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高校数学III 正弦関数の導関数—加法定理と基本極限から公式を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 微分法を掘り下げる

正弦の差商を加法定理で二項に分け、弧度法の基本極限と、度数法の変数に必要なπ/180の係数を確かめます。

よくあるのは、演習ノートで度数法の角を差商へ入れ、分母の増分をそのまま弧度法の増分として扱う場面です。sin の微分が cos になるという記憶だけでは、変数が何を表すかを見落とします。角を表す数とその単位をそろえ、加法定理で分けた2つの項をそれぞれ極限に送ると、公式の意味と使える条件が見えてきます。

要点（結論から）

弧度法では lim[h→0] sin h/h = 1 です。
加法定理で差商を分け、(cos h − 1)/h の極限が0であることも使います。
角の増分と入力の増分の比を掛けます。

どこを問われるか

1つ目は、f(x) = sin x の導関数を定義から導く問いです。x と増分 h は弧度法で表し、h ≠ 0 の差商を加法定理で2項に分けます。分けた後の各極限が存在することを確認してから、和の極限を取ります。

2つ目は、正弦の角が x の一次式である場合です。角の増分は x の増分と同じとは限りません。例えば係数が負なら、角も反対向きに変わるため、その符号も微分係数に残ります。

3つ目は、角の数を度数法で測る場合です。1度は π/180 ラジアンなので、変数を1増やしたときの角の変化は1ラジアンではありません。ここでは正弦の差商に必要な極限を使い、三角極限一般や微分の応用には広げません。

差商を2つの極限に分ける

関数 f が点 x で微分可能であるとは、h ≠ 0 として作った差商 (f(x + h) − f(x))/h が、h → 0 のとき有限の極限を持つことです。その極限を f′(x) と書きます。正弦はすべての実数で定義されるので、x と x + h はどちらも定義域にあります。

以後、特に断らなければ角は弧度法です。半径1の円では、中心角 h に対応する符号付きの弧の長さが h です。基本極限として、弧度法のとき次を用います。

lim[h→0] sin h / h = 1

この値が1となることには弧度法が必要です。例えば 0 < h < π/2 では単位円の面積の比較から sin h < h < tan h となり、cos h < sin h / h < 1 です。h → 0 で cos h → 1 なので、はさみうちで右側からの極限は1です。負の h では sin h / h は偶関数なので左側も同じです。ここで使った cos h → 1 は、単位円で角が0に近づくと円周上の点が (1, 0) に近づくことから確認できます。

もう一方の極限は、cos h − 1 = -2 sin²(h/2) から求めます。h ≠ 0 では h/2 ≠ 0 ですから、次の変形ができます。

(cos h - 1)/h = -sin(h/2)・{sin(h/2)/(h/2)}
lim[h→0] (cos h - 1)/h = -0・1
                               = 0

sin(h/2) → 0 は単位円での連続性によります。分母が0の式に h = 0 を代入したのではなく、0でない h で等しい式の極限を取りました。

加法定理 sin(x + h) = sin x cos h + cos x sin h を使うと、差商は次のようになります。

{sin(x + h) - sin x}/h
= {sin x cos h + cos x sin h - sin x}/h
= sin x・(cos h - 1)/h + cos x・sin h/h

x は固定して h を動かすので、sin x と cos x は h に関して定数です。両方の極限が存在するため、各項に極限を適用できます。

f′(x) = sin x・0 + cos x・1
      = cos x

任意の実数 x についてこの差商の極限が存在し、正弦関数は微分可能です。図1のように、加法定理で分けた項のうち、第1項は0へ、第2項は cos x へ向かいます。図1は x を固定して h を小さくする対応を示しています。

この導出は x が特別な角であることを必要としません。公式 (sin x)′ = cos x は、角の数 x が弧度法で測られた実数という約束のもとで成り立ちます。h の単位を変えても同じ式が自動的に得られるわけではありません。

基本例題：増分を弧度法で追う

問題　f(x) = sin(3x) とします。x は実数で、角は弧度法です。導関数を求め、x = π/6 における微分係数を正確な値で答えてください。

解き方　正弦も一次式もすべての実数で定義されます。角の増分 3h は h → 0 で0に近づき、h ≠ 0 なら 3h ≠ 0 です。加法定理から差商を作ります。

