高校数学III 数列の収束と発散—有限の極限値と無限大を区別して説明する｜武蔵野個別指導塾

項番号と項の値を分け、3+2/n、-n²、(-1)ⁿの計算から、有限値への収束と発散の違いを確かめます。

よくあるのは、理系の高3が演習ノートに数列の項を並べ、項数が増えれば値も必ず無限大へ向かうと考える場面です。番号 n は限りなく大きくなりますが、その番号に対応する値 aₙ がどうなるかは、数列の式によって変わります。有限の数に近づくことも、負の方向へ遠ざかることも、同じ値の間を行き来することもあります。項の番号と項の値を分けて、式で根拠を示しましょう。

何を見て分類するか

まず、項の値がある有限の数に近づく型があります。たとえば定数に、n が大きくなると 0 に近づく量を加えた式なら、そのずれが消える先を考えます。ただし最初の数項がその数に近いだけでは、その後も近づくとは言えません。n をいくらでも大きくしたときの振る舞いを式で追う必要があります。

次に、値が正または負の方向に限りなく大きくなる型があります。正の無限大と負の無限大は方向が異なります。大きさの符号を見落として「無限大」とだけ書くと、どちらへ進むかが伝わりません。有限の値に近づかないという点では、どちらも収束ではなく発散に分類します。

もう1つは、値が一定の方向へ遠ざかるわけでも、1つの有限値に近づくわけでもない型です。偶数番目と奇数番目で値が異なるまま続く数列は、その代表です。偶奇に分けてそれぞれの項を調べると、並びの規則から結論を説明できます。

収束と発散を言葉と式で結ぶ

数列 aₙ の項が、n を限りなく大きくするとき有限の一定値 α に限りなく近づくなら、aₙ は α に収束するといい、次のように書きます。α を極限値と呼びます。

lim[n→∞] aₙ = α

近づくとは、項と α との差の絶対値 |aₙ − α| が 0 に近づくことです。途中の項が α と一致する必要はありません。また、途中で何回か遠ざかることがあっても、その後の項が α に近づいていけば収束します。単に「増加する」「減少する」だけでは、どの値に近づくかは決まりません。

図1のように、有限値への収束では、後の項が水平な基準の両側を通っても、基準からの距離が小さくなりえます。点は各番号に対応する離散的な項です。点と点の間に数列の値があるわけではありません。

収束しない数列は発散します。発散には、正の無限大へ進む場合、負の無限大へ進む場合、有限の値の間を振動する場合などが含まれます。無限大は有限の極限値ではないため、lim[n→∞] aₙ = ∞ と表す場合も、有限値への収束とは区別します。

正の無限大へ発散するとは、どんなに大きい正の数を基準にしても、十分後の項がその基準より大きくなることです。負の無限大へ発散するとは、どんなに小さい負の数を基準にしても、十分後の項がその基準より小さくなることです。振動では、このどちらにも当てはまらないことがあります。たとえば値が交互に変わるだけなら、大きい番号の項でも同じ2つの値に戻り続けます。

学習範囲の確認として、数学IIIの極限には数列の極限が含まれます。ここでは数列そのものの収束と発散に絞り、項を足し合わせた無限級数の和は扱いません。

基本例題：近づく先と残る差

正の整数 n に対し aₙ = 3 + 2/n とします。数列 aₙ が収束するか発散するかを判定し、収束する場合は極限値を整数で求めてください。

n が大きくなるにつれて 1/n は 0 に近づきます。2/n も 0 に近づくので、極限の計算法則を適用できます。定数 3 は n を変えても変わりません。

lim[n→∞] aₙ
= lim[n→∞] (3 + 2/n)
= 3 + 2 lim[n→∞] (1/n)
= 3 + 2・0
= 3

したがって aₙ は 3 に収束します。数値を代入して式に戻すと、a₁ = 5、a₂ = 4、a₄ = 7/2 です。項番号が増えると、これらの値はむしろ小さくなっています。番号が大きいことと、項の値が大きいことは別の話です。

図2のように、点列は 3 より上にあり、水平線との差が小さくなります。たとえば n = 1 の差は 2、n = 2 の差は 1、n = 4 の差は 1/2 です。図の点はそれぞれ元の式から計算した値です。

