高校数学B 二項分布—反復試行の条件を見て確率と平均を求める｜武蔵野個別指導塾

成功の並び方を数える基本例から、独立でない場合の見分け方まで、回数の確率を二項分布でたどります。

よくあるのは、定期テスト前に成功と失敗の確率をかけたところで手を止め、成功の順番の個数を数え忘れる場面です。例えば成功が2回なら、最初の2回が成功する場合と、間に失敗が入る場合は別の結果です。1通りの確率が正しくても、求める事象に含まれる並びを集めなければ答えは足りません。まず何を1回の試行とし、何を成功と呼ぶかを決めましょう。

要点（結論から）

• 回数が固定され、各回が独立で成功確率が一定かを見る。
• 1通りの確率に、成功位置の組合せの数をかける。
• 範囲の確率は該当する回数を足し、余事象も候補にする。

問題文から選ぶ3つの道

二項分布の問題には、成功回数がちょうどある値になる確率を求める型があります。試行の回数と1回の成功確率を読み、指定された回数の成功がどの位置に入るかを数えます。「ちょうど」は、それ以外の成功回数を含めないという意味です。

次に、少なくとも、または高々という条件を読む型があります。例えば少なくとも1回なら0回の余事象を使えます。高々2回なら0回、1回、2回の確率を足します。端を含むかどうかを整数のリストにしてから計算すると、足し忘れを見つけやすくなります。

もう1つは平均や分散を求める型です。確率を全部並べて計算する方法もありますが、二項分布の条件が成立すれば、試行回数と成功確率から直接求められます。どの型でも、まず試行が独立で、成功確率が毎回同じかを確かめます。条件が欠けるときは、公式をそのまま使えるとは限りません。

成功回数を数えるための条件

1回の試行を成功と失敗の2種類に分け、成功の確率を p、失敗の確率を 1-p とします。ここでの成功は問題を数えるための名前であり、良い結果という意味に限りません。試行を n 回行い、それぞれが独立で、成功確率が毎回 p のとき、成功回数 X は二項分布 B(n, p) に従うといいます。X が取り得る値は 0 から n までの整数です。

図1のように、毎回同じ2つの区分を設け、前の結果が次の確率を変えないことを確認します。図の各枠は1回の試行を表し、数字は試行の順番です。例えば袋から札を取り出して戻し、よく混ぜてから次を取り出す場合は、各回の条件が同じになるモデルを考えられます。戻さない場合は残りの内訳が変わるので、そのまま同じモデルとは判断できません。

図1で各回が独立というのは、それまでに得た結果の組合せがわかっても、次の回の成功確率がpのまま変わらないということです。毎回の成功確率が同じという条件と、独立という条件は別々に確認します。同じ確率に見えても、前の結果と連動する仕組みなら独立とは限りません。また、確率が毎回同じであっても、試行の回数があらかじめ決まっていなければ、ここで使う B(n, p) の形にはそのまま当てはめられません。

X = k となる確率は、0以上n以下の整数 k に対して次の式です。C(n, k) は n 個の位置から k 個を選ぶ組合せの数です。

P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1-p)⁽ⁿ⁻ᵏ⁾

理由を分けると、指定した1つの並びでは成功の確率 p を k 個、失敗の確率 1-p を n-k 個かけます。独立だから、その積がその並びの確率です。成功位置の選び方は C(n, k) 通りあり、各並びは同時に起こらないため、その確率を足します。成功が0回やn回でも並びは1通りで、0乗を1として式に入ります。

平均は E(X) = np、分散は V(X) = np(1-p) です。各回について成功なら1、失敗なら0となる数を考えると、X はそれらの和です。各回の平均は p、分散は p(1-p) であり、独立な回の分散は足せるので、これらの式が得られます。平均は長い反復での中心を表す値で、1回の実験で必ずその回数が出るという意味ではありません。分散は平均からの散らばりを平方で測った値です。

3回のうち2回が成功する確率

基本例題 赤い札が1枚、青い札が2枚入った袋から1枚取り出し、色を見て戻してよく混ぜる操作を3回行います。各回は独立とします。赤い札が出た回数を X とするとき、X が2となる確率、X の平均と分散を、それぞれ正確な分数で求めてください。

