をまとめて増加と判定する根拠にはなりません。増加とは、同じ対象の区間内で任意の2点を選んだとき、左の点の値が右の点の値より小さいという性質だからです。

符号表を丁寧に一つずつ作るときは、境界を並べる前に、それぞれの候補が何を意味するか欄外に書いておくと整理しやすくなります。たとえば分母の平方は、定義域内では正です。平方だから常に正とだけ書くと、底が0になる点も含むように見えるので、除外した後に正と説明します。零点の左右では、分子の各因数がそれぞれ正か負かを調べます。因数の符号が同時に変わる場合には、積の符号が変わらないこともあります。

関数が定義される点で導関数が存在しない場合も、符号を調べる区間の境界として扱う必要があります。その点が極値かどうかは、値と左右の増減を別に調べます。今回の例題は定義域の内部で微分可能な式を選んでいます。この確認を先に置くことで、表に記す境界が零点と除外点に限られることが明確になります。

また、極大値と最大値は別の言葉です。極大はその点の近くとの比較を表し、離れた別の区間まで含めた最大を意味しません。切れ目があるときは特に、1つの区間の矢印から全体の最大を決めないようにします。表の矢印には、対応する区間を書き添えると読み違えを防げます。

基本例題：分母の零点を先に除く

関数 f(x) = x + 4/(x − 1) の増減区間と極値を求めてください。端点は正確な整数で示します。

まず x − 1 ≠ 0 なので、定義域は x < 1 または x > 1 です。各区間でfは連続かつ微分可能です。導関数を計算し、符号を調べやすい形にします。

f′(x) = 1 - 4/(x - 1)²
       = {(x - 1)² - 4}/(x - 1)²
       = (x + 1)(x - 3)/(x - 1)²

分母は定義域内で正です。分子の零点は -1 と 3 で、どちらも定義域内にあります。表には -1、除外点1、3を順に並べます。各区間における2つの因数の符号を掛けると、順に正、負、負、正です。図2のように、1では表を切って関数値を置きません。

図2から、fは x < -1 と x > 3 で増加し、-1 < x < 1 と 1 < x < 3 で減少します。零点を含めて閉じた側を加える表現もできますが、ここでは導関数の符号が一定の開区間を示しました。x = -1で正から負へ変わり、x = 3で負から正へ変わります。

f(-1) = -1 + 4/(-2) = -3
f(3) = 3 + 4/2 = 5

したがってx = -1で極大値 -3、x = 3で極小値 5です。元の式に戻しても、どちらの分母も0ではありません。x = 1では代入ができないため、左右の符号が負であっても、そこに極値や関数値を置くことはできません。

標準例題：真数条件を先に使う

関数 g(x) = x − 2 log x の増減区間と極値を求めてください。logは自然対数とし、値はlogを含む正確な式で答えます。

真数条件から定義域は x > 0 です。この区間でgは連続かつ微分可能です。微分して一つの分数にまとめます。

g′(x) = 1 - 2/x
       = (x - 2)/x

分母xは定義域で正です。したがって符号は分子のx − 2によって決まります。0 < x < 2で負、x > 2で正です。x = 0は真数が0であり定義域に含まれません。導関数の分母が0になる数として記録しても、g(0)を計算することはできません。

g(2) = 2 - 2 log 2

よってgは0 < x < 2で減少し、x > 2で増加します。x = 2で負から正に変わるので、極小値は 2 − 2 log 2です。候補2を元の真数に戻すと正です。分母の正負を判断する前に定義域を決めると、負のxを含む余分な場合分けを防げます。

発展例題：約分後にも穴を残す

関数 h(x) = (x² − 4)/(x − 2) + 6/x の増減区間と極値を求めてください。極値は根号を含む正確な式で答えます。

元の分母から x ≠ 0、x ≠ 2 です。分子を因数分解し、定義域を保ったまま計算します。

h(x) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) + 6/x
     = x + 2 + 6/x
h′(x) = 1 - 6/x²
      = (x² - 6)/x²

各定義域の区間でhは連続かつ微分可能です。導関数の零点は x = -√6、√6 です。両方とも0と2に等しくないので採用します。正の平方根について 4 < 6 ですから、2 < √6です。表の境界は -√6、0、2、√6 の順です。

x²は定義域で正です。x² − 6は |x| > √6 で正、|x| < √6 で負です。従って増加区間は x < -√6 と x > √6、減少区間は -√6 < x < 0、0 < x < 2、2 < x < √6 です。2の両側で符号が負でも、穴を越えて1区間にしてはいけません。

