高校数学C 媒介変数表示と極座標—二つの表し方を直交座標の式へつなぐ｜武蔵野個別指導塾

媒介変数を消した後も点の動く範囲を残し、極方程式の変換では原点を含むかまで自分で検証できます。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が媒介変数を消して得た式を見て、点が動く範囲を広げてしまう場面です。たとえば、動く点が線分の上に限られるのに、式が表す直線全体を答えにしてしまいます。式の変形が合っていても、元の条件に戻せない点が含まれれば、求める図形とは一致しません。点の場所と、それを指定する数の範囲を一緒に追いましょう。

点の表し方から何を読むか

出方の1つは、xとyを同じ媒介変数で表した式から、その変数を消して直交座標の関係式を求める型です。変数の範囲が与えられていれば、それをxやyの範囲に直します。端の値を含むかどうかも点の図に反映します。

2つ目は、極座標の距離と角度を直交座標に直す型です。原点からの距離と正のx軸からの角を読み取り、横と縦の成分を求めます。角が第2象限にあるときには横の成分が負になるなど、符号にも意味があります。

3つ目は、極方程式を直交座標の式に直し、図形を判定する型です。式を変形する際に両辺を0になりうる量で割ると、原点などを失うことがあります。逆に、平方すると余分な点が入ることもあります。変形後の式に加えて、元の条件を満たすかを調べることが必要です。ここでは微積分を使わず、式と点の対応を見ます。

1つの数で動く点と、距離と角で決まる点

媒介変数表示では、たとえば x=1+t、y=2t のように、xとyを同じ実数tで表します。tに値を1つ決めると、xとyが同時に決まり、平面上の点が1つ定まります。tは点の位置を指定するための媒介変数です。xの式とyの式に別々の値を入れると、元の点の動きにはなりません。

図1のように、tを0から1まで動かすと、点は (1,0) から (2,2) まで動きます。t=0とt=1が許されるので端点を含みます。途中の点も、0以上1以下のtを選べば得られます。この例ではxが1から2まで増えることが、式を消した後の範囲を表す手がかりです。

図1では、同じtが両方の座標に入ることを線で示しています。点が動く向きと点の集合は別の情報です。集合を求めるだけなら向きは答えに不要ですが、図に矢印を加えると範囲の確認に役立ちます。

一方、極座標 (r,θ) は、原点Oからの距離rと、正のx軸から測る角θで点を表します。ここでは r≧0 とし、角は反時計回りを正に測ります。原点以外の点では、角に2πの整数倍を加えても同じ点です。原点ではr=0なら角の値にかかわらず同じ場所です。

直交座標との対応は x=r cosθ、y=r sinθ です。また x²+y²=r² です。たとえば距離が2、角がπ/3なら、cos(π/3)=1/2、sin(π/3)=√3/2 なので、座標は (1,√3) です。横と縦の成分から原点までの距離を求めると √(1²+(√3)²)=2 となり、元の距離に戻ります。

角を求めるときは、tanθ=y/x という比だけで象限を決めないようにします。正接が同じでも、角がπだけ違う点は反対側にあります。xとyの符号を先に見て、角の範囲を決めると取り違えを防げます。x=0の場合はy/xを使えないので、縦軸上の向きを直接見ます。

範囲の表し方には選択肢があります。xが媒介変数と1対1に対応するならxの範囲が使いやすく、yが1対1ならyの範囲が使いやすいです。たとえば x=t²、y=t で -1≦t≦2 のとき、xの範囲は 0≦x≦4 ですが、それだけでは十分ではありません。x=1に対して y=1 と y=-1 がともに許される一方、x=4に対して y=-2 は許されないからです。y=t を使えば x=y²、-1≦y≦2 と書けます。範囲を何に付けるかは、元の値を復元できるかで選びます。

開いた端も同様に扱います。媒介変数がある値に近づけても、その値を取れないなら、その値に対応する端点は含みません。逆に、別の許される値でも同じ点に到達する場合は、片方の値が禁止されているだけでは点を除けません。端の値だけを見るのではなく、その点を作る他の値がないかも調べます。円周のように異なる角が同じ点を表す場合にも、同じ注意が必要です。

