高校数学III 積の微分公式—差商を二つに分けて公式の理由をたどる｜武蔵野個別指導塾

差商に同じ項を加減し、連続性を使う理由と誤答の直し方から見直す積の微分公式です。

よくあるのは、演習ノートで二つの導関数どうしを掛け、そのまま積の導関数にしてしまう場面です。片方ずつの変化を調べたのに、元の関数値が答えから消えていないでしょうか。

積の変化には、二つの因子のそれぞれが変わる影響が含まれます。その二つを差商から取り出し、公式を使える条件と、使えないときに戻る場所を確認します。ここで扱うのは二つの関数の積の微分であり、商や合成関数の公式の導出には立ち入りません。

どの形で問われるか

まず、二つの多項式の積を微分し、展開してからの計算と照らす問題があります。積のまま微分すると、どちらの因子を微分した項なのかを見失わずに整理できます。展開した答えが一致すれば、符号や係数を点検する手がかりにもなります。

次に、ある点での関数値と微分係数だけが与えられ、積の微分係数を求める問題があります。関数の式が不明でも、各因子がその点で微分可能なら公式を使えます。ただし、必要なのは導関数の値に加えて、微分していない側の関数値です。

さらに、因子の一方が微分可能でない点を含む問題があります。そこで公式を機械的に適用すると、定義されない微分係数を式に入れてしまいます。その点では積そのものの差商を調べ、積の微分可能性を判定します。

差商から二つの変化を取り出す

点 a の近くで定義された関数 f、g が、どちらも a で微分可能だとします。つまり、次の二つの極限が有限に存在します。h は 0 でなく、a + h は両方の定義域に入るものとします。

f′(a) = lim[h→0] (f(a + h) - f(a))/h
g′(a) = lim[h→0] (g(a + h) - g(a))/h

積 F(x) = f(x)g(x) の微分係数は、その差商の極限です。分子には二つの積の差があるので、f(a)g(a + h) を加えて同じものを引きます。図1は、加減した項を境に差を二つへ分ける見取り図です。

図1の上段から下段へ進むと、左側は f の差、右側は g の差を含みます。実際に展開すれば中間項が打ち消され、出発点の分子に戻ります。

F′(a) = lim[h→0] (f(a + h)g(a + h) - f(a)g(a))/h
= lim[h→0] {f(a + h)g(a + h) - f(a)g(a + h)
  + f(a)g(a + h) - f(a)g(a)}/h
= lim[h→0] [{(f(a + h) - f(a))/h}g(a + h)
  + f(a){(g(a + h) - g(a))/h}]

ここで、最初の差商は f′(a)、二つ目は g′(a) に近づきます。残る g(a + h) を g(a) に近づけるために、g の a での連続性が必要です。これは仮定から得られます。実際、h ≠ 0 のとき次の等式が成り立ちます。

g(a + h) - g(a) = h {(g(a + h) - g(a))/h}

右辺は、0 に近づく h と、有限の値 g′(a) に近づく差商の積です。したがって左辺は 0 に近づき、g(a + h) は g(a) に近づきます。これが、微分可能なら連続であることをこの場面で使う理由です。

各項の極限を取ると、積の微分公式が得られます。

F′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a)

点 a が区間内の任意の点であり、f と g がその区間の各点で微分可能なら、各点に同じ議論を適用できます。したがって、区間内で次の導関数の等式が成り立ちます。

(fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

先に書いた項では f を微分し、g は元のままです。後の項では f を元のままにして、g を微分します。二つの差商の極限が必要なので、両方が微分可能という仮定を確かめてから使います。

中間項に f(a + h)g(a) を選ぶ方法もあります。その場合は f(a + h) と g の差商が一組になり、f の連続性を使います。どちらの分け方も同じ積の差から出発し、同じ結論に着きます。中間項は増分を一方ずつ取り出せるように選ぶのが要点です。

この公式は十分条件を述べています。積がある点で微分可能だからといって、各因子がそこで微分可能だとは限りません。連続という条件だけでも因子の微分係数は保証されないので、公式に値を入れる前の確認が欠かせません。

基本例題：多項式の積を二通りで照らす

関数 y = (x² + 2)(3x − 1) の導関数を、展開した多項式の形で求めてください。

二つの因子はどちらも多項式なので、すべての実数 x で微分可能です。f(x) = x² + 2、g(x) = 3x − 1 と置くと、それぞれの導関数は 2x と 3 です。図2では、先に微分する因子を左右に分けています。