1回の赤を成功とすると、p = 1/3、失敗の確率は 2/3 です。戻す操作と独立という条件により、各回の成功確率は一定です。したがって X は B(3, 1/3) に従います。3回中2回が赤になる位置を選ぶ方法は C(3, 2) = 3 通りです。

図2のように、赤を R、青を B と書けば、該当する並びは RRB、RBR、BRR です。いずれも赤2回と青1回なので、1つの並びの確率は (1/3) × (1/3) × (2/3) = 2/27 です。3通りは重ならないため、次のように足します。

P(X = 2) = C(3, 2) × (1/3)² × (2/3)

= 3 × 1/9 × 2/3 = 2/9

平均は E(X) = 3 × 1/3 = 1 = 1/1、分散は V(X) = 3 × 1/3 × 2/3 = 2/3 です。確率も平均も分散も、指定どおり正確な分数で表せます。図2の3行それぞれに赤が2個あることは、成功回数の条件に戻した確認です。

別の確認として、赤が0回、1回、2回、3回の確率は順に 8/27、12/27、6/27、1/27 です。合計は 27/27 = 1 で、平均は (0 × 8 + 1 × 12 + 2 × 6 + 3 × 1)/27 = 1 です。各回で赤が1/3という元の条件とも合います。確率の合計が1になることは計算の点検になりますが、それだけで各項が正しい証明にはなりません。

この例では成功確率が 1/3 なので、3回の平均は1回です。平均が整数だからといって、実際の3回で必ず赤が1回になるわけではありません。赤が0回になる並びも3回になる並びもあり、それぞれ正の確率を持ちます。平均と、ちょうど1回になる確率は違う量として扱います。

また、組合せの数を求めるときは、成功の位置を選ぶのか、失敗の位置を選ぶのかを決めます。3回中2回が赤なら、青の位置を1か所選んでも3通りです。赤の2か所と残った青の1か所は対応しているので、数え方を変えても同じ結果になります。順番のある3回を区別しながら、赤同士を入れ替えて新たな並びとして数えない点にも注意します。

少なくともを反対側から数える

発展例題 各回に独立して的に当たる確率が 1/4 の投球を4回行います。当たった回数を Y とします。少なくとも1回当たる確率と、ちょうど2回当たる確率を、正確な分数で求めてください。

成功を的に当たることとすれば Y は B(4, 1/4) に従います。少なくとも1回は Y = 1、2、3、4 のいずれかです。これらを個別に足しても求まりますが、反対の事象 Y = 0 は1通りの並びです。外れる確率は毎回 3/4 なので、独立性を使って P(Y = 0) = (3/4)⁴ = 81/256 です。

よって P(Y ≧ 1) = 1 − 81/256 = 175/256 です。ちょうど2回の場合は、4回の位置から当たりの2か所を選びます。C(4, 2) = 4 × 3 / (2 × 1) = 6 なので、P(Y = 2) = 6 × (1/4)² × (3/4)² = 54/256 = 27/128 です。

2回の当たりに対して外れも2回あり、合計4回という元の条件に戻ります。少なくとも1回の答えに0回を加えると 175/256 + 81/256 = 1 です。ちょうど2回の事象は少なくとも1回に含まれ、27/128 = 54/256 は 175/256 以下です。分け方と大小の両方から点検できます。

分かれ目は、求める範囲の端です。「少なくとも2回」の反対は0回または1回であって、0回だけではありません。「2回より多い」なら2回を含まず3回と4回です。余事象を使う前に、0から4までの整数のうち、元の条件に入らないものを並べてください。

並びを落とした答えを直す

基本例題で 2/27 と答える誤りを考えます。この数は RRB の確率としては正しいものの、RBR と BRR を含んでいません。原因は、2回成功するという条件を、先頭2回が成功するという特定の順序にすり替えたことです。図3のように、1つの並びの確率と並びの個数を別の欄に書いてからかけます。

図3で3通りをかけるのは、3行が互いに重ならず、各行の確率が等しいからです。もし各回の成功確率が異なれば、成功位置が違う並びの確率は一般に等しくありません。もし前の結果によって次の確率が変われば、一定の p を使った積も成立しません。どちらの場合も問題文に戻って各並びの確率を調べる必要があります。