基本例題: 式と端点を同時に残す

点Pの座標が x=2+t、y=1+2t、0≦t≦3 で表されています。Pの動く範囲を、直交座標の式とxの範囲で表し、両端の座標を整数で求めてください。

まず、xの式からtを取り出します。両辺から2を引くので、

t=x-2

です。この同じtをyの式に代入すると、

y=1+2(x-2)

y=2x-3

となります。これはPがこの直線上にあるための関係です。しかし、直線全体がPの範囲だとはまだ言えません。元の 0≦t≦3 に t=x-2 を代入して、

0≦x-2≦3

両端と中央に2を加えると、

2≦x≦5

を得ます。したがって答えは、y=2x-3、2≦x≦5 です。t=0のとき (2,1)、t=3のとき (5,7) です。どちらの等号も含むので、両端を含む線分になります。

媒介変数の範囲に等号が含まれるため、両端の (2,1) と (5,7) も点の集合に含めます。図2では、この2点を塗りつぶした点で示しています。傾きが2の直線のうち、横座標が2から5までの部分です。端点だけでなく、途中も確かめましょう。2≦x≦5 の任意のxに対し t=x-2 と置くと、0≦t≦3 です。さらに y=2x-3=1+2t となるため、式と範囲を満たす点は元の表示から実際に作れます。

この最後の確認は、変形によって得た条件が必要であることに加え、十分であることを見る作業です。元の表示から答えの条件に進めるだけでは、答えの側に余分な点が混じる可能性が残ります。端点についても、(2,1) はt=0、(5,7) はt=3で元の2式に戻ります。範囲と式がそろって初めて、線分を過不足なく表せます。

少し難しい例題: 二乗した後に残る条件

点Qは x=u²、y=u+1、-2≦u≦1 を満たします。動く範囲を、直交座標の式とyの範囲で表してください。端点の座標は整数で答えてください。

x=u² から u=√x とすると、負のuを落としてしまいます。そこで、1次式の y=u+1 から u=y-1 とし、xの式へ代入します。

x=(y-1)²

範囲も同じ置き換えで、

-2≦y-1≦1

-1≦y≦2

です。よって求める範囲は x=(y-1)²、-1≦y≦2 です。u=-2では (4,-1)、u=1では (1,2) となります。両端を含みます。u=0では (0,1) を通り、そこを境にxは減少から増加へ変わります。yの範囲を使えば、その折り返しを含む部分を一続きに表せます。

逆向きの確認もします。答えの条件を満たす任意の点に対して u=y-1 と置けば、-2≦u≦1 です。さらに x=u²、y=u+1 が成り立つので、余分な点はありません。たとえば (4,3) は x=(y-1)² を満たしますが、yの範囲から外れます。対応するuは2であり、元の条件にも入りません。

分かれ目は、消す変数をどの式から取り出すかです。二乗の式から無理に平方根を取ると、正と負の両方を扱う必要があります。1次式から取り出せるなら、その式を使うと符号を落とさずに済みます。どちらの方法を選んでも、最後には元の範囲へ戻して確かめます。

極方程式でも、元に戻す確認が役立ちます。r=2cosθ、r≧0 を考えます。両辺にrをかければ r²=2r cosθ なので、x²+y²=2x、つまり (x-1)²+y²=1 です。逆にこの円上の原点以外の点について、r=√(x²+y²)>0 とすると、r²=2x=2r cosθ から r=2cosθ に戻ります。原点はr=0、θ=π/2とすれば元の式も満たします。原点を含めて円全体が対応します。

誤答を直す: 消去だけで終えない

基本例題で「y=2x-3 が答え」とするのは誤答です。tの条件を消去の途中で置き去りにしたことが原因です。たとえば (6,9) はこの直線の式を満たしますが、x=2+t に戻すと t=4 です。4は0以上3以下ではないため、元の点Pにはなれません。

