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高校数学C 空間ベクトル—三つの成分から距離と垂直と点の位置を求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学B・C 単元別

三成分の差から距離を計算し、内積による垂直判定と四面体の重心を同じ座標で追っていきましょう。

よくあるのは、定期テスト前の高校生が2点間の距離を求めるとき、高さの成分の差だけを取り出して答えるという場面です。高さが違えば確かにその分は離れていますが、横方向にもずれていれば、2点を直接結んだ長さは別に求めなければなりません。座標の引き算から始め、3方向の差をまとめる手順を確認します。

空間の問題で選びたい入口

空間ベクトルの問題には、まず2点の座標から向きと長さを求める型があります。始点と終点を決め、終点から始点を成分ごとに引きます。距離はその差の大きさです。逆向きのベクトルを作っても大きさは同じですが、他のベクトルと足すときには向きが効いてきます。

次は2本のベクトルの内積から垂直を判定する型です。3組の成分の積を足し、0かどうかを調べます。共通の点から出る2本を選ぶことと、零ベクトルを除くことが判定の前提です。図で直角に見えても、描いた紙の上の角度は空間での角度と一致するとは限りません。

もう1つは、線分を一定の比に分ける点や、四面体の重心の座標を求める型です。位置ベクトルの係数が、それぞれどの点にかかるのかを追います。ここでは座標・距離・内積・内分と四面体の重心に絞り、空間の直線や平面の方程式は扱いません。

3つの差を1本の矢印にする

原点をOとし、点Aの座標を (a, b, c)、点Bの座標を (d, e, f) とします。OからAへ向かう位置ベクトルをOA、AからBへ向かうベクトルをABと表します。以後、OAやABは矢印の向きを持つベクトル、ABの長さは |AB| と書きます。

AからBへの移動は、AからOへ戻り、OからBへ進むことと同じです。そのため AB = OB − OA = (d − a, e − b, f − c) です。各成分はそれぞれの軸方向への移動を表します。最初の成分と最後の成分で引く順序を変えると、別の向きになってしまいます。

図1のように、3方向に分けた移動をつなぐと、始点から終点へ向かう1本の矢印に対応します。図は奥行きを紙面に投影した模式図で、見かけの長さや角度を測るための図ではありません。

図1ではAから水平方向に進み、奥行き方向へ進み、最後に高さ方向へ進んでBに着きます。各軸が互いに垂直なので、移動の3成分を p、q、r とすれば |AB| = √(p² + q² + r²) です。まず水平な2方向の合成の長さの平方が p² + q² となり、そこに高さ方向の平方 r² を足します。成分が負でも平方するので、距離が負になることはありません。

内積は、u = (p, q, r)、v = (s, t, w) に対して u・v = ps + qt + rw です。どちらも零ベクトルでなければ、内積が0であることと2本が垂直であることは同値です。零ベクトルも内積は0になりますが、向きが定まらず角を考えられないため、垂直と判定する根拠にはできません。

線分ABを AP:PB = m:n に内分する点Pは、mとnを正として OP = (n OA + m OB)/(m + n) です。Aにかかる係数がn、Bにかかる係数がmで、比の順と逆になります。PはAからBへ全体の m/(m + n) だけ進んだ点なので、OP = OA + m/(m + n) AB と置けば、係数を思い出せないときにも導けます。

四面体ABCDの重心Gは、4頂点の位置ベクトルの平均です。つまり OG = (OA + OB + OC + OD)/4 となり、座標でも同じ成分どうしを足して4で割ります。例えば三角形BCDの重心をMとすると OM = (OB + OC + OD)/3 で、Gは線分AMを AG:GM = 3:1 に内分します。この関係を代入すれば、4頂点の平均になることも確かめられます。

基本例題：距離と垂直を同じ座標から調べる

点A(1, 1, 1)、B(4, 3, 3)、C(3, -2, 1) があります。距離ABを根号を用いた正確な値で求め、ABとACが垂直かどうか答えてください。長さの単位は設けません。

図2のようにAを共通の始点として2本のベクトルを作ります。立体の見かけの角度に頼らず、点の座標で計算します。

まずABの成分は、Bの各座標からAの対応する座標を引いて、

AB = (4 − 1, 3 − 1, 3 − 1)

= (3, 2, 2)

です。最初の方向へ3、次の方向へ2、高さ方向へ2だけ移動します。したがって、距離は3成分の平方の和の平方根です。

|AB| = √(3² + 2² + 2²)

= √(9 + 4 + 4)

= √17

高さの差だけでは2ですが、残りの方向の移動もあるので、2点を直接結ぶ長さは2ではありません。終点を反対向きに確かめると、BA = (-3, -2, -2) で、その大きさも √17 です。

次に、同じAからCへ向かう成分を作ります。

AC = (3 − 1, -2 − 1, 1 − 1)

= (2, -3, 0)

対応する成分を掛けて足すと、

AB・AC = 3・2 + 2・(-3) + 2・0

= 6 − 6 + 0

= 0

となります。ABとACはどちらも零ベクトルではありません。よって2本は垂直です。答えを元の座標に戻すと、Aに (3, 2, 2) を加えればB、Aに (2, -3, 0) を加えればCに着きます。成分を作る際に始点と終点を取り違えていないことも確認できます。

計算を始める前に、どの点を共通の始点にするか印を付けると、必要な差を選びやすくなります。例えばBを共通の始点にしてBAとBCの内積を求めれば、それはBでの角を調べる計算です。Aでの角を問われているときは、同じ3点を使っていても調べる場所が違います。距離ABなら向きを反転しても長さは変わりませんが、角を判定する際は頂点に合わせて2本を選び直します。