{f(x + h) - f(x)}/h
= {sin(3x + 3h) - sin(3x)}/h
= sin(3x)・{cos(3h) - 1}/h + cos(3x)・sin(3h)/h
= 3 sin(3x)・{cos(3h) - 1}/(3h) + 3 cos(3x)・sin(3h)/(3h)

u = 3h とおくと、h → 0 で u → 0 です。前に求めた2つの極限を u に適用して、次を得ます。

f′(x) = 3 sin(3x)・0 + 3 cos(3x)・1
      = 3 cos(3x)
f′(π/6) = 3 cos(π/2)
         = 0

図2のように、入力の増分 h に対して角の増分は 3h です。図2の矢印の係数は差商の分母を 3h に合わせたときに外へ出る係数と一致します。元の角に π/6 を戻すと 3・π/6 = π/2 であり、そこで cos が0となることも確認できます。

この計算は合成関数の公式からも読めます。内側の 3x の導関数は3、外側の正弦の導関数は余弦です。内側を戻して 3 cos(3x) となり、角の増分を追った結果と一致します。3を掛ける前に x = π/6 を入れて cos(π/6) とするのは、角と入力を混同した計算です。

標準例題：負の係数と差の向き

問題　g(x) = sin(π/3 − 2x) とします。角は弧度法です。導関数と g′(0) を求め、値は根号を用いて正確に答えてください。

解き方　角 π/3 − 2x の増分は -2h です。すべての実数 x で関数は定義され、h ≠ 0 なら -2h ≠ 0 です。A = π/3 − 2x とおいて計算します。

{g(x + h) - g(x)}/h
= {sin(A - 2h) - sin A}/h
= sin A・{cos(-2h) - 1}/h + cos A・sin(-2h)/h
= -2 sin A・{cos(-2h) - 1}/(-2h)
  - 2 cos A・sin(-2h)/(-2h)

u = -2h は h → 0 のとき0に近づきます。u が正側と負側のどちらから近づいても基本極限は同じなので、次の結果です。

g′(x) = -2 sin A・0 - 2 cos A・1
      = -2 cos(π/3 - 2x)
g′(0) = -2 cos(π/3)
      = -1

元の角に x = 0 を入れると π/3 です。cos(π/3) = 1/2 を戻すと確かに -1 になります。負号は余弦の公式から付いたのではなく、角が入力と逆向きに2倍の速さで変わることから生じます。

係数を正の2と誤ると、分母を -2h に合わせたときの符号が欠けます。また sin(A − 2h) の差を sin A − sin(A − 2h) に反転すれば、差商全体の符号も反転します。分子と分母の増分の向きをそろえることが必要です。

発展例題：度を変数にするとき

問題　実数 t に対し、p(t) を「t 度の角の正弦」とします。p′(t) と p′(60) を求め、π と根号を用いて正確に答えてください。

解き方　度数法の t 度は πt/180 ラジアンです。したがって、弧度法で表す正弦を用いれば p(t) = sin(πt/180) です。t と t + h はともに実数で、h ≠ 0 のとき角の増分 πh/180 も0ではありません。

{p(t + h) - p(t)}/h
= {sin(πt/180 + πh/180) - sin(πt/180)}/h
= sin(πt/180)・{cos(πh/180) - 1}/h
  + cos(πt/180)・sin(πh/180)/h
= (π/180) sin(πt/180)・{cos(πh/180) - 1}/(πh/180)
  + (π/180) cos(πt/180)・sin(πh/180)/(πh/180)

u = πh/180 とおくと u → 0 です。2項の極限をそれぞれ取り、t = 60 を代入します。

p′(t) = (π/180) cos(πt/180)
p′(60) = (π/180) cos(π/3)
       = π/360

元の条件へ戻すと、60度は π/3 ラジアンです。p(60) = sin(π/3) = √3/2 であり、導関数に代入した角と一致しています。p′(60) は度を1単位として測った変化率で、ラジアンを1単位とする sin x の微分係数 1/2 とは単位が異なります。

変数に度を使うこと自体は可能ですが、sin t を弧度法の関数と定めた式に度の数をそのまま渡すことはできません。角の単位が示されない場合、上の2種類の関数のどちらを指すかを先に確かめます。

