高校数学C ベクトルの演算—向きと大きさを保って和と実数倍を描く｜武蔵野個別指導塾

始点を移した矢印の相等、差の向き、零ベクトルを含む実数倍の条件を、図と式で照合できます。

定期テストの前、ノートに描いた2本の矢印を見て、始点が違うから同じベクトルではないと考える場面があります。矢印の置かれた場所は異なっても、向きと大きさが等しければ同じベクトルを表します。図に点の名前が増えると、どの矢印を動かしてよいか迷うかもしれません。まず同じ矢印を平行に移して比べ、つなぐ順番を確かめましょう。ここでは和、差、実数倍と平行の条件を扱い、成分や内積による計算には立ち入りません。

矢印を見て何を求めるか

出方の1つは、図の中から同じベクトルを探す問題です。長さが等しい線分でも矢印が逆を向いていれば、零ベクトルでない限り同じではありません。辺が平行で長さが等しいかに加え、始点から終点への向きを確認します。

2つ目は、和や差を1本の矢印に直す問題です。和は前の矢印の終点に次の矢印の始点を合わせてたどります。差は引くベクトルを逆向きにしてから足します。式の文字を並べ替える前に、出発点と到着点を図に書くと、向きを取り違えにくくなります。

3つ目は、あるベクトルが別のベクトルの何倍かを調べる問題です。正の数倍なら同じ向き、負の数倍なら反対向きです。平行を判断するときは、基準にするベクトルが零ベクトルでないかも確かめます。この確認を省くと、0倍の式から向きを持たない矢印にまで向きを付けてしまいます。

場所を移しても変わらないもの

点Aから点Bへのベクトルを、ここでは AB の上に矢印を付ける代わりに、→AB と書きます。Aが始点、Bが終点です。→BA は同じ線分を逆に進むので、AとBが異なるとき →BA = -→AB です。大きさは等しく、向きは反対です。

図1の2本の矢印は、右へ同じ距離、上へ同じ距離だけ進みます。始点AとCが離れていても、向きと大きさは等しいので →AB = →CD です。矢印を回したり伸ばしたりせず、平行に移せば重なります。反対に、終点だけが重なっても、始点からそこまでの向きや大きさが違えば相等とはいえません。

同じ点から同じ点へ進む →AA は、大きさが0の零ベクトルで、0⃗ と書きます。→BB も同じ零ベクトルです。零ベクトルには向きを定めません。したがって、図の矢印を消して点だけになった場合に、右向きか左向きかを答えることはできません。

和 →AB + →BC は、AからB、BからCへ続けて進んだ移動なので →AC です。2本が初めからつながっていなくても、長さと向きを変えずに後の矢印を平行移動すれば同様に描けます。和が零になることもあります。たとえば →AB + →BA = →AA = 0⃗ です。和の始点と終点が同じになることを、図でも確かめられます。

差 a⃗ − b⃗ は a⃗ + (-b⃗) と定めます。a⃗ と b⃗ の始点をそろえた図なら、差は b⃗ の終点から a⃗ の終点へ向かう矢印です。逆に描いてしまったら、b⃗ とその矢印を続けた結果が a⃗ に戻るかを調べます。実数倍では、2a⃗ は同じ向きで長さが2倍、-a⃗ は反対向きで同じ長さ、0a⃗ は零ベクトルです。

矢印をつなぐ操作は、順序を確かめるためにも役立ちます。例えば →AB + →BC ではBが共通ですが、→AB + →CB はBとCが共通の接続点になっていません。後者も和としては定義できますが、→CB を向きと大きさを保って移動し、その始点CがBに重なるようにしてから終点を探します。元の図で接していないから足せないと判断する必要はありません。

式から図を描くときは、最初の矢印を任意の場所に置き、その先に次の矢印を置きます。差なら、引く矢印の先端と根元を入れ替えたものを用意します。最後に最初の始点から最後の終点まで1本を描きます。この順を守れば、矢印が途中で交差していても移動の結果を読み取れます。図の見た目だけで足し算と引き算を判断しないことが大切です。

基本例題：平行四辺形の矢印をつなぐ

問題　平行四辺形ABCDの頂点はこの順に並びます。→AB = a⃗、→AD = b⃗ とします。→AC、→DB、→CA をそれぞれ a⃗、b⃗ の和と差を使って表してください。係数は整数で答えてください。

図2のように、Aを出発し、辺に沿ってたどる道を考えます。平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しく、BからCへの向きはAからDへの向きと同じです。よって →BC = →AD = b⃗ です。またDからCへの向きと長さはAからBと等しいため、→DC = a⃗ です。