図2の左の項と右の項を足し、同類項をまとめます。括弧を外すときは、後の項の定数 2 にも 3 が掛かることに注意します。

y′ = 2x(3x - 1) + (x² + 2)3
= 6x² - 2x + 3x² + 6
= 9x² - 2x + 6

元の積を先に展開し、別の道からも計算します。展開された元の式を微分して得た結果が、上の答えと一致します。

y = 3x³ - x² + 6x - 2
y′ = 9x² - 2x + 6

たとえば x = 1 に戻すと、元の二因子とその導関数の値は順に 3、2、2、3 です。公式から 2・2 + 3・3 = 13 となり、整理した導関数にも 1 を入れると 9 − 2 + 6 = 13 です。両項が元の因子の値を使っていることも確かめられます。

展開による照合は、元の式と求めた式の対応を確かめる方法です。ただし、積を展開できる形ばかりとは限りません。次のように一点の情報しかない場合にも、公式はそのまま使えます。

標準例題：一点の値から積の微分係数を出す

f と g は点 x = 2 で微分可能で、f(2) = -3、f′(2) = 4、g(2) = 5、g′(2) = -2 とします。F(x) = f(x)g(x) の x = 2 における微分係数を整数で求めてください。

条件によって両因子の微分可能性が保証されています。したがって、積の微分公式の各文字に、同じ入力 2 での値を代入します。

F′(2) = f′(2)g(2) + f(2)g′(2)
= 4・5 + (-3)・(-2)
= 20 + 6
= 26

答えは 26 です。元の条件に戻ると、f の変化率 4 に掛かるのは g(2) = 5、g の変化率 -2 に掛かるのは f(2) = -3 です。f′(2)g′(2) = -8 はこの二つの寄与を表していません。

式の形を作る前に、f、g の行と「値」「微分係数」の列を作ると、4 個の数の役割を区別できます。関数値の負号は、そのまま括弧に入れてから掛け算をすると扱いやすくなります。

発展例題：因子が微分できない点を分ける

関数 F(x) = x|x| について、すべての実数 x における導関数を場合分けして求めてください。特に x = 0 では、微分可能かどうかを定義から判定してください。

x ≠ 0 のとき、絶対値の中身は符号が一定です。x > 0 なら |x| = x、x < 0 なら |x| = -x なので、その区間で各因子は微分可能です。公式を使う前に、次のように区間ごとの式と導関数を置きます。

x > 0 のとき  |x| = x、(|x|)′ = 1
x < 0 のとき  |x| = -x、(|x|)′ = -1

積の公式により、正の範囲では次のようになります。

F′(x) = 1・|x| + x・1
= x + x
= 2x

負の範囲では、元の絶対値も -x に置き換えます。

F′(x) = 1・|x| + x・(-1)
= -x - x
= -2x

x = 0 では |x| 自体が微分可能ではありません。実際、その差商は h > 0 なら 1、h < 0 なら -1 なので、左右で一致しません。したがって、この点で二因子の積の公式をそのまま使うことはできません。

一方、積 F の値は F(0) = 0 です。積そのものについて h ≠ 0 の差商を作ると、符号を分けずに次のように整理できます。

(F(h) - F(0))/h = (h|h| - 0)/h
= |h|
lim[h→0] |h| = 0

この極限は左右からともに 0 なので、F′(0) = 0 です。答えは次の形です。

x > 0 のとき  F′(x) = 2x
x = 0 のとき  F′(x) = 0
x < 0 のとき  F′(x) = -2x

元の関数に戻すと、正側では F(x) = x²、負側では F(x) = -x² です。各区間でこれらを直接微分しても、それぞれ 2x、-2x が得られます。0 については区間内の公式から埋め合わせず、差商で得た値を使います。

この例は、公式の仮定が満たされないときでも、積そのものが微分可能な場合があると示しています。逆に、因子の一方が微分できないと知っただけで、積も微分できないと決めることはできません。判定対象を元の積に戻すことが分岐点です。

誤答をほどく：二つとも微分して掛けたら

y = (x + 1)(x² + 4) を y′ = 1・2x = 2x とする答えを考えます。両方の因子を同時に微分して掛けており、元の関数値が残っていません。図3の左右を比べると、正しい式には、微分した因子と元の因子の組が二つあります。

二つの因子は多項式なので、すべての実数 x で公式を使えます。図3の右の二項を足し、次のように整理します。

y′ = 1・(x² + 4) + (x + 1)・2x
= x² + 4 + 2x² + 2x
= 3x² + 2x + 4

元の積を展開すると x³ + x² + 4x + 4 であり、直接微分しても同じ式になります。特に x = 0 では、誤答の 2x は 0 ですが、正しい値は 4 です。元の積の x = 0 での差商も次のように 4 へ近づくため、この点で誤答を否定できます。