誤答を差商へ戻す

「p(t) は t 度の正弦だから p′(t) = cos(πt/180)」という答えは、角の値は変換していますが、角の増分を変換していません。図3のように、t が h 変わると角は πh/180 ラジアン変わります。図3の下段ではこの比を掛けています。

誤答では、分子の sin の角の差を πh/180 としながら、分母 h との比を1と見ています。正しくは (πh/180)/h = π/180 です。h ≠ 0 の間にこの比を作り、その後に極限を取ります。t = 0 で比べれば、誤答は1、正しい値は π/180 となり、違いが隠れません。

別の失敗は、基本極限に h = 0 を直接代入して 0/0 を1とすることです。0/0 は定義されていません。h ≠ 0 の範囲で式を変形し、その値が0に近づく際の極限を取るという順序に直します。角の増分が常に0の定数関数では増分で割れないので、差商が常に0であることから微分係数を求めます。

練習問題

角について度と書いた場合以外は弧度法です。各値は π や根号を用い、近似せずに答えてください。

f(x) = sin(5x) の導関数と f′(π/10) を求めてください。
g(x) = sin(π/4 + 2x) の導関数と g′(0) を求めてください。
q(x) = sin(π/6 − 4x) の導関数と q′(0) を求めてください。
r(t) を t 度の角の正弦とします。r′(t) と r′(90) を求めてください。
s(x) = sin(ax + b) とします。a、b は実定数です。a = 0 と a ≠ 0 に分けて導関数を求め、両方をまとめた式を示してください。

練習の解答と確認

1　角の増分は 5h です。5h ≠ 0 で基本極限を使い、角の変化の係数を掛けます。

f′(x) = 5 cos(5x)
f′(π/10) = 5 cos(π/2)
          = 0

元の角は 5・π/10 = π/2 です。余弦が0となる角に戻っているので、値も一致します。

2　角 π/4 + 2x の導関数は2です。正弦の導関数と合わせます。

g′(x) = 2 cos(π/4 + 2x)
g′(0) = 2 cos(π/4)
      = √2

元の角に0を入れると π/4 です。cos(π/4) = √2/2 を2倍すると答えになります。

3　角の増分は -4h です。分母を -4h に合わせた係数 -4 を残します。

q′(x) = -4 cos(π/6 - 4x)
q′(0) = -4 cos(π/6)
      = -2√3

元の角は x = 0 で π/6、cos(π/6) = √3/2 です。負の係数を含めて代入した値が一致します。

4　t 度は πt/180 ラジアンです。実数 t 全体で次が成り立ちます。

r(t) = sin(πt/180)
r′(t) = (π/180) cos(πt/180)
r′(90) = (π/180) cos(π/2)
       = 0

90度を弧度法に戻すと π/2 です。元の関数値は sin(π/2) = 1 で、微分係数に使った角も同じです。

5　a = 0 のとき s(x) = sin b は定数です。差商の分子が0なので s′(x) = 0 です。この場合 ah で割る変形はできません。

一方、a ≠ 0 なら h ≠ 0 で ah ≠ 0 です。角の増分を u = ah として先の基本極限を適用できます。

s′(x) = a sin(ax + b)・0 + a cos(ax + b)・1
      = a cos(ax + b)

この式は a = 0 を代入すると0になり、定数の場合にも一致します。元の角 ax + b は、入力を x + h に変えると ax + b + ah となるので、増分の係数 a も確かに元の式から得られます。

要点

弧度法では lim[h→0] sin h/h = 1 です。
加法定理で差商を分け、(cos h − 1)/h の極限が0であることも使います。
角の増分と入力の増分の比を掛けます。
度数法の変数では π/180 が掛かり、角の増分が0なら定数として扱います。

途中式から見えるつまずき

角の値は合っているのに係数が違うときは、入力を h だけ動かし、正弦の中がいくつ動くかを書き出してください。値と増分の両方を弧度法に換算したかも確認します。個別指導で式を見直すときは、元の関数、差商、h ≠ 0 の条件を並べると、符号や係数が消えた行を特定できます。角の単位と増分の対応が、正弦の微分係数を決めます。