AからCへBを経由すると、矢印の終点と始点がつながります。

→AC = →AB + →BC

= a⃗ + b⃗

この式の右辺はAからBへ進み、さらにBからCへ進む道です。直接の矢印はAからCを向くため、道の途中にBがあっても結果は →AC です。D経由なら →AD + →DC = b⃗ + a⃗ となり、同じ終点Cに着きます。

次にDからBへは、DからAへ戻ってAからBへ進めます。→DA は →AD と逆向きなので →DA = -b⃗ です。これを順に足します。

→DB = →DA + →AB

= -b⃗ + a⃗

= a⃗ − b⃗

AからDとAからBの始点をそろえて見ても、差 a⃗ − b⃗ はDからBへ向かいます。答えを元に戻して、→AD + →DB = b⃗ + (a⃗ − b⃗) = a⃗ = →AB と確認できます。AからDを経てBに到着するので、式と図の両方で向きが合います。

最後は →AC を逆向きにします。

→CA = -→AC

= -(a⃗ + b⃗)

= -a⃗ − b⃗

CからBへ戻り、さらにBからAへ戻ると、-b⃗ と -a⃗ を続けた道になります。これもCからAへ着き、答えと一致します。差では「どちらの終点からどちらへ」の判定が必要ですが、逆向きの確認では始点と終点をそのまま入れ替えます。2つの操作を混ぜずに書くのがポイントです。

応用例題：負の倍数と零を分ける

問題　0⃗ でないベクトル u⃗ を用いて、v⃗ = 3u⃗、w⃗ = -2u⃗ とします。x⃗ = v⃗ + w⃗、y⃗ = 2v⃗ + 3w⃗、z⃗ = w⃗ − v⃗ を求め、それぞれを u⃗ の整数倍で表してください。また x⃗、y⃗、z⃗ のうち、u⃗ と同じ向き、反対向き、向きを定めないものを分類してください。

まず与えられた式を代入して、同じ u⃗ の係数をまとめます。

x⃗ = v⃗ + w⃗ = 3u⃗ + (-2u⃗) = u⃗

y⃗ = 2v⃗ + 3w⃗ = 2(3u⃗) + 3(-2u⃗) = 6u⃗ − 6u⃗ = 0⃗

z⃗ = w⃗ − v⃗ = -2u⃗ − 3u⃗ = -5u⃗

したがって x⃗ は u⃗ と同じ向き、z⃗ は反対向き、y⃗ は零ベクトルなので向きを定めません。元の条件に戻ると、x⃗ は u⃗ の向きに3つ進んだ後に逆向きに2つ進むため、正向きに1つ残ります。y⃗ は正向きに6つ、逆向きに6つで出発点に戻ります。z⃗ は逆向きに2つ進み、さらに v⃗ の逆向きに3つ進むため、逆向きに5つです。

ここで分かれ目になるのが係数0です。u⃗ が零でなければ、実数 k に対し ku⃗ は k が正なら同じ向き、負なら反対向き、0なら零ベクトルです。k が0でないとき、ku⃗ と u⃗ は平行です。零ベクトルについて「平行」という言い方を含めるかは定義に幅があるので、向きの分類では零と明示し、学校で用いる定義に従ってください。

一般に基準のベクトル u⃗ が零でなければ、ベクトル p⃗ が u⃗ の実数倍で表せることは、p⃗ が零である場合または u⃗ と平行である場合に対応します。基準が零のときは別です。p⃗ = k0⃗ で表せるのは p⃗ = 0⃗ の場合に限られ、どの実数 k でも成り立ちます。向きがあるかどうかと、実数倍の式が成立するかどうかを分けて見ます。

誤答をたどり直す

図3では、AからBへ進む矢印を a⃗、AからDへ進む矢印を b⃗ とします。a⃗ − b⃗ を →BD と答えたとします。2つの終点を結ぶことはできていますが、向きが逆です。図3のように、正しい差はDからBへ向かいます。

原因は、式の左側にある a⃗ の終点から描き始めたことです。差は a⃗ + (-b⃗) ですから、始点をそろえた図では b⃗ の終点Dから a⃗ の終点Bへ進みます。→BD なら →AB + →BD = →AD なので、→BD = b⃗ − a⃗ です。引く順を逆にした式に対応します。

修正するときは、まず b⃗ + →DB = a⃗ と戻せるか確認してください。Dに着いてからBへ進めばAからBへの移動と同じです。→BD のままでは、この接続になりません。文字の符号を直すだけでなく、矢印をどこからどこへ描くかまで直すと、次の問題でも確かめられます。