式でも接近を確かめます。n は正なので 2/n は正であり、すべての項は 3 より大きいままです。それでも差は 2/n なので 0 に近づきます。

|aₙ - 3|
= |3 + 2/n - 3|
= 2/n
→ 0  （n→∞）

たとえば 3 との差を 1/100 より小さくしたいなら、2/n < 1/100 を解けば n > 200 です。n = 201 以降の各項で条件が成り立ちます。n = 200 では差がちょうど 1/100 なので、厳密に小さいという条件には入りません。境界を含むかどうかも、不等号を見て決めます。

3 に到達しないことを理由に発散とするのは誤りです。収束に必要なのは、どこかの項で極限値に等しくなることではなく、十分後の項と極限値との差を小さくできることです。逆に、途中の1項がある数に等しくても、その後の項が離れていけば、その数への収束は言えません。

標準例題：負の方向への発散

正の整数 n に対し bₙ = -n² とします。数列 bₙ の収束・発散を分類し、発散する場合は向かう方向も答えてください。

正の整数 n を大きくすると n² は限りなく大きくなります。その前に負号があるため、項は数直線の負の方向へ遠ざかります。正の無限大に向かう n² に負号を掛けることに注意します。

n→∞ のとき n²→∞
-n²→-∞
lim[n→∞] bₙ = -∞

有限値に収束しないため、答えは負の無限大への発散です。元の式では b₁ = -1、b₂ = -4、b₃ = -9 となります。絶対値は増えますが、項の値自体は小さくなります。「大きさが増える」と「値が増える」の違いを、負号のある数直線で確認してください。

方向を不等式でも確かめます。任意の正の数 M に対し、n > M + 1 なら n² > n > M です。したがって -n² < -M となり、十分後の項は、あらかじめ選んだ -M より小さくなります。M をいくら大きく選んでも同じ説明ができるので、負の無限大へ向かいます。

最初の数項を見て「減っているから 0 に収束する」と判断してはいけません。減少する数列には有限値に近づくものも負の無限大へ進むものもあります。どちらかを決めるには、値がある有限値の近くにとどまるのか、それとも任意に小さい基準を越えていくのかを調べます。

発展例題：偶数番と奇数番を分ける

正の整数 n に対し cₙ = (-1)ⁿ とします。数列 cₙ の収束・発散を分類し、その理由を偶数番目と奇数番目の項を用いて説明してください。

n が偶数なら負の数を偶数回掛けるので値は 1、奇数なら値は -1 です。正の整数 k を使って、それぞれの項を書くと次の通りです。

c₂ₖ = (-1)²ᵏ
= 1
c₂ₖ₋₁ = (-1)²ᵏ⁻¹
= -1

偶数番目をどこまで進めても 1、奇数番目をどこまで進めても -1 です。元の並びは -1、1、-1、1 と続きます。十分後の項が1つの有限値に近づくなら、その中から偶数番目だけを選んでも、奇数番目だけを選んでも、同じ値に近づくはずです。ここでは選んだ2つの並びが異なる値を保つので、そのような有限値はありません。

また、項は -1 と 1 の間にとどまるため、正の無限大にも負の無限大にも向かいません。したがって答えは振動による発散です。有限の範囲に収まることと、有限値に収束することは同じではありません。

偶奇に分ける操作は、振動を見つけるための有効な手掛かりです。ただし、偶数番目と奇数番目がそれぞれ収束し、しかも極限値が同じ場合に初めて、両方を合わせた全体もその値に収束すると言えます。片方だけ調べて全体の結論に進まないようにします。

誤答を直す：項数と項の値を混ぜない

基本例題で「n→∞ だから 3 + 2/n→∞」と書いたとします。これは n 自体と、その逆数 1/n の動きを混同した誤答です。分母が大きくなると、正の分数 2/n は小さくなります。

図3のように、n が 1、2、4 と変わると、2/n は 2、1、1/2 と変わります。矢印は番号を進める向きです。値が増える向きを表しているわけではありません。

まず各項から定数 3 を引き、変化する部分を取り出します。次に n→∞ のとき 2/n→0 と判定します。最後に定数を戻せば極限値は 3 です。この順にすると、「大きいものが式の中にある」ことだけで式全体を判断せずに済みます。

もう1つの誤りは、発展例題の最初の2項を平均して 0 とし、収束先を 0 とすることです。求めるのは各項 aₙ の極限であり、隣り合う項の平均ではありません。実際、どの項も 0 との差の絶対値が 1 なので、その差は小さくなりません。計算する対象を平均へすり替えず、元の項に戻します。

