高校数学III 区分関数の微分可能性—連続条件と傾きの条件を分けて定数を決める｜武蔵野個別指導塾

左右の差商と点の値から定数を決め、導関数の連続性と区別して考えるのが、区分関数の接続です。

よくあるのは、演習ノートで区分関数の接続点について、左右の式に同じ値を代入し、関数値が一致したところで定数を決め終えたと思う場面です。値がつながっても、左右から近づくときの傾きが異なれば、そこで微分係数は存在しません。逆に、式の傾きが一致して見えても、接続点の値がずれていれば差商は収束しません。

ここでは接続点が定義域の内点である場合を扱います。左右の式と接続点そのものの値を区別し、連続性と差商の極限を順番に調べます。接続点以外の点での微分は必要な範囲で使いますが、増減や接線の総合問題には広げません。

要点（結論から）

• 等号の位置から、接続点そのものの関数値を読む。
• 左極限、右極限、実際の値を比べて連続条件を立てる。
• 実際の値を引いた左右の差商が同じ有限値に近づくか調べる。

どの条件を立てる問いか

1つ目は、左右の式に含まれる定数を、接続点で微分可能になるように決める問いです。関数値の条件と、左右の微分係数の条件は別の式です。2つの条件を連立し、得た値が元の関数で本当に両方を満たすところまで確かめます。

2つ目は、接続点の値だけが別に指定されている問いです。左右の式同士が近づく値が一致していても、それが接続点の値と異なれば連続ではありません。等号がどの行に付いているかを確認し、点そのものの値を先に取り出します。

3つ目は、接続点で微分可能かどうかを判定し、その後に導関数の接続点付近の様子を調べる問いです。接続点で微分係数が存在することと、導関数がその点で連続であることは別の条件です。差商の極限を先に調べ、その結果を導関数の左右極限と混同しないようにします。

接続点で見る値と差商

接続点を a、関数を f とし、a の十分近くで左右の両側に f が定義されているとします。f が a で連続とは、x を a に近づけたときの f(x) の極限が存在し、その値が f(a) に等しいことです。左右からの極限を別々に調べるなら、左極限、右極限、f(a) の3つが等しいことが条件です。

微分可能とは、h が 0 に近づくとき、h ≠ 0 の差商 (f(a + h) − f(a))/h が有限の極限をもつことです。その極限を f′(a) と書きます。h < 0 と h > 0 では適用する式が違うため、左右それぞれの差商の極限を求め、有限の同じ値になるかを見ます。差し引くのはどちら側でも実際の f(a) です。

図1のように、点の高さをそろえる条件と、そこを基準にした差商の条件を分けます。左の式を L、右の式を R、実際の値を c とすると、連続の条件は lim[x→a-] L(x) = c = lim[x→a+] R(x) です。片側の式が点 a にも定義される場合でも、記号上の値 L(a) や R(a) が実際の f(a) とは限らないことに注意します。

図1の2段目に進む際、L と R がそれぞれ a の近くまで延長でき、a で微分可能で、しかも L(a) = R(a) = c なら、左右差商の極限はそれぞれ L′(a)、R′(a) です。この条件の下では、L′(a) = R′(a) が微分可能の条件になります。ただし、点で定義されない式や、延長後に微分可能とは限らない式には、この簡略化をそのまま使えません。元の f(a) を使った差商へ戻します。

なぜ値を先に見るのでしょうか。微分可能なら差商が有限の値に近づくので、h ≠ 0 で次のように書けます。

f(a + h) - f(a) = h・(f(a + h) - f(a))/h

h は 0 に近づき、右端の差商は有限の値に近づくため、右辺は 0 に近づきます。したがって f(a + h) は f(a) に近づき、f は a で連続です。つまり連続でない時点で微分可能ではありません。しかし連続という条件だけから差商の左右一致は導けません。値をそろえた後にも、差商の判定が残ります。

基本例題: 右の一次式をつなぐ

次の関数が x = 1 で微分可能となる実数 a、b を、整数で求めてください。また、その点の微分係数を求めてください。

f(x) = x² + 2x + 3  （x < 1）
f(x) = ax + b         （x ≧ 1）

左側は多項式で、1 に近づけた値は 1 + 2 + 3 = 6 です。等号は右側にあるので、実際の f(1) は a + b です。右側の極限も a + b ですから、連続のために次の式が必要です。

a + b = 6

この条件の下で f(1) = 6 です。左の差商では h < 0、右では h > 0 を用います。図2は、それぞれが点 (1, 6) に集まる条件と、その点からの傾きを分けて示しています。

左側の差商は、分子を展開してから h ≠ 0 で約分します。

(f(1 + h) - f(1))/h
= ((1 + h)² + 2(1 + h) + 3 - 6)/h
= (4h + h²)/h
= 4 + h

よって h を負の側から 0 に近づけた極限は 4 です。一方、右側は a + b = 6 を使うと次のようになります。

(f(1 + h) - f(1))/h
= (a(1 + h) + b - (a + b))/h
= ah/h
= a

右の極限は a なので、微分可能の条件は a = 4 です。これを連続の式に戻して b = 2 を得ます。したがって答えは a = 4、b = 2、f′(1) = 4 です。