もう1つの誤りは、長さが同じで平行な矢印を、向きを見ずに等しいとすることです。互いに逆向きなら一方は他方の -1 倍です。始点を重ねるように平行移動し、矢印の先端も重なるかを見ると、相等と逆向きを区別できます。先端が反対側にあれば同じベクトルではありません。

符号の誤りは実数倍でも起こります。例えば、ある矢印の負の2倍を「向きはそのままで長さを2倍」とした場合、長さは合っても向きが違います。まず元の矢印を逆向きにし、それから長さを2倍にすると順序が明確です。0倍では長さが0になり、先端と始点が重なります。負の倍数の図と0倍の図を同じ分類に入れず、向きの有無を別に書いてください。

自分で矢印を動かす練習

答えは整数係数または指定された実数で表してください。図を描く問題は、矢印の始点と終点を文字で答えてください。

1. 三角形PQRで →PQ = p⃗、→PR = q⃗ とします。→QR と →RP を p⃗、q⃗ の整数係数を用いて表してください。
2. 長方形EFGHの頂点はこの順に並びます。→EF = c⃗、→EH = d⃗ とします。→EG と →HF を c⃗、d⃗ の整数係数を用いて表してください。
3. 0⃗ でないベクトル s⃗ に対し、t⃗ = -4s⃗ とします。2s⃗ + t⃗ と 4s⃗ + t⃗ を s⃗ の整数倍または 0⃗ で表し、それぞれの向きを答えてください。
4. 0⃗ でないベクトル m⃗ に対し、n⃗ = (3/2)m⃗、r⃗ = -6m⃗ とします。r⃗ = kn⃗ となる実数 k を求め、整数で答えてください。

練習の答えと道筋

1. QからRへはQからPに戻ってPからRへ進みます。→QP = -p⃗ なので、→QR = →QP + →PR = -p⃗ + q⃗ です。また →RP = -→PR = -q⃗ です。元に戻すと →PQ + →QR = p⃗ + (-p⃗ + q⃗) = q⃗ = →PR で、PからQを経てRに着きます。→PR + →RP = 0⃗ なので、RからPへ戻る向きも合っています。

2. 長方形は平行四辺形なので →FG = d⃗、→HE = -d⃗ です。EからFを通れば →EG = c⃗ + d⃗、HからEを通れば →HF = -d⃗ + c⃗ = c⃗ − d⃗ です。EからHを通ってFへ進むと d⃗ + (c⃗ − d⃗) = c⃗ となり、与えられた →EF に戻ります。EからF、FからGという道も c⃗ + d⃗ に一致します。

3. 代入して 2s⃗ + t⃗ = 2s⃗ − 4s⃗ = -2s⃗ です。s⃗ と反対向きで、大きさは s⃗ の2倍です。また 4s⃗ + t⃗ = 4s⃗ − 4s⃗ = 0⃗ で、向きは定めません。もとの移動に戻せば、正向き2つと逆向き4つで逆向き2つ、正向き4つと逆向き4つで出発点です。

4. r⃗ = kn⃗ に条件を入れると -6m⃗ = k(3/2)m⃗ です。m⃗ は零でないので係数を比較でき、-6 = (3/2)k から k = -4 です。求めた値を戻すと -4n⃗ = -4 × (3/2)m⃗ = -6m⃗ = r⃗ です。負の倍率は、n⃗ と r⃗ が反対向きである図の判断とも一致します。基準となる n⃗ も零ではありません。

手元に残す要点

• 相等は始点の位置でなく、向きと大きさで決まります。
• 和は矢印をつなぎ、差は引く矢印を逆にして足します。
• 同じ始点からの差 a⃗ − b⃗ は、b⃗ の終点から a⃗ の終点へ向かいます。
• 実数倍の符号と、零ベクトルかどうかを分けて見ます。

どこで止まったかを見る

矢印を移すと形が変わると感じるときは、紙に同じ長さと向きの矢印を2本描き、片方を平行に動かして重ねるところから確かめます。差の符号で止まるときは、答えの矢印を引かれた側の終点につなぎ、元の矢印に戻れるかを見ます。式は合うのに図が逆なら、出発点と到着点を声に出して追うと誤りを特定できます。

個別指導で確認する場合も、いきなり公式を暗記したかを尋ねるより、書いた矢印の始点と終点、零になったときの説明、倍率の符号を順に見ます。自分の途中式に図を対応させれば、次に直す場所が見えてきます。矢印の向きと大きさを保つことが、演算の確かな出発点です。