負の無限大の場合には、-n² の負号を落として正の無限大と答える誤りにも注意します。n = 10 で元の式は -100 です。1つの代入だけで極限は証明できませんが、答えの向きと式の符号が矛盾していないかを点検できます。

練習問題：判定の根拠まで書く

いずれも n は正の整数です。各数列について収束・発散を分類し、収束する場合は極限値を整数または分数で、無限大へ発散する場合はその方向を答えてください。振動する場合は、その理由も書いてください。

1. aₙ = 5 − 4/n
2. bₙ = 2n + 7
3. cₙ = -3n − 8
4. dₙ = 2 + 3(-1)ⁿ
5. eₙ = (-1)ⁿ/n

先に5問を判定し、各式で n が大きくなるときに変わる部分と残る部分を分けてください。4と5では偶奇による符号の変化に注目しつつ、その振れ幅が残るか小さくなるかも比べます。

練習の答えと確かめ方

1. 定数からの差を見る

lim[n→∞] (5 - 4/n)
= 5 - 4 lim[n→∞] (1/n)
= 5 - 4・0
= 5

答えは 5 に収束です。元の式との差は |aₙ − 5| = 4/n で、0 に近づきます。各項は 5 より小さい側にありますが、それは収束を妨げません。例えば n = 4 では項は 4、5 との差は 1 です。

2. 正の方向を確かめる

n→∞ のとき 2n→∞
2n + 7→∞
lim[n→∞] bₙ = ∞

答えは正の無限大への発散です。たとえば n = 10 では元の式は 27 です。正の傾きの項 2n が大きくなり、一定の 7 を加えても正の方向への動きは変わりません。

任意の正の基準 M に対し、n > M + 1 なら 2n + 7 > M です。この条件以降の項は基準を上回るため、数項を眺めるだけでなく、正の無限大へ進むことを説明できます。

3. 負号を含めて追う

n→∞ のとき 3n→∞
-3n→-∞
-3n - 8→-∞
lim[n→∞] cₙ = -∞

答えは負の無限大への発散です。n = 10 を元の式に入れると -38 となり、答えの方向と符号が一致します。任意の正の M に対して n > M + 1 なら -3n − 8 < -M なので、十分後の項が負の方向へ基準を越えることも確かめられます。

4. 2つの値が残るかを見る

d₂ₖ = 2 + 3・1
= 5
d₂ₖ₋₁ = 2 + 3・(-1)
= -1

答えは振動による発散です。偶数番目は常に 5、奇数番目は常に -1 であり、十分後も同じ有限値には近づきません。元の式に n = 2 と n = 1 を戻すと、それぞれ 5 と -1 です。項はこの2値の間にとどまるので、正負どちらの無限大にも向かいません。

5. 符号と振れ幅を別に見る

|eₙ - 0| = |(-1)ⁿ/n|
= 1/n
→ 0  （n→∞）
lim[n→∞] eₙ = 0

答えは 0 に収束です。偶数番目は正、奇数番目は負ですが、元の式の分母 n が大きくなるため、どちらも 0 からの距離は 1/n です。符号が交互に変わっても、振れ幅が 0 に近づけば収束する場合があります。4では2つの値の差が残り、5ではその差が小さくなる点が分かれ目です。

手元に残す要点

有限値への接近は、その値との差が 0 に近づくかで確かめます。
正負の無限大は、項が遠ざかる方向を明記します。
振動する数列は、偶数番目と奇数番目を比べます。
項番号の増加と項の値の増減は別に考えます。

途中式のどこを見直すか

判定で迷ったら、ノートの最初に「番号 n の動き」と「項の値の動き」を別々に書いてみてください。1/n を含む式なら、その部分が 0 に近づく理由と、定数を戻した先を確認します。負号を含む式なら、具体的な項の符号と結論の方向が一致しているかを見ます。

個別指導で確かめる箇所は、答えの分類だけでなく、偶奇に分けた式や差の絶対値の行です。振動の符号だけを見て発散とした場合には、振れ幅が残る式と小さくなる式を並べ、その違いを本人の言葉で説明できるかを点検します。項番号を進めたとき、値がどこへ向かうかを元の式から追うことが、判定の根拠になります。