距離と垂直の計算は同じ成分を使いますが、結果の意味は違います。距離では1本の各成分をそれぞれ平方し、内積では2本の対応する成分を掛けます。内積の途中で負の項を勝手に正にすると、垂直を示す相殺が消えてしまいます。

重心と内分が重なるとき

四面体の頂点を A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、C(0, 4, 0)、D(0, 0, 8) とします。辺CDを CP:PD = 1:3 に内分する点Pと、四面体の重心Gの座標を、それぞれ正確な整数または分数で求めてください。また、三角形BCDの重心をMとするとき、Gが線分AMを内分する比 AG:GM を最も簡単な整数比で求めてください。

点PはCからDへ全体の 1/4 進む点です。始点Cに、その移動分を足します。

CD = (0 − 0, 0 − 4, 8 − 0) = (0, -4, 8)

OP = OC + (1/4) CD

= (0, 4, 0) + (0, -1, 2)

= (0, 3, 2)

比の公式で見ると、Cに3、Dに1を掛けて4で割った座標です。逆の係数にするとDに近い点になり、Cから1、Dまで3という条件と合いません。実際に CP = (0, -1, 2)、PD = (0, -3, 6) ですから、PDはCPの3倍で、向きもそろいます。

重心は4頂点の座標を成分ごとに平均して、

G = ((0 + 4 + 0 + 0)/4, (0 + 0 + 4 + 0)/4, (0 + 0 + 0 + 8)/4)

= (1, 1, 2)

です。一方、面BCDの重心は M = (4/3, 4/3, 8/3) です。Aが原点なので AG = (1, 1, 2)、GM = (1/3, 1/3, 2/3) となります。AGはGMの3倍で、同じ向きですから、AG:GM = 3:1 です。4点の平均と、頂点から対面の重心までの内分の両方が一致しました。

ここでの分かれ目は、Pが2頂点の間の点で、Gが4頂点を等しく扱う点だということです。Pには指定された比に応じた重みを使い、Gには4つの重みを同じにします。三角形の重心の3で割る式を四面体にそのまま使うと、頂点が1つ抜けた座標になります。

高さだけで距離を出した答案を直す

図3のように、基本例題でAからBへの移動が (3, 2, 2) なのに「高さの差が2なので距離は2」と答えたとします。これは誤答です。2は高さ方向の差であって、横方向の差も含めたABの長さではありません。

図3では、高さの成分2と、長さを求めるために平方する3つの成分を並べています。図の長さを直接比べるのではなく、式に戻して直します。

|AB| = √(3² + 2² + 2²) = √17

高さの差だけを使えるのは、残りの2成分が両方0のときです。その場合でも高さの差が負なら、距離はその絶対値になります。どの成分が0かを点の座標から確かめてから、計算を省くことができます。

別の誤りは、内積が0という結果だけを見て、零ベクトルと他のベクトルが垂直だと結論することです。例えば始点と終点が同じなら、その移動は (0, 0, 0) です。内積は常に0ですが方向が定まらないので、角度による垂直判定を使えません。まず2本とも零ベクトルでないかを見ます。

内分点でも間違いを戻せます。CP:PD = 1:3 ならPはCに近い点です。公式で作った点がDに近ければ、係数の対応を見直します。座標の式が合っているか迷ったら、CPとPDを求め、同じ向きで長さの比が指定どおりか調べてください。

手を動かす4問

次の各問は互いに独立です。座標と長さは単位を設けず、根号や分数を含む正確な値で答えてください。比は最も簡単な整数比とします。

点E(-1, 2, 0)、F(1, -1, 6) について、EFの成分と距離EFを求めてください。
点H(2, -1, 3)、J(3, 1, 1)、K(6, -3, 3) について、HJとHKの成分を求め、垂直かどうか判定してください。
点L(2, 1, -1)、N(8, 7, 5) を結ぶ線分を LQ:QN = 2:1 に内分する点Qの座標を求めてください。
四面体の頂点を R(1, 1, 1)、S(5, 1, 1)、T(1, 5, 1)、U(1, 1, 5) とします。重心Wの座標と、三角形STUの重心Vに対する RW:WV を求めてください。

答えと戻して確かめる手順

終点Fから始点Eを引くと EF = (1 − (-1), -1 − 2, 6 − 0) = (2, -3, 6) です。距離は √(2² + (-3)² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = 7 です。Eにこの成分を足すとFに戻り、距離の平方も与えられた座標差の平方の和49と一致します。
HJ = (3 − 2, 1 − (-1), 1 − 3) = (1, 2, -2)、HK = (6 − 2, -3 − (-1), 3 − 3) = (4, -2, 0) です。内積は 1・4 + 2・(-2) + (-2)・0 = 0 で、2本とも零ベクトルでないので垂直です。Hにそれぞれの成分を足せばJとKになり、選んだ2本が問題の線分に対応します。
LからNへ全体の 2/3 進むので、LN = (6, 6, 6)、LQ = (4, 4, 4) です。したがって Q = (2, 1, -1) + (4, 4, 4) = (6, 5, 3) です。QN = (2, 2, 2) となり、LQはQNの2倍で同じ向きです。求めた点が線分上にあり、指定の2:1を満たします。
4頂点の各成分を平均すると W = ((1 + 5 + 1 + 1)/4, (1 + 1 + 5 + 1)/4, (1 + 1 + 1 + 5)/4) = (2, 2, 2) です。V = (7/3, 7/3, 7/3) なので RW = (1, 1, 1)、WV = (1/3, 1/3, 1/3) です。2本は同じ向きで前者は後者の3倍となり、RW:WV = 3:1 です。逆にRからVへ 3/4 進むと (2, 2, 2) になり、4頂点の平均に戻ります。