高校数学II 三次式の展開と因数分解—公式の形を見抜き符号をそろえて式を整理する｜武蔵野個別指導塾

三乗の中央の係数と立方の和・差の符号を、途中式と誤答から読み直し、三次式を積の形へ整理します。

よくあるのは、三乗を展開するとき、両端の項は書けたのに中央の係数を落としてしまう場面です。(x + 2)³ を x³ + 2³ としてしまうと、途中で生まれる項が消えてしまいます。かっこを3個の積として見直せば、どの項が何回現れるかを追えます。ここでは三乗の展開と立方の和・差の因数分解を扱い、二項定理には進みません。

テストで見たい式の姿

定期テストでは、まず (x − 3)³ のような式を展開し、同じ次数の項を整理する型があります。符号を含めた後ろの項をひとまとまりと見れば、引き算も足し算の公式に入れられます。途中でマイナスを置き忘れないことが、答えまでの道筋を安定させます。

次に、x³ − 8 のように立方の差を見つけ、積の形に直す型があります。8 を 2³ と見直してから公式に当てはめます。また、共通因数を先にくくる式や、文字式全体を1つのまとまりと見る式もあります。公式を探す前に、各項の共通因数と項数を点検すると選びやすくなります。

展開と因数分解は向きが逆です。展開は積を和や差にし、因数分解は和や差を積にします。答えの形を取り違えないよう、問題文の指示に丸を付けてから作業を始めましょう。展開の答えにかっこが残っていれば整理し、因数分解なら共通因数を含めて積になったかを確認します。

3個のかっこから中央の項を数える

a と b を文字や数のまとまりとして、三乗の公式は次のように表せます。

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

右辺の各項は、3個のかっこからそれぞれ a または b を選んで掛けた結果です。図1のように、a を2個、b を1個選ぶ方法は3通りあります。b の選ばれる位置が左・中央・右のいずれかだからです。a を1個、b を2個選ぶ方法も同じく3通りなので、中央の2項の係数はどちらも3です。

図1の3つの積は、いずれも同じ a²b に整理できます。両端の a³ と b³ はそれぞれ1通りです。3という係数は、文字を掛け合わせた回数ではなく、同じ項が現れる通り数から生まれます。

差の三乗は、足し算の公式で b の場所に -b を入れたものです。(-b) を1個含む項と3個含む項は負、2個含む項は正です。したがって符号は左から正・負・正・負となります。符号だけを暗記するより、負の因数が何個あるかを数えると迷ったときに戻れます。

立方の和と差には、次の因数分解の公式があります。

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

最初のかっこは元の和・差と同じ符号、次のかっこの中央は反対の符号です。最後の b² はどちらも正です。例えば和の右辺を分配すると、a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ となり、中央の項が消えて a³ + b³ に戻ります。差の場合も同様に掛ければ a³ − b³ に戻るので、この形を使う根拠になります。

基本例題：負の項を含めて三乗する

次の式を展開し、各項の係数を整数で表してください。

(x − 2)³

最初に、x と -2 をそれぞれ1つの項と見ます。図2のように、二乗してから残りのかっこを掛けると、同じ項が重なる場所を見失いにくくなります。

まず2個のかっこを掛けます。

(x − 2)² = x² − 2x − 2x + 4

= x² − 4x + 4

ここで終えると二乗です。もう1個の (x − 2) を掛けて三乗にします。

(x − 2)³ = (x² − 4x + 4)(x − 2)

= x³ − 2x² − 4x² + 8x + 4x − 8

= x³ − 6x² + 12x − 8

図2の2段目から3段目では、x² と -2、-4x と x から生まれた2つの二次の項を合わせています。一次の項も 8x と 4x を合わせます。項の次数が違うものは足し合わせられません。

公式に当てはめても、a = x、b = 2 として x³ − 3・x²・2 + 3・x・2² − 2³ です。各積を計算すれば同じ答えになります。2² を4にする前に係数3を落としやすいため、3と2²を別々に書いてから掛けると確かめやすくなります。

