高校数学III 根号関数の無限遠の極限—絶対値を残す有理化で正負の違いを見抜く｜武蔵野個別指導塾

負の無限遠で平方根から取り出す絶対値に注目し、有理化で残る差と打ち消し合わない和を追います。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで負のxについても√(x²)をxと書き、そのまま約分してしまう場面です。正の方向では正しく見えた計算が、負の方向では符号を逆転させます。根号は非負の値を表すため、方向を確かめる前にxを外へ出せません。

根号と一次式がほぼ打ち消し合うときは、共役を使うと残りの大きさが見えます。打ち消し合わない方向では、無理に同じ変形を使う必要はありません。この計算が属するのは、学習指導要領で数学IIIに位置付けられた「関数の値の極限」です。同じ極限の分野では、数列の極限と無限級数も学びます。ここでは根号を含む関数の無限遠を扱い、微分によるグラフの調査には進みません。

どんな形で差が現れるか

1つ目は、√(x²+ax)とxの差をx→+∞で求める型です。両方が大きくなり、見かけは「無限大から無限大を引く」形です。それぞれの発散だけでは差は決まりません。有理化して分子を整理し、分母の大きさと比べます。

2つ目は、同じ式をx→-∞で見る型です。根号は非負ですが、引かれるxは負です。したがって差は打ち消し合わず、正の無限大へ向かいます。正方向の答えを負方向へそのまま持ち込むことはできません。

3つ目は、√(a²x²+bx)+axのように、負方向で初めて打ち消し合う型です。aが正なら、負のxに対して√(a²x²)=a|x|=-axです。根号とaxが反対符号となるので、共役の積を使う意味が生まれます。どちらの方向で主要な部分が消えるかを、式変形の前に見極めます。

根号から出るのは絶対値

平方根√Aは、Aが0以上のときに定義される非負の数です。x²の平方根は、xが正ならx、負なら-xなので、常に√(x²)=|x|です。x→+∞では十分大きいxは正、x→-∞では十分小さいxは負です。したがって、極限をとる方向ごとに次のように書き分けます。

x > 0 のとき  |x| = x
x < 0 のとき  |x| = -x

図1のように、符号を決めてから根号の外へ出します。たとえば√(x²+ax)=|x|√(1+a/x)は、xが0でなく根号の中が定義される範囲で成り立ちます。右の根号の中も、元の根号の中を正のx²で割ったものです。

図1の左右では、外へ出る因子が異なります。無限遠の極限では、途中で定義されない点が有限個あっても、対象とする方向の十分遠い部分で式が定義されていれば調べられます。一方、根号の中がその方向でずっと負なら、実数の範囲でその方向の極限は扱えません。

有理化はA-Bに対して共役A+Bを掛け、A²-B²に直す操作です。商の値を変えないためには、掛ける共役が0でないことも必要です。特に負方向で共役が0に近づく場合、変形後の分母を正方向と同じ大きさと決めつけてはいけません。分母が0に近づくことと、式そのものが0に近づくことは別です。

有理化が使えないときの見分け

共役を掛ける式が0になる点では、その式で割れません。例えば√(x²)+xはx<0で0ですから、√(x²)-xをこの共役で割る操作は負方向では使えません。その場合も元の差は-2xと直接計算でき、正の無限大に向かいます。変形に失敗したことと極限が存在しないことは別です。

根号の中の最高次項が負で、十分遠いところで常に負になる式にも注意します。例えば√(-x²+1)は|x|>1で実数として定義されず、実数の関数として無限遠を調べられません。定義域の確認は、計算を始める前に対象そのものを確保する手順です。

基本例題：正の方向で残る差

次の極限を、整数で求めてください。

lim[x→+∞] (√(x²+4x)-x)

x>0では根号の中は正で、共役√(x²+4x)+xも正です。図2のように、根号とxの差は小さく残ります。両者をそれぞれ無限大と見て引き算を終えるのでなく、共役を掛けます。