図3のように、延長上の点を1つ選び、元の条件へ戻すと、直線全体という答えの広すぎる部分が見えます。修正するときは、関係式の横に 2≦x≦5 を添え、端点も元の式に代入します。逆に、範囲を狭く書きすぎた場合は、端点や途中の許されるtを代入して漏れを探します。

もう1つの失敗は、極方程式でrを消すため、rで割って原点を無条件に捨てることです。割る前に r=0 を別に調べます。原点で元の式を満たす角があれば原点を含め、どの角でも満たさなければ含めません。式を平方した場合は反対に、変形後に加わった点を元の式に代入して除きます。

練習: 変換と範囲を自分でつなぐ

次の問題では、極座標は r≧0 とし、角は 0≦θ<2π とします。座標は整数または正確な分数・根号で表してください。図形を答える問題では、端点や原点を含むかも書いてください。

1. 点Aは x=3-s、y=2s、-1≦s<2 を満たします。動く範囲を直交座標の式とxの範囲で表し、端に対応する2点を求めてください。
2. 点Bは x=v²+1、y=v-2、-1≦v≦2 を満たします。動く範囲を直交座標の式とyの範囲で表し、両端の座標を求めてください。
3. 極座標 (4,5π/6) の点Cを直交座標で表してください。また、直交座標 (-1,-√3) の点Dを、指定された角の範囲で極座標に直してください。
4. 極方程式 r=4sinθ が表す図形を直交座標の式で示し、中心と半径を整数で求めてください。原点を含むかも答えてください。

練習の答えと戻し方

1. x=3-s から s=3-x です。y=2(3-x)=6-2x となります。-1≦3-x<2 を解くと 1<x≦4 です。s=-1に対応する (4,-2) は含み、s=2に対応する (1,4) は含みません。逆に 1<x≦4 なら s=3-x は -1≦s<2 で、yも2sに戻ります。端の一方を白丸にする理由は、s=2が許されないからです。

2. y=v-2 から v=y+2 なので、x=(y+2)²+1 です。-1≦v≦2 は -3≦y≦0 になります。両端は v=-1で (2,-3)、v=2で (5,0) です。逆に範囲内のyから v=y+2 とすれば元の範囲に入り、xも元の式に戻ります。頂点 (1,-2) はv=0に対応し、範囲内です。

3. Cは x=4cos(5π/6)=-2√3、y=4sin(5π/6)=2 です。したがって C=(-2√3,2) です。距離は √(12+4)=4、符号は第2象限に合います。Dの距離は √(1+3)=2 です。xとyが共に負なので第3象限にあり、cosθ=-1/2、sinθ=-√3/2 から θ=4π/3 です。よって D=(2,4π/3) です。元の変換式に入れると (-1,-√3) に戻ります。

4. 両辺にrをかけて r²=4r sinθ とすると、x²+y²=4y、すなわち x²+(y-2)²=4 です。中心は (0,2)、半径は2です。原点以外の円上の点では r>0 なので、この変形を逆にたどって r=4sinθ に戻せます。原点は r=0、θ=0 で元の式を満たすため含みます。円の最上点 (0,4) も r=4、θ=π/2 とすると元の式に戻ります。

要点を短く

媒介変数を消したら、その範囲も座標の範囲へ移します。 逆に媒介変数を作れるかを確かめ、余分な点を除きます。 極座標は x=r cosθ、y=r sinθ と象限を対応させます。 rで割る前に原点を別に調べます。

どこで止まったかを見分ける

式は合うのに図が長すぎるなら、媒介変数の範囲を座標へ移す行を見直します。端点の白丸と黒丸が曖昧なら、不等号に等号があるかを元の条件と照合します。平方根を取った後に片側の点が消えた場合は、媒介変数の正負を別々に試します。

個別指導で確かめる場面では、解答の直線や曲線から任意の点を選び、元の媒介変数を作れるかを説明してもらいます。極座標で角がずれる場合は、座標の符号と象限を図に書き、原点が関わる場合は割り算の前の式に戻します。点を式へ戻す一手が、表し方を変えても範囲を保つ手がかりです。答えの図と元の条件を往復して、点の漏れや余分を見つけます。