検算では元のかっこに戻して考えます。例えば x = 1 なら元の式は (-1)³ = -1、展開後も 1 − 6 + 12 − 8 = -1 です。この一致は計算ミスを探す手がかりですが、1つの値で一致したことは恒等式の証明にはなりません。上の分配法則による計算が、任意の x に対する根拠です。

少し難しい例題：共通因数を先に取り出す

次の式を整数係数の範囲で因数分解してください。

2x³ − 54y³

2つの項には共通して2があります。まずこれをくくり、残った式の形を見ます。

2x³ − 54y³ = 2(x³ − 27y³)

= 2{x³ − (3y)³}

ここで a = x、b = 3y と見ると、かっこの中は立方の差です。差の公式を使うと、次のようになります。

2{x³ − (3y)³} = 2(x − 3y){x² + x・3y + (3y)²}

= 2(x − 3y)(x² + 3xy + 9y²)

中央の項には 3xy、最後の項には 9y² が現れます。最後の項を 3y² としないよう、3y 全体を二乗します。共通因数を取り出した後に立方を見つけることが、この例の分かれ目です。元の 54y³ を直接立方と決めつける必要はありません。

積を戻して確かめると、(x − 3y)(x² + 3xy + 9y²) は x³ + 3x²y + 9xy² − 3x²y − 9xy² − 27y³ です。中央の項が消え、外の2を掛ければ元の 2x³ − 54y³ に戻ります。これは任意の x、y に対する分配法則の確認です。例えば x = 4、y = 1 でも元の式は 74、答えは 2・1・37 = 74 です。

因数分解を終えたら、残る二次式も点検します。x² + 3xy + 9y² を x の式として見た判別式は 9y² − 36y² = -27y² です。y が0でないとき実数の範囲でも一次式の積には分かれません。y = 0 では x² になりますが、元の文字式として整数係数で共通の因数をさらに分けることはできません。

誤答を戻して修正する

次の誤答を考えます。

(x + 2)³ = x³ + 8

両端の x³ と 2³ は合っていますが、混ざった項が抜けています。図3のように3個のかっこから x と2を選ぶと、x²を含む積と x を含む積も生まれます。たとえば x = 1 とすると元の式は27、誤答は9ですから、この式が恒等的には成り立たないことがわかります。

図3の中央にある項は、公式の 3a²b と 3ab² に対応します。正しくは次の通りです。

(x + 2)³ = x³ + 3・x²・2 + 3・x・2² + 2³

= x³ + 6x² + 12x + 8

別の間違いとして、x³ − 8 を (x − 2)(x² − 2x + 4) とすることがあります。最初のかっこにつられて中央も負にした誤りです。この積では中央の項が消えません。差の公式の中央は正なので、正しくは (x − 2)(x² + 2x + 4) です。掛け戻して余分な項が残らないかを見れば、記憶が曖昧でも修正できます。

形を選ぶための小さな点検

式を見たとき、項が2つだから必ず立方の和や差だと判断するのは早すぎます。各項が何の三乗かを実際に書き、引き算なら差の公式に入れられるかを確かめます。たとえば文字に付いた指数が3でも、数の係数や他の文字の指数を含めて立方になっているとは限りません。共通因数をくくると立方の形が見えることもありますから、先に各項の共通部分を探します。

一方、4項ある式が三乗の展開形に見えるときは、両端がそれぞれ何の三乗かを調べた後、中央の係数と符号を照合します。両端が合うだけでは三乗とは限りません。中央が予想と違う場合は、強引に公式に当てはめず、問題の式に書かれた係数へ戻ります。共通因数でくくれる場合や、別の組に分けて整理できる場合もあるためです。

公式の文字 a、b はそれぞれ単独の文字に限らず、数を掛けた文字やかっこ全体にも置き換えられます。ただし、置き換えた後に二乗や三乗を計算するときは、そのまとまり全体に指数を適用します。係数だけ、あるいは文字だけを累乗することはできません。いったん丸かっこを残して書けば、どこまでを二乗するかが明確です。