零点での値は、6/√6 = √6 を使って求めます。

h(-√6) = -√6 + 2 - √6 = 2 - 2√6
h(√6) = √6 + 2 + √6 = 2 + 2√6

x = -√6で極大値 2 − 2√6、x = √6で極小値 2 + 2√6です。元の式に戻すと、両候補は0でも2でもないので代入できます。約分した式に2を代入できても、それは元の関数hの値ではありません。

誤答をほどく：区切りを消した場合

「h(x) = x + 2 + 6/x だから、0 < x < √6で減少する」と書くと、除外点2が区間の中に入ります。式の見た目が簡単になった時点で、元の分母の条件を消してしまった誤答です。図3のように、2の位置には穴を示し、減少の矢印を左右で分けます。

図3では2の左側と右側の各区間で減少しています。正しい記述は 0 < x < 2 と 2 < x < √6 です。両区間に同じ符号を書くことと、1つの区間にまとめることは別の操作です。表を書き直す際は、元の定義域、導関数の零点、除外点の順に照合し、各境界に関数値を記せるかを確認します。

別の失敗は、分子と分母の両方の符号を見ずに分子だけで判断することです。分母が常に正と示せるときはそれでよいのですが、分母に符号が変わる因子が残る場合は、それも表に加えます。また、分子と分母に同じ因子があっても、元の式で除外された点は復活しません。

練習問題

各問で増加・減少する開区間と極値を求めてください。極値は整数、分数または自然対数を含む正確な式で示します。定義域外の点は極値に含めません。

1. p(x) = x + 9/(x + 1)
2. q(x) = x − 3 log x
3. r(x) = -x + 4/(x − 2)
4. s(x) = (x² − 9)/(x − 3) + 4/x
5. t(x) = log x − x/4

練習問題の答えと道筋

1. 定義域は x ≠ -1 です。各区間で微分可能で、p′(x) = 1 − 9/(x + 1)² = (x − 2)(x + 4)/(x + 1)²です。境界は -4、-1、2の順で、符号は正、負、負、正です。増加は x < -4、x > 2、減少は -4 < x < -1、-1 < x < 2です。p(-4) = -7、p(2) = 5より、それぞれ極大値 -7、極小値 5です。元の分母に -4と2を戻すと -3と3で、どちらも0ではありません。

2. 定義域は x > 0 で、その内部で微分可能です。q′(x) = 1 − 3/x = (x − 3)/x です。分母が正なので、0 < x < 3で負、x > 3で正です。前者で減少、後者で増加し、q(3) = 3 − 3 log 3が極小値です。真数3は正なので、元の式で値が定まります。0は境界であって極大点ではありません。

3. 定義域は x ≠ 2 です。各区間で微分可能で、r′(x) = -1 − 4/(x − 2)² < 0 です。x < 2とx > 2のそれぞれで減少し、増加区間も極値もありません。導関数が0になる実数はなく、2でも関数は定義されません。例えばr(1) = -5、r(3) = 1なので、2を越えた2点の値は減少の関係にはありません。区間を分ける必要が見えます。

4. 定義域は x ≠ 0、x ≠ 3 です。この範囲で s(x) = x + 3 + 4/x、s′(x) = (x² − 4)/x² です。境界は -2、0、2、3の順です。増加は x < -2、2 < x < 3、x > 3、減少は -2 < x < 0、0 < x < 2です。s(-2) = -1が極大値、s(2) = 7が極小値です。元の分母に代入すると -2、-5および2、-1で、いずれも0ではありません。3をまたいで増加区間をつなぎません。

5. 定義域は x > 0 で、その内部で微分可能です。t′(x) = 1/x − 1/4 = (4 − x)/(4x) です。分母は正なので、0 < x < 4で正、x > 4で負です。前者で増加、後者で減少し、t(4) = log 4 − 1が極大値です。真数4は正であり、元の式に戻せます。分子の符号の向きが問2とは逆であることにも注意します。

要点

定義域を元の式で決めてから微分します。 零点と除外点を区別して小さい順に並べます。 各区間で因数の符号を調べ、増減を決めます。 符号が変わる定義域内の点で元の関数値を求めます。 穴の両側はそれぞれ別の区間として記します。

つまずきの位置を見つける

表の端に数字を書けても、その場所に値を入れられるか迷うときは、元の分母と対数の真数を指で追ってみてください。計算後の式ではなく、問題文の式に戻すことが手掛かりです。符号が合わないときは、各因数の正負を1行ずつ書き、積や商の符号を作り直します。個別に式を確認する際は「この点は関数の定義域に入るか」「この矢印はどの区間を表すか」と問い、答えと表の対応を確かめます。区切りの意味が明確になれば、増減表は計算を並べる表から、関数の振る舞いを説明する表に変わります。