武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学III 対数関数の極限—真数条件と底を確かめて基本形へ直す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学III 極限を掘り下げる

対数の真数が正となる近傍を求め、基本極限への置換と底の変換で残る係数を確かめます。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで対数の式を変形し、真数が正となる近傍を調べないまま答えを書く場面です。分母が0に近づくとき、対数の中身も1に近づけば、値は0に近づきます。しかし、そこで0どうしを割って答えを決めることはできません。真数の条件を先に置き、変化する量をひとまとまりにすると、基本極限を適用できる理由が見えてきます。学習範囲として、数学IIIの極限には数列の極限、無限級数、関数の値の極限が含まれます。

どの量をひとまとまりにするか

対数の極限には、まず次の3つの形があります。いずれも、式が定義される範囲で指定された点に近づくことを確認してから計算します。

log(1+u)をuで割る形です。uが0へ向かうなら、基本極限を使えます。分母がuと異なるときは、uを作った分の係数を残します。
対数どうしの商です。分子と分母をそれぞれ基本形に直し、外に出した係数の比を取ります。分母の対数が0でないことも必要です。
自然対数以外の底を含む形です。底の変換公式を使うと自然対数で表せますが、底に由来する定数は消えません。

近づく点で元の式が未定義であっても、その周りの定義域から近づければ極限を調べられます。一方、式が実数として定義されない側の値を計算に混ぜることはできません。両側からの極限を考えるときは、まず左右に定義域があるかを見ます。

真数、底、近づく量を区別する

以下、logは底eの自然対数です。実数の対数logₐ Aは、底がa > 0かつa ≠ 1、真数がA > 0のときに定義されます。自然対数でも真数が正である必要は変わりません。例えばlog(1+4x)なら、1+4x > 0、つまりx > -1/4です。0の十分近くではこの条件を満たし、左右から近づけます。

図1のように、真数1+uが正であることと、変化量uが0へ向かうことを別々に確認します。u = 0ではlog(1+u)/uは定義されませんが、その点を除く近傍で値を調べれば十分です。

基本となるのは次の極限です。

lim[u→0] log(1+u)/u = 1

この式を、指数関数の基本極限から導きます。既知の事実として、lim[h→0] (eʰ-1)/h = 1を使います。u > -1の範囲でh = log(1+u)と置くと、1+u = eʰなのでu = eʰ-1です。対数関数は正の範囲で連続だから、u → 0のときh → 0です。またu ≠ 0ならh ≠ 0です。したがって次の変形が成立します。

log(1+u)/u = h/(eʰ-1)
             = 1/((eʰ-1)/h)

分母の極限は1で0ではないので、逆数の極限も1です。これで基本形の根拠が得られました。指数の極限を使う際にhが0へ向かうことを、対数の連続性によって先に確かめています。極限値を先に仮定してはいません。

置換後に注意したいのは、uそのものが分母にあるかどうかです。例えばu = 4xと置いたとき、xはu/4です。分母をuへ変えれば外に4が残ります。uが0に近いことだけでは、この倍率は決まりません。

基本例題：内側の倍率を残す

次の極限を整数で求めてください。

lim[x→0] log(1+4x)/x

真数の条件はx > -1/4であり、0の左右の十分近くで満たされます。分母の条件はx ≠ 0です。したがって、0を除いた近傍で式を変形できます。u = 4xと置くと、x → 0のときu → 0で、x ≠ 0ならu ≠ 0です。

log(1+4x)/x = 4・log(1+4x)/(4x)
              = 4・log(1+u)/u

基本極限を適用すると、求める値は次のとおりです。

lim[x→0] log(1+4x)/x = 4・1
                         = 4

図2のように、分母を4xにそろえる操作と、その代償として外に4を置く操作を一組にします。元の式へ戻しても、分母に4を掛け、全体に4を掛けているので値は変わりません。4xを新しい文字にしてから元のxへ戻すと、係数の紛失を防げます。