√(x²+4x)-x
= ((√(x²+4x)-x)(√(x²+4x)+x))/(√(x²+4x)+x)
= (x²+4x-x²)/(√(x²+4x)+x)
= 4x/(√(x²+4x)+x)
= 4/(√(1+4/x)+1)

最後の行ではx>0なので√(x²+4x)=x√(1+4/x)としました。x→+∞で4/x→0、分母は2に近づき、0には近づきません。よって求める極限は2です。

答えを元の差へ戻して見ます。x>0なら√(x²+4x)<x+2です。実際、両辺は正で、平方を比較するとx²+4x<(x+2)²です。また有理化した分母はxより大きいので差は正です。この差が2より下から2へ近づくことは、図2の関係とも一致します。図の数値はx=1で√5-1、x=4で√32-4を表し、いずれも2未満です。

標準例題：同じ式の負方向

次の極限を、正の無限大または負の無限大への発散も含めて答えてください。

lim[x→-∞] (√(x²+4x)-x)

x≤-4ではx(x+4)≥0です。特にx<-4なら根号が定義され、-xは正です。根号自体も非負なので、元の式について次が成り立ちます。

√(x²+4x)-x ≥ -x
lim[x→-∞] (-x) = +∞

任意に大きな正の数を決めても、xを十分負にすれば-xがそれを超えます。元の式はそれ以上なので、答えは+∞です。これは有限値への収束ではなく、正の無限大への発散を意味します。

絶対値を用いる方法でも確かめます。x<-4で1+4/x>0だから、次の変形が成り立ちます。

√(x²+4x)-x
= |x|√(1+4/x)-x
= -x√(1+4/x)-x
= (-x)(√(1+4/x)+1)

第2因子は2へ近づき、十分遠い負方向では例えば1より大きくなります。第1因子は正の無限大へ向かうため、積も正の無限大へ向かいます。元の式では根号と-xがともに非負であることも、結論の符号を裏づけます。

正方向で得た有理化後の式をこの方向に流用すると誤ります。負方向の共役√(x²+4x)+xは、-4/(√(1+4/x)+1)と表せるので、負の値を取りながら-2へ近づきます。xで割ったときの根号の項は-√(1+4/x)です。分母が2に近づくという判断はここでは成立しません。

発展例題：負方向で打ち消し合う和

次の極限を、分数で求めてください。

lim[x→-∞] (√(9x²+x)+3x)

x<-1/9ではx(9x+1)>0です。元の根号は正で、共役√(9x²+x)-3xも正なので、有理化できます。負のxに対して√(9x²)=3|x|=-3xですから、根号と3xの主要部分は打ち消し合います。

√(9x²+x)+3x
= ((√(9x²+x)+3x)(√(9x²+x)-3x))/(√(9x²+x)-3x)
= (9x²+x-9x²)/(√(9x²+x)-3x)
= x/(√(9x²+x)-3x)
= x/((-x)√(9+1/x)-3x)
= -1/(√(9+1/x)+3)

1/x→0より分母は6へ近づきます。したがって答えは-1/6です。最後の分母は十分小さいxで正であり、0で割ることはありません。

符号を元の式でも確かめます。x<0なら9x²+x<9x²なので、根号が定義される範囲で√(9x²+x)<-3xです。ゆえに元の和は負です。求めた-1/6も負で、この条件に合います。なお、共役を掛けた後に分母をxで割ると、xが負であるため根号の商は負になります。この点を飛ばすと分母を0と誤認します。

間違いを式に戻して直す

標準例題で、次のように書く誤答を考えます。

√(x²+4x)-x
= x(√(1+4/x)-1)
→ 0

最初の等号はx→-∞では成り立ちません。根号の外に出るのはxではなく|x|=-xです。また仮に括弧が0へ近づいても、外側の因子は大きくなります。積を0と決めるには大きさの比較が必要です。