計算の途中で答えが合わなかったときにも、確認の順序があります。最初に元の式を正しく写したかを調べ、次にどの公式を選んだか、続いて符号と係数を順に点検します。最後の計算だけを何度もやり直しても、最初の符号の写し間違いは残ります。逆に、公式を正しく選べているなら、途中の積を一つずつ計算し直すと誤りを絞れます。

掛け戻しは、因数分解の答えが元の式と等しいかを確認する方法です。各項を省略せずに掛けると、消える項と残る項が見えます。ただし、掛け戻して一致することと、それ以上因数分解できないことは別の確認です。問題が整数係数での因数分解を求めるなら、共通因数や残った二次式も調べてから答えを終えます。

三乗の展開で代入検算を行う場合、たまたま誤差が現れない値もあります。例えば文字に0を入れると、文字を含む項は消えるため、中央の項を落とした誤りに気づけない場合があります。0以外の値でも一致するだけでは証明にはならず、分配法則に基づく途中式が必要です。検算は誤りの発見に使い、式変形の理由は別に示します。

練習問題

次の問いでは、展開の係数を整数で表し、因数分解は整数係数の範囲で行ってください。先に4問を解き、その後で答えと比べましょう。

1. (x + 3)³ を展開してください。
2. (2x − 1)³ を展開してください。
3. 8x³ + 125 を因数分解してください。
4. 3a³ − 192b³ を因数分解してください。

答えと解き方

1. (x + 3)³ = x³ + 3・x²・3 + 3・x・3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27 です。中央の2項は、それぞれ x を2個選ぶ場合と1個選ぶ場合に対応します。x = 1 を戻すと元の式は64、答えも 1 + 9 + 27 + 27 = 64 です。

2. 2x を1つのまとまりとして、(2x − 1)³ = (2x)³ − 3(2x)²・1 + 3(2x)・1² − 1³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1 です。二次の項では (2x)² = 4x² に3を掛けます。x = 2 なら元の式は27、答えも 64 − 48 + 12 − 1 = 27 です。

3. 8x³ + 125 = (2x)³ + 5³ です。和の公式から (2x + 5){(2x)² − 2x・5 + 5²} = (2x + 5)(4x² − 10x + 25) となります。x = 1 なら元の式は133、積も 7・19 = 133 です。中央を負にして掛け戻すと、一次と二次の項が消えます。

4. まず 3a³ − 192b³ = 3(a³ − 64b³) = 3{a³ − (4b)³} とします。差の公式から 3(a − 4b)(a² + 4ab + 16b²) です。a = 5、b = 1 なら元の式は 375 − 192 = 183、積も 3・1・61 = 183 です。共通因数3を最後まで残し、4b 全体を二乗します。

練習3の二次式は判別式が -300、練習4の二次式は a について判別式が -48b² です。したがってそれぞれ整数係数の文字式として、さらに一次式に分けられません。練習1と2も公式の各項を掛けた後に同類項を整理しており、代入の一致だけに頼らない計算です。

要点を手元に残す

三乗の中央の係数はどちらも3です。 差の三乗では負の因数の個数で符号を決めます。 立方の和・差は、後のかっこの中央が逆符号です。 共通因数を先に探し、答えを掛け戻します。

どこで止まったかを見分ける

中央の係数を書けないときは、公式を再暗記する前に3個のかっこから選ぶ位置を指で追ってみてください。係数は書けるのに数値が違うなら、(3y)² のように係数を含むまとまりを二乗できているかを調べます。因数分解で符号を迷う場合は、2つのかっこを実際に掛け、消えるはずの項が残る場所を探します。

個別指導で確認するなら、答えを見せる前に「この3はどこから来たか」「差の公式の中央をなぜ正にしたか」を、自分の言葉と途中式で説明できるかを見ると、つまずいた段階を特定できます。式の形を選ぶ判断と、選んだ後の計算を分けて点検すれば、次の問題でも修正箇所を探せます。中央の項を数える視点が、三乗の式を読む手がかりです。