高校数学III 因数分解する関数の極限—約分の条件を残して不定形を解消する｜武蔵野個別指導塾

0/0となる多項式の商を因数分解し、約分できる範囲と有限極限をもつ文字係数を確かめます。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートで、分母がゼロになる点では元の関数が定義されないため、極限もないと考える場面です。ところが、極限で調べるのは、その点に近い値での関数の振る舞いです。点そのものを代入できなくても、周囲の値が同じ数に近づくことがあります。

一方、分母がゼロになる式を見たら何でも約分できるわけではありません。共通因数があるか、約分する範囲でそれがゼロでないかを確かめます。数列や無限級数とともに関数の値の極限も数学IIIで学ぶ範囲に含まれます。ここでは多項式の商を有限の点へ近づけ、根号を含む商には立ち入りません。

どこで手が止まるか

まず、代入すると分子も分母もゼロになる型があります。2乗の差や3乗の差を因数分解すると、分母と同じ因数が現れる場合があります。元の式が定義される点では、その因数を消して簡単な式に直せます。約分後に近づく先を代入すれば、極限値を求められます。

次に、分子と分母が同時にゼロでも、消せる因数の個数が違う型があります。共通因数を1つ消した後も分母がゼロに近づくなら、さらに分子を調べます。分子がゼロでない値へ近づくと、商は有限の値へ収束しません。符号を左右で調べ、正の無限大と負の無限大の違いまで読み取ります。

最後に、分子に文字係数がある型です。有限の極限が存在するという条件から、近づく先で分子もゼロになる必要があります。その条件を解いてから実際に因数分解し、残った分母がゼロにならないことを確認します。必要な条件を見つけた段階では、まだ十分かどうかは決まっていません。

点を除いた近くで等しい式

関数 f(x) の x が a に近づくときの極限とは、x を a に限りなく近づけたとき、f(x) が近づく値のことです。x = a での f(a) が定義されていることは、極限を考えるための条件ではありません。左からと右からの値が同じ有限の数に近づく場合、その数を両側の極限値とします。

図1のように、分母と分子に共通する x − a があっても、約分の等式に使うのは x ≠ a の範囲です。近づく点を除いた近くで元の式と簡単な式が一致すれば、その2つは同じ極限を持ちます。簡単な式に a を代入できることと、元の式が a で定義されることは別です。

図1では、共通因数を消した後も除外点の印を残しています。例えば元の分母が (x − a)(x + b) なら、x ≠ a に加え x ≠ -b が必要です。a と -b が異なれば、a に十分近い範囲を選ぶことで後者も除けます。逆に a = -b なら、残った分母もゼロになるので、そのまま代入できません。

0/0 は極限値の名前ではなく、そのままでは商の極限が決まらない形の目印です。同じ0/0でも、共通因数を消した後に有限値へ近づく式もあれば、残る分母によって発散する式もあります。約分は極限値を予想する操作でなく、除外点の周りで成り立つ等式を作る操作です。

基本例題：穴の周りから値を読む

次の極限を整数で求めてください。

lim[x→4] (x² - 16)/(x - 4)

元の式は x = 4 で分母がゼロなので定義されません。x ≠ 4 では2乗の差を因数分解して、次のように変形できます。

(x² - 16)/(x - 4)
= (x - 4)(x + 4)/(x - 4)
= x + 4

最後の等式は x ≠ 4 で成立します。この範囲で x を4に近づけると、x + 4 は8に近づきます。したがって求める極限値は8です。

lim[x→4] (x² - 16)/(x - 4)
= lim[x→4] (x + 4)
= 8

図2のように、元の関数のグラフは直線 y = x + 4 から点 (4, 8) を除いたものです。白い丸はその点が元の関数に含まれないことを表します。左からでも右からでも直線上の値は8に近づくため、穴があることと極限値が存在することは両立します。

図2に対応させて、元の式に x = 3 と x = 5 を戻すと、それぞれ7と9です。4の左右から近づく値が8を挟みます。たとえば x = 3.9 と 4.1 では元の式もそれぞれ7.9と8.1です。ただし、これらの数値の確認だけで極限の証明は終わりません。上の等式と、一次式の極限によって結論を出しています。