(y(h) - y(0))/h = (h³ + h² + 4h)/h
= h² + h + 4
lim[h→0] (h² + h + 4) = 4

二つの導関数の積が偶然一致する点があっても、それだけでは公式の正しさを判定できません。文字のまま、片側を微分したらもう片側を残す二項を作り、最後に必要な点を代入します。

練習：条件を見てから積を微分する

問題を先にまとめます。答えは導関数なら式の形、微分係数なら整数で記し、微分可能かを問う場合はその理由も書いてください。

1. y = (2x² − 3)(x + 4) の導関数を展開した多項式で求めてください。
2. y = (x³ − 2)(x² + 1) の導関数を、二つの項を持つ積の形で求めてください。
3. p と q は x = -1 で微分可能で、p(-1) = 2、p′(-1) = -5、q(-1) = -4、q′(-1) = 3 です。p(x)q(x) の x = -1 での微分係数を求めてください。
4. H(x) = (x − 2)|x − 2| の x = 2 における微分可能性を判定し、微分可能なら微分係数を求めてください。
5. u と v は点 a で微分可能で、u(a) = 0、u′(a) = 7、v(a) = -2、v′(a) = 9 です。u(x)v(x) の x = a における微分係数を求め、v′(a) の項が消える理由を述べてください。

練習の解答と照合

1. 係数をそれぞれに掛ける

両因子は多項式なので、実数全体で微分可能です。最初の因子の導関数は 4x、後の因子の導関数は 1 です。

y′ = 4x(x + 4) + (2x² - 3)・1
= 4x² + 16x + 2x² - 3
= 6x² + 16x - 3

元の式は 2x³ + 8x² − 3x − 12 です。これを直接微分すると同じ答えになり、16x と定数 -3 の両方を照合できます。

2. 積の形を保つ

こちらも二因子は実数全体で微分可能です。指定された形に合わせ、足し合わせた二項を展開せずに残します。

y′ = 3x²(x² + 1) + (x³ - 2)2x

元の積は x⁵ + x³ − 2x² − 2 です。これを直接微分すると 5x⁴ + 3x² − 4x となり、答えの二項を展開しても同じになります。積の形では、各項のうちどちらを微分したかをたどれます。

3. 負の値を区別する

p、q とも指定点で微分可能なので、値を公式に代入します。二つの負の数が同じ因子から来たわけではない点に注意します。

(pq)′(-1) = p′(-1)q(-1) + p(-1)q′(-1)
= (-5)(-4) + 2・3
= 20 + 6
= 26

答えは 26 です。元の条件の p′(-1) = -5 は q(-1) = -4 と、p(-1) = 2 は q′(-1) = 3 と組になっているので、代入の取り違えはありません。

4. 接続点では差商へ戻す

|x − 2| は x = 2 で微分可能でないため、そこで積の公式を直接使えません。H(2) = 0 を元の定義から確かめ、h ≠ 0 の差商を計算します。

H(2 + h) = h|h|
(H(2 + h) - H(2))/h = h|h|/h
= |h|
lim[h→0] |h| = 0

したがって H は x = 2 で微分可能で、微分係数は 0 です。元の式で x > 2 なら H(x) = (x − 2)²、x < 2 なら H(x) = -(x − 2)² となり、両側の差商も上の計算と一致します。

5. 値が 0 の因子の役割

両因子が a で微分可能という条件から公式を適用します。0 が掛かる位置を確認してから計算します。

(uv)′(a) = u′(a)v(a) + u(a)v′(a)
= 7・(-2) + 0・9
= -14 + 0
= -14

答えは -14 です。v の変化率 9 は存在しますが、対応する元の値 u(a) が 0 のため、その項は 0 です。u 自体の変化率 7 は消えず、v(a) = -2 と掛け合わされます。元の値が 0 であることと、その因子の微分係数が 0 であることは別の条件です。

押さえる要点

二因子が点 a で微分可能なら、積もそこで微分可能です。 積の差に中間項を加減し、二つの差商へ分けます。 残った因子の極限には、微分可能性から得られる連続性を使います。 公式は、一方の導関数と他方の元の値を掛けた二項の和です。 仮定が崩れる点では、積そのものの差商を調べます。

手が止まったときに見る場所

答えが導関数どうしの積になったら、元の因子が各項に一つずつ残っているかを見ます。値だけが与えられた問題では、同じ入力での関数値と微分係数を分けて書くと、代入の対応が見えます。

個別指導で式を確かめるなら、まず「どの点で両因子が微分可能か」を言葉にし、次に加減した中間項を指で追ってみてください。条件を満たさない点では、積の値と差商を直接書き直します。二つの変化を分ける一行が、積の微分公式の根拠です。