逆向きも確認します。a = 4、b = 2 のとき、実際の値 f(1) は 6 で、左側の極限も 6 です。左右の差商はそれぞれ 4 + h、4 となり、いずれも 4 に近づきます。値を式に戻して両条件を満たすので、求めた組は必要なだけでなく十分です。図2の左と右の傾きはこの計算の結果に対応します。

もし連続条件だけで止めると、例えば a = 1、b = 5 も a + b = 6 を満たします。しかしそのとき右の差商は 1、左の極限は 4 です。関数値が接続していても微分可能とは言えないことを、この組で確かめられます。

標準例題: 左側の係数を決める

次の関数が x = 2 で微分可能となる実数 a、b を、既約分数または整数で求めてください。

g(x) = ax² + b      （x ≦ 2）
g(x) = x² + 3x - 1  （x > 2）

点 2 は左側に含まれます。実際の値は g(2) = 4a + b、右極限は 4 + 6 − 1 = 9 です。左側の式は多項式なので左極限は g(2) と同じです。連続条件を立てます。

4a + b = 9

この条件が成立する場合、左側と右側の多項式はいずれも 2 で微分可能で、延長した値も実際の値 9 に一致します。したがって、その点の左右の差商の極限は各多項式の 2 における微分係数で求められます。念のため差商を展開すると、左側は次のとおりです。

(g(2 + h) - g(2))/h
= (a(2 + h)² + b - (4a + b))/h
= (4ah + ah²)/h
= 4a + ah

h < 0 からの極限は 4a です。右側は g(2) = 9 を使い、h > 0 で計算します。

(g(2 + h) - g(2))/h
= ((2 + h)² + 3(2 + h) - 1 - 9)/h
= (7h + h²)/h
= 7 + h

右からの極限は 7 です。2つの条件を順に解きます。

4a = 7
a = 7/4
4・(7/4) + b = 9
b = 2

答えは a = 7/4、b = 2 です。元の式に戻すと g(2) = 7 + 2 = 9 で、右側の極限も 9 です。左右の差商の極限はどちらも 7 なので、この組で実際に微分可能です。連続条件だけなら b = 9 − 4a と無数の組が残ります。傾きの条件を加えることで、その中から必要な組が定まります。

発展例題: 微分可能と導関数の連続を区別する

次の関数について、x = 0 で微分可能となる実数 a、c を整数で求めてください。その組について、導関数が x = 0 で連続かどうかも判定してください。三角関数の角は弧度法です。

p(x) = x² sin(1/x) + ax + 2  （x < 0）
p(x) = c                      （x = 0）
p(x) = 3x + 2                 （x > 0）

左側で x ≠ 0 なので 1/x は定義されています。|sin(1/x)| ≦ 1 から、x² sin(1/x) の絶対値は x² 以下です。x が負の側から 0 に近づくと、この項と ax は 0 に近づくため、左極限は 2 です。右極限も 2 なので、連続であるための条件は c = 2 です。

この条件を使い、実際の値 p(0) = 2 を差商に入れます。h < 0 のときは次のようになります。

(p(h) - p(0))/h
= (h² sin(1/h) + ah + 2 - 2)/h
= h sin(1/h) + a

|h sin(1/h)| ≦ |h| より、左からの差商の極限は a です。h > 0 では次のようになります。

(p(h) - p(0))/h
= (3h + 2 - 2)/h
= 3

左右が一致する条件は a = 3 です。答えの候補は a = 3、c = 2 です。この組を元の関数に戻すと、両側の値は 2 に近づき、差商は左からも右からも 3 に近づきます。したがって p′(0) = 3 であり、実際に微分可能です。

次に、接続点以外での導関数を調べます。x < 0 では積と合成関数の微分を使えます。x ≠ 0 なので 1/x の分母は 0 ではなく、各部分はその範囲で微分可能です。

p′(x) = 2x sin(1/x) + x² cos(1/x)・(-1/x²) + 3
       = 2x sin(1/x) - cos(1/x) + 3

x > 0 では p′(x) = 3 です。左側の導関数の極限があるかを調べるため、正の整数 n に対して x = -1/(2nπ) とすると、x は負の側から 0 に近づきます。この点では sin(1/x) = 0、cos(1/x) = 1 なので p′(x) = 2 です。別に x = -1/((2n + 1)π) とすると、同じく負の側から 0 に近づき、sin(1/x) = 0、cos(1/x) = -1 なので p′(x) = 4 です。

同じ点に近づく2つの列で導関数の値が異なるため、p′(x) の左極限は存在しません。p′(0) は 3 と定まっていても、導関数は 0 で連続ではありません。差商の極限が存在することと、近くの導関数の極限がその値に一致することは、問いとして区別する必要があります。

誤答を差商まで戻す

図3の例は、値が一致することと傾きが一致することを別々に試すものです。次の関数を x = 0 で調べます。

q(x) = x + 2   （x < 0）
q(x) = 3x + 2  （x ≧ 0）

誤答は「両式に 0 を代入すると 2 だから微分可能」です。実際に q(0) = 2、左右の極限も 2 なので連続であるところまでは正しいです。ただし、h < 0 での差商は (h + 2 − 2)/h = 1、h > 0 では (3h + 2 − 2)/h = 3 です。極限が一致せず、微分係数は存在しません。図3では高さはそろっても左右の傾きが異なります。