標準例題：残る分母を見落とさない

次の極限を整数で求めてください。

lim[x→2] (x³ - 8)/(x² - 4)

元の分母は (x − 2)(x + 2) です。元の式が定義されるのは x ≠ 2 かつ x ≠ -2 のときです。2の十分近くでは x + 2 はゼロでなく、近づく点2を除けば元の式を使えます。分子と分母をそれぞれ因数分解します。

(x³ - 8)/(x² - 4)
= (x - 2)(x² + 2x + 4)/((x - 2)(x + 2))
= (x² + 2x + 4)/(x + 2)

この等式は x ≠ 2, -2 で成り立ちます。約分後の分母は x→2 で4に近づき、ゼロではありません。分子と分母の極限を求め、商の極限を計算します。

lim[x→2] (x² + 2x + 4)/(x + 2)
= (2² + 2・2 + 4)/(2 + 2)
= 12/4
= 3

答えは3です。分子の3乗の差の因数は x² + 2x + 4 であり、2乗の差のように x + 2 だけにはなりません。展開して x³ − 8 に戻るかを確かめれば、真ん中の項を落とす誤りを防げます。

約分後の式を x = 2 に代入すると3ですが、元の式がその点で3という意味ではありません。また x = -2 は別の除外点です。今回は2の近くだけで極限を調べるため、-2を近傍から外せます。除外点を記録しながら、いま調べている点との距離を考えることが必要です。

発展例題：有限値があるための係数

実数 a について、次の極限が有限の値を持つような a を整数で、そのときの極限値を分数で求めてください。

lim[x→3] (x² + ax - 6)/(x² - 9)

分母は x→3 でゼロに近づきます。分子は多項式なので 3を代入した値、すなわち 3 + 3a に近づきます。この値がゼロでなければ、その近くで分子はゼロから離れ、分母の絶対値は限りなく小さくなります。したがって商の絶対値は限りなく大きくなり、有限値には収束しません。有限の極限があるには、まず次の条件が必要です。

3² + 3a - 6 = 0
3 + 3a = 0
a = -1

ここで終えると必要性しか示していません。a = -1 を元の分子に戻して因数分解し、実際に有限値になるかを調べます。元の分母がゼロになる点は3と-3です。

(x² - x - 6)/(x² - 9)
= (x - 3)(x + 2)/((x - 3)(x + 3))
= (x + 2)/(x + 3)     （x ≠ 3, -3）

残る分母は x→3 で6に近づきます。よって商の極限を使えます。

lim[x→3] (x + 2)/(x + 3)
= (3 + 2)/(3 + 3)
= 5/6

a = -1 のとき元の分子は x = 3 で 9 − 3 − 6 = 0 となり、必要条件に戻しても一致します。a ≠ -1 では有限値にならないことも先に確かめているので、条件はこの値に定まります。極限値が存在しても元の式に x = 3 は代入できません。

消してはいけないものを見分ける

次の誤答を考えます。

lim[x→1] (x - 1)/(x - 1)² = 1

「分子と分母に x − 1 があるので両方消え、1が残る」と考えたのが誤りです。分母には同じ因数が2個あり、1個を消しても1個残ります。x ≠ 1 での正しい等式は次のとおりです。

(x - 1)/(x - 1)²
= 1/(x - 1)     （x ≠ 1）

図3のように、x が1より小さい側では分母が負のままゼロに近づくので、値は負の方向に大きくなります。1より大きい側では正の方向に大きくなります。左右が同じ有限値へ近づかないため、両側の極限は存在しません。

図3の2つの枝は x = 1 に線を引いてつながりません。元の式に x = 0 を代入すると -1、x = 2 を代入すると1であり、左右の符号は図と一致します。分母の因数を数えるときは、消す前の積に印を付けて、消した後に残る因数を必ず書き出します。

別の失敗は、分子がゼロでないのに分母の因数を消すことです。和の一部は積の因数ではありません。まず全体を積に直し、展開して元の式に戻るかを確かめます。近づく点で分子がゼロでも、分母と同じ回数だけ因数があるとは限らないので、約分後の分母の値まで確認してください。