この答えは、真数が1に近づく速さと分母が0に近づく速さを比べたものです。log(1+4x)自体は0に近づきますが、そのことから商も0に近づくとはいえません。分子と分母の両方に着目して初めて4が得られます。

標準例題：対数どうしの商

次の極限を既約分数で求めてください。

lim[x→0] log(1+2x)/log(1+7x)

真数の条件はx > -1/2、x > -1/7です。両方を満たすのはx > -1/7なので、0の両側の十分近くで定義されます。さらに分母が0となるのはlog(1+7x) = 0、すなわち1+7x = 1のときです。したがってx ≠ 0なら分母は0ではありません。

それぞれを基本形へ直します。x ≠ 0の近傍で、次の各式が成り立ちます。

log(1+2x) = 2x・log(1+2x)/(2x)
log(1+7x) = 7x・log(1+7x)/(7x)

分母側の基本形も0ではありません。これらを元の商へ戻し、共通のxを約分します。

log(1+2x)/log(1+7x)
= (2x・log(1+2x)/(2x))/(7x・log(1+7x)/(7x))
= (2/7)・(log(1+2x)/(2x))/(log(1+7x)/(7x))

2xと7xはともに0に近づき、各基本形の極限は1です。分母側の極限は0でないので、商の極限を取れます。

lim[x→0] log(1+2x)/log(1+7x)
= (2/7)・1/1
= 2/7

得られた2/7は、元の分子の倍率2と分母の倍率7の比です。対数の中身がどちらも1へ向かうという共通点だけで1と決めると、この違いを失います。逆に7/2としてしまった場合は、最初の分子が2xを含んでいたことに戻って順序を点検します。

発展例題：底の変換を忘れない

次の極限を自然対数を用いた正確な式で求めてください。

lim[x→0] log₃(1+5x)/x

底3は正で1ではありません。真数の条件は1+5x > 0、すなわちx > -1/5です。分母についてx ≠ 0も必要です。これらは0を除いた十分小さい近傍で満たされます。

底の変換公式log₃ A = log A/log 3を使います。log 3は正であり、0ではありません。公式を適用した後で、基本形を作ります。

log₃(1+5x)/x = log(1+5x)/(x・log 3)
                 = (5/log 3)・log(1+5x)/(5x)

5x → 0なので、基本極限から次を得ます。

lim[x→0] log₃(1+5x)/x = (5/log 3)・1
                            = 5/log 3

元の底3に戻して見ると、log₃(1+5x)は自然対数をlog 3で割った値です。したがって答えにもその割り算が残ります。底の変換を途中で消した5という答えでは、元の対数の底を反映できていません。

底が正で1より小さい場合も公式は使えますが、log aは負です。よって係数の符号も変わります。底が1の場合はlog 1 = 0で割ることになり、そもそも対数の底として認められません。底が負の場合も実数の対数として扱えないため、計算を始める前に条件から外します。

誤答をどこから直すか

基本例題について「log(1+4x)が0に近づくから、商も0」とする答案を考えます。分母xも0に近づくので、商の極限を分子の極限だけで決めることはできません。図3のように、分子と分母の両方が0へ向かうことを並べて書き、比較する形に直します。

修正は、真数の条件x > -1/4とx ≠ 0を記してから始めます。次にlog(1+4x)/xを4・log(1+4x)/(4x)に変えます。右辺を通分の要領で元に戻し、4の位置が正しいことを確認します。最後に4x → 0と基本極限を書き、答え4を得ます。

別の誤りとして、log(1+u)/u = 1が各uについて成り立つ等式だと考えることがあります。基本極限が示すのは、uが0に近づくときに比が1へ近づくという事実です。有限のuで比を厳密に1と置くことはできません。等号の左右に極限記号があるかを見れば、この混同を区別できます。