例えば赤1枚と青2枚の袋から戻さず2枚取る場合、最初が赤なら次に赤が出る確率は0、最初が青なら次に赤が出る確率は1/2です。2回目の赤の確率は前の結果に依存します。この場合を B(2, 1/3) と置くのは誤りです。式に代入する前に、戻すかどうかと独立性を確かめる習慣が、公式の適用ミスを防ぎます。

自分で試す4問

次の各問は互いに別の設定です。確率と平均、分散の答えは指定に従い、近似せずに求めてください。

1. 独立な1回の操作で印が出る確率は 1/2 です。5回行い、印がちょうど3回出る確率を正確な分数で求めてください。
2. 独立な1回の抽選で白が出る確率は 2/5 です。3回行い、白が少なくとも1回出る確率を正確な分数で求めてください。
3. 独立な1回の試行で点灯する確率は 3/4 です。8回行うとき、点灯回数の平均を整数で、分散を正確な分数で求めてください。
4. 黄2枚、緑3枚の札から1枚を戻さずに2回取ります。黄の回数について B(2, 2/5) をそのまま使えるか答え、黄が2回出る確率を正確な分数で求めてください。

解答と確かめ

1. 成功位置を5か所から3か所選ぶと C(5, 3) = 10 通りです。各並びは (1/2)³ × (1/2)² = 1/32 なので、確率は 10/32 = 5/16 です。選んだ3か所以外は2か所で、合計5回という条件に戻ります。残りの2か所を選んでも C(5, 2) = 10 となり、同じ個数です。

2. 白が0回の確率は (3/5)³ = 27/125 です。求める確率は 1 − 27/125 = 98/125 です。白が0回の結果と、1回以上の結果は重ならず、合計すると 125/125 になります。3回とも白以外という元の条件が余事象に対応しています。

3. 点灯回数は B(8, 3/4) に従うので、平均は 8 × 3/4 = 6、分散は 8 × 3/4 × 1/4 = 3/2 です。8回それぞれの点灯を1、消灯を0とすると、各回の平均 3/4 を8個足して6となり、元の回数と確率に戻せます。分散では消灯の確率 1/4 も必要です。

4. 使えません。1回目が黄なら残りは黄1枚、緑3枚なので、2回目の黄の確率は 1/4 に変わります。黄が2回出る確率は 2/5 × 1/4 = 1/10 です。最初に黄を取った後に残る4枚のうち黄は1枚という元の札の内訳に戻して確認します。独立な場合の (2/5)² とは異なります。

練習4では、最初に緑を取った場合に2回目が黄である確率は 2/4 です。最初が黄の場合の 1/4 と違うため、前の結果によって条件が変わることが具体的に見えます。札を戻す設定に変われば、各回の内訳は黄2枚、緑3枚に戻りますが、試行の独立性も設定から確認してから二項分布を用います。

計算後は、確率が0以上1以下かも確かめます。この範囲内でも誤答はあり得るため、並びの数と各回の条件の点検も欠かせません。平均と分散は確率そのものではないので、同じ範囲に収まるとは限りません。

要点を手元に

• 回数が固定され、各回が独立で成功確率が一定かを見る。
• 1通りの確率に、成功位置の組合せの数をかける。
• 範囲の確率は該当する回数を足し、余事象も候補にする。
• 平均は np、分散は np(1-p) です。

止まった行から確かめる

式が書き始められないときは、問題文の操作を1回分だけ丸で囲み、成功と失敗が何かを言葉にします。次に、取り出したものを戻すか、前の結果が次に影響するか、回数が固定されているかを確認します。独立性が条件にない場合は、同じ確率に見えるという理由だけで決めず、仕組みから判断します。

積は書けたのに答えが小さいときは、成功位置を実際に並べ、数えた行と組合せの数を照合します。個別指導で確かめるなら、どの行で成功と失敗を置いたか、1通りの確率に何通りをかけたかを説明してもらうと、条件の読み違いと計算ミスを区別できます。並びの意味に戻れば、二項分布の式の各部分がつながります。