練習：条件と答えを分けて書く

次の5問では、有限の極限値は分数または整数で答えてください。両側の有限極限がない場合は、左右の振る舞いを答えてください。

1. lim[x→5] (x² − 25)/(x − 5) を求めてください。
2. lim[x→-1] (x³ + 1)/(x² − 1) を求めてください。
3. lim[x→2] (x² − 4)/(x − 2)² を調べてください。
4. 実数 b について lim[x→-2] (x² + bx − 6)/(x + 2) が有限となる b と、その極限値を求めてください。
5. lim[x→1] (x³ − 3x + 2)/(x − 1)² を求めてください。

解くときは元の分母がゼロとなる点を記し、約分後にも分母がゼロに近づくかを調べます。答えを見る前に、因数分解した積を展開して元の分子へ戻してみてください。

1の答えと道筋

x ≠ 5 で次の等式が成り立ちます。

(x² - 25)/(x - 5)
= (x - 5)(x + 5)/(x - 5)
= x + 5

よって極限値は 5 + 5 = 10 です。元の式では5を代入できませんが、5に近い除外点以外の値で x + 5 に一致します。左側と右側のどちらも10に近づきます。

2の答えと道筋

元の分母は x = 1, -1 でゼロです。-1の近くでは1を避けられ、x ≠ -1 で共通因数を消せます。

(x³ + 1)/(x² - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)/((x + 1)(x - 1))
= (x² - x + 1)/(x - 1)

約分後の分母は -2 に近づくので、極限値は次のとおりです。

((-1)² - (-1) + 1)/(-1 - 1)
= 3/(-2)
= -3/2

因数の積を展開すると分子は x³ + 1、分母は x² − 1 に戻ります。元の分母のもう1つの零点1を、調べる点-1と混同しないようにします。

3の答えと道筋

x ≠ 2 で次のようになります。

(x² - 4)/(x - 2)²
= (x - 2)(x + 2)/(x - 2)²
= (x + 2)/(x - 2)

x→2 で分子は正の4に近づきます。分母は左側で負、右側で正です。したがって左側では負の無限大、右側では正の無限大へ発散し、両側の有限極限はありません。約分後の分母がゼロであることを見てから符号を判定します。

4の答えと道筋

分母は x→-2 でゼロに近づくため、有限極限には分子もゼロに近づくことが必要です。

(-2)² - 2b - 6 = 0
-2 - 2b = 0
b = -1

b = -1 を元の式へ戻して、十分性を確かめます。

(x² - x - 6)/(x + 2)
= (x + 2)(x - 3)/(x + 2)
= x - 3     （x ≠ -2）

よって極限値は -2 − 3 = -5 です。b = -1 のとき元の分子に -2 を入れると 4 + 2 − 6 = 0 です。ほかの b では分子がゼロ以外に近づくので、有限極限はありません。

5の答えと道筋

分子に x = 1 を入れるとゼロです。1回だけでなく、さらに x − 1 を因数に持つかを調べます。

x³ - 3x + 2
= (x - 1)(x² + x - 2)
= (x - 1)(x - 1)(x + 2)
= (x - 1)²(x + 2)

元の式は x ≠ 1 で次のように変形できます。

(x³ - 3x + 2)/(x - 1)²
= (x - 1)²(x + 2)/(x - 1)²
= x + 2

したがって極限値は 1 + 2 = 3 です。分子の積を展開すると元の3次式に戻り、分母の2個の因数とちょうど対応します。

手元に残す4行

• 0/0 では値を決めず、分子と分母を因数分解します。
• 約分の等式には、元の分母がゼロでない条件を残します。
• 約分後の分母がゼロでなければ、商の極限を使えます。
• 分母がなおゼロなら残る因数と左右の符号を調べます。

途中式のどこを見直すか

答えが合っていても、除外点を書かずに元の式へ直接代入していれば、次の問題で定義されない値を扱う危険があります。個別指導では、最初に元の分母がゼロとなる点をノートで指さし、共通因数を消した行と、その行が成り立つ範囲を照合します。

文字係数の問題では、分子をゼロにする条件を立てた後、その係数を元の式に戻した行まで追います。分母に因数が残る問題では、左と右の符号を別々に声に出して説明できるかも確かめます。点の値を使えないときも、周りの式を正しく追えば極限へ進めます。