真数が正である条件を最後に確かめる習慣にも注意が必要です。今回のように0の周りに正となる区間があれば両側から扱えますが、点や式が変われば定義域も変わります。式変形が正しくても、実数として意味のない部分を使った証明は修正しなければなりません。

練習：条件を添えて求める

いずれもx → 0とします。各真数が正となる条件と、分母が0でない条件を確かめ、指定された形で極限を求めてください。

log(1+6x)/xを整数で求める。
log(1-3x)/xを整数で求める。
log(1+8x)/log(1-2x)を整数で求める。
log₂(1+9x)/xを自然対数を用いた正確な式で求める。
log(1+x²)/x²を整数で求める。

練習の答えと途中式

1

真数の条件はx > -1/6、分母の条件はx ≠ 0です。0の左右の十分近くで両方を満たします。u = 6xは0へ向かうので、次のように計算します。

log(1+6x)/x = 6・log(1+6x)/(6x)
lim[x→0] log(1+6x)/x = 6・1
                         = 6

外の6と分母の6xを元に戻すと、元の商に一致します。答えは6です。

2

真数の条件はx < 1/3、分母はx ≠ 0です。u = -3xと置けば、左右どちらからもu → 0です。負の係数を外へ出す点が要です。

log(1-3x)/x = -3・log(1-3x)/(-3x)
lim[x→0] log(1-3x)/x = -3・1
                         = -3

右辺を元に戻すと負の符号は分母の負と打ち消し合います。答えは-3です。

3

2つの真数の条件はx > -1/8とx < 1/2です。分母の対数はx = 0で0となり、それ以外では0ではありません。0を除く十分小さい範囲で次のように直します。

log(1+8x)/log(1-2x)
= (8x・log(1+8x)/(8x))/(-2x・log(1-2x)/(-2x))
= -4・(log(1+8x)/(8x))/(log(1-2x)/(-2x))

両方の基本形は1に近づきます。分母側の極限は0ではないため商を取れます。

lim[x→0] log(1+8x)/log(1-2x) = -4・1/1
                                      = -4

元の倍率の比8/(-2)も-4で、符号が一致します。答えは-4です。

4

底2は正で1ではなく、真数の条件はx > -1/9です。分母についてx ≠ 0を加えます。底の変換と基本形を順に使います。

log₂(1+9x)/x = log(1+9x)/(x・log 2)
                = (9/log 2)・log(1+9x)/(9x)
lim[x→0] log₂(1+9x)/x = 9/log 2

log 2は0ではありません。元の底へ戻すための割り算が残っていることを確認し、答えは9/log 2です。

5

真数1+x²は常に正で、分母の条件はx ≠ 0です。u = x²と置くと、xが左右どちらから0へ近づいてもuは正の側から0へ近づきます。基本極限は両側で成立するため、その片側にも適用できます。

log(1+x²)/x² = log(1+u)/u
lim[x→0] log(1+x²)/x² = 1

uをx²に戻せば元の分子と分母が得られます。答えは1です。内側が片側から近づくことは、この場合の適用を妨げません。

手元に残す要点

真数が正である近傍と、分母が0でない範囲を先に確認します。
log(1+u)/uはu → 0で1に近づきます。
内側を分母にそろえた倍率を外に残します。
異なる底は自然対数に直し、底の対数で割ります。
対数どうしの商では分母側の極限が0でないことも確かめます。

途中式からつまずきを見分ける

個別指導で最初に見るのは、対数の真数の横に不等式が書かれているかです。そこが空欄なら、式を計算する前に真数が正となる範囲を本人に求めてもらいます。次に、置換した文字が何に近づき、0でないことがどこから言えるかを確かめます。基本形の分母と内側の式が一致しない場合は、両辺を元に戻して倍率の抜けを探します。

底の変換で誤った場合は、底が正で1以外という条件と、割る数log aの符号を別々に説明してもらいます。商の問題なら、分母の対数がどこで0になるかも問い直します。真数、倍率、底を順に点検すれば、対数の極限の根拠が式に残ります。