図3のように、負のxについて根号を外へ出す箇所から修正します。正しい式は(-x)(√(1+4/x)+1)です。括弧は2に近づき、-xは正の無限大へ向かうため、積は+∞です。

図3の修正は符号を変えるだけでは終わりません。元の式で√(x²+4x)と-xがともに非負であることへ戻れば、負の有限値を答えた場合も見直せます。逆に、発展例題では根号と3xが異符号なので、同じ評価は使えません。式ごとに和か差か、どの部分が打ち消し合うかを点検します。

練習問題

各問で、根号は実数の範囲で考えます。有限の極限は整数または既約分数で、無限大になる場合は正負を明記してください。

1. lim[x→+∞] (√(x²+6x)-x)を求めてください。
2. lim[x→-∞] (√(x²-8x)+x)を求めてください。
3. lim[x→-∞] (√(x²-2x)-x)を求めてください。
4. lim[x→+∞] (√(4x²+12x)-2x)を求めてください。
5. 実数aについて、lim[x→-∞] (√(4x²+ax)+2x)が3となるaを求めてください。

練習の答えと道筋

1

x>0では共役が正です。有理化してxで割ると、次のようになります。

√(x²+6x)-x
= 6x/(√(x²+6x)+x)
= 6/(√(1+6/x)+1)
→ 3

答えは3です。元の根号はxより大きく、差は正です。また(x+3)²=x²+6x+9なので、差は3未満で、求めた値への接近と矛盾しません。

2

x<0で根号は定義され、共役√(x²-8x)-xは正です。|x|=-xを使います。

√(x²-8x)+x
= -8x/(√(x²-8x)-x)
= 8/(√(1-8/x)+1)
→ 4

答えは4です。元の根号は-xより大きく、和は正です。(4-x)²=x²-8x+16だから和は4未満となり、接近する向きも確かめられます。

3

負のxではx²-2x>0です。根号と-xはともに正なので、次の評価を使えます。

√(x²-2x)-x ≥ -x
-x → +∞

答えは+∞です。元の式は正の量を2つ足した形であり、負の無限大への発散はありえません。有理化して有限値を得た場合は、外に出した|x|の符号を調べ直します。

4

正方向では共役が正です。√(4x²+12x)=x√(4+12/x)として整理します。

√(4x²+12x)-2x
= 12x/(√(4x²+12x)+2x)
= 12/(√(4+12/x)+2)
→ 3

答えは3です。元の差は正で、(2x+3)²=4x²+12x+9から3未満です。元の式に戻しても符号と大きさが合います。

5

aを固定すると、十分小さい負のxで4x²+ax>0です。また共役√(4x²+ax)-2xは正です。

√(4x²+ax)+2x
= ax/(√(4x²+ax)-2x)
= -a/(√(4+a/x)+2)
→ -a/4

-a/4=3よりa=-12です。この値では根号の中は4x²-12xで、負のxに対して正です。元の和は有理化すると12/(√(4-12/x)+2)となり、確かに3へ近づきます。

手元に残す要点

• √(x²)=|x|であり、負のxでは-xです。
• 根号の定義域と共役が0でないことを確かめます。
• 打ち消し合う方向では有理化して大きさを比べます。
• 打ち消し合わない方向では符号と評価で発散を示せます。
• 求めた符号と値を元の式に戻します。

途中式のどこを見直すか

負方向で答えが合わないときは、まず√(x²)を外へ出した行に印を付けます。次に、分母をxで割る行でxの符号がどう反映されたかを確認します。両方が正しければ、共役が0でない範囲と根号の定義域を点検します。

個別指導では、正方向と負方向の2列をノートに並べ、それぞれの|x|と主要部分を書いてもらいます。途中の1行だけを指して「この等号が成り立つ範囲はどこですか」と尋ねると、計算違いと条件の取り違えを区別できます。根号の非負性へ戻る習慣が、無限遠での符号を支えます。