逆の誤りにも注意します。例えば左が x + 2、右が x + 3 で、0 を右側に含めるとします。両方の一次式の傾きは 1 ですが、実際の関数値は 3、左極限は 2 です。連続ではなく、左差商は (h − 1)/h となり有限の極限をもちません。両式の導関数を形式的に比べる前に、実際の点の値を確かめてください。

自分で解く5問

各問の定数は実数です。定数を求める問では整数または既約分数で答え、存在しない場合はその理由も述べてください。微分可能性を問う場合は、連続性と左右の差商を示してください。

1. x < 0 で f(x) = 2x + 5、x ≧ 0 で f(x) = x² + ax + 5 とします。x = 0 で微分可能となる a を求めてください。
2. x ≦ -1 で g(x) = x² + ax + 2、x > -1 で g(x) = 3x + b とします。x = -1 で微分可能となる a、b を求めてください。
3. x < 2 で r(x) = ax + 1、x = 2 で r(x) = 7、x > 2 で r(x) = x² + 3 とします。x = 2 で微分可能となる a が存在するか調べてください。
4. x < 0 で s(x) = -2x + 1、x ≧ 0 で s(x) = 2x + 1 とします。x = 0 で連続か、また微分可能かを判定してください。
5. x < 1 で t(x) = (x² − 1)/(x − 1)、x ≧ 1 で t(x) = ax + b とします。x = 1 で微分可能となる a、b を求めてください。

解答と途中の確認

1. 点 0 の値は右側から f(0) = 5 です。左極限は 5、右極限も 5 で、a の値によらず連続です。h < 0 の差商は (2h + 5 − 5)/h = 2、h > 0 では (h² + ah + 5 − 5)/h = h + a です。左右の極限が一致する条件は a = 2 です。元の右側に戻せば f(h) = h² + 2h + 5 で、値は 5 に近づき、差商も 2 に近づきます。左側も差商は 2 です。

2. 実際の g(-1) は 1 − a + 2 = 3 − a です。右極限は -3 + b なので、連続条件は次の式です。

3 - a = -3 + b
b = 6 - a

左側の差商は h < 0 で次のようになります。

(g(-1 + h) - g(-1))/h
= ((-1 + h)² + a(-1 + h) + 2 - (3 - a))/h
= ((a - 2)h + h²)/h
= a - 2 + h

連続条件の下で、右の差商は (3(-1 + h) + b − (-3 + b))/h = 3 です。よって a − 2 = 3 から a = 5、b = 1 です。代入すると点の値と右極限はいずれも -2 で、左右差商の極限は 3 です。

3. r(2) = 7、右極限は 2² + 3 = 7 です。左極限も 7 となるには 2a + 1 = 7、つまり a = 3 が必要です。このとき左差商の極限は 3 です。右差商は ((2 + h)² + 3 − 7)/h = 4 + h なので、右極限は 4 です。連続のために必要な a = 3 では微分可能になりません。ほかの a では連続でないため、条件を満たす a は存在しません。

4. s(0) = 1 で、左右の極限も 1 ですから連続です。左差商は (-2h + 1 − 1)/h = -2、右差商は (2h + 1 − 1)/h = 2 です。有限の極限はありますが互いに等しくないので、0 では微分可能ではありません。点の値が一致した事実と、左右の差商が一致するかという問いは分けて答えます。

5. 左側の範囲では x < 1 なので x − 1 ≠ 0 です。そこで x² − 1 = (x − 1)(x + 1) と因数分解し、左側の式を x + 1 と整理できます。ただし元の分数式は x = 1 では定義されません。実際の値は右側の t(1) = a + b です。

左極限は 2、右極限は a + b なので、連続条件は a + b = 2 です。この下で左差商は ((1 + h) + 1 − 2)/h = 1、右差商は (a(1 + h) + b − (a + b))/h = a です。したがって a = 1、b = 1 です。元の区分に戻すと t(1) = 2、左極限と右極限も 2 で、左右の差商の極限はいずれも 1 です。

要点を手元に残す

• 等号の位置から、接続点そのものの関数値を読む。
• 左極限、右極限、実際の値を比べて連続条件を立てる。
• 実際の値を引いた左右の差商が同じ有限値に近づくか調べる。
• 延長した各式の微分係数を使うときは、延長の微分可能性と値の一致を確認する。
• 微分可能性と導関数の連続性は、それぞれ別に判定する。

どこで止まったかを見分ける

式をつなぐ条件が1本しか出ないときは、まず点の値をどの行から読んだか、次に差商から何を引いたかを確認します。差商の左右が一致しないなら、連続条件を満たしていても接続点で微分できません。個別指導で解答を見直すときも、関数値の式と左右の差商を別々に書き、どちらの条件が欠けたのかをたどれます。接続点の値から出発すると、傾きの条件が必要な理由まで見通せます。