高校数学A 重複順列—繰り返し使える選択を桁ごとに分けて数え上げる｜武蔵野個別指導塾

先頭に0を置けない3桁の整数と記号列を比べ、数字を再使用するときの候補数を位ごとに整理していきます。

よくあるのは、定期テスト前に数字の並べ方を練習していて、同じ数字を何回使ってもよいのに、2桁目の候補を1つ減らしてしまう場面です。最初に使った数字を消すかどうかは、計算を始める前に問題文から決めます。同じ数字が続く並びも、条件に合えば1通りとして数えます。

何を1通りと見るか

重複順列の問題では、位置ごとに何を置けるかを調べ、その選択を順に組み合わせます。たとえば記号を左から順に並べるとき、左がA、右がBの列と、左がB、右がAの列は、位置ごとの記号が異なるので別の列です。一方、同じ位置に同じ記号が並んだものを、選んだ順番の説明だけ変えて2回数えることはありません。

出方の1つは、同じ候補を繰り返し使える記号列です。各位置で選べる候補が同じなら、その個数を位置の数だけ掛けます。もう1つは、数字を使った整数です。整数の桁数を指定された場合、先頭の0は桁として数えられません。先頭と残りの位置を分けて考えます。

さらに、ある位置に置ける数字を限定したり、少なくとも1回使う数字を指定したりする問題もあります。選択肢をただ掛ける前に、前の選択によって後の候補数が変化するかを調べます。ここでは繰り返し選べる場合を扱い、あらかじめ用意された同じものを並べ替える問題には立ち入りません。

戻して選ぶと、候補は減らない

異なる n 種類の記号から1つずつ選び、横に r 個並べることを考えます。同じ記号を何回でも使えるなら、どの位置にも n 種類の候補があります。位置の順序を区別するので、選び方の総数は n を r 個掛けた数です。これが重複順列の基本です。n と r は正の整数とします。

たとえば図1のように、A、B、Cを使う2文字の列なら、左にAを置いても右にAを置けます。AA、AB、ACが左をAにした3通りです。左がBの場合とCの場合にも、それぞれ右の候補は3通りあります。左の選択で3つに分けた各場合に右の3通りがあるため、3 × 3 = 9通りです。

図1では枝ごとに右側の候補が同じです。左がAの枝と左がBの枝は最初の文字が違うので重ならず、左の候補はA、B、Cのいずれかです。このため、数え漏れも二重の数え上げもありません。たとえばABとBAは異なり、AAも許されます。

玉を1個取り、色を記録してから元に戻す操作も同じ考え方で数えられます。戻すことで、次の選択でも使える色が減らないからです。ただし、色が同じ玉を色だけで記録するなら、区別する対象は玉の個体ではなく色の列です。何を記録し、どの違いを別とするかを最初に確認します。

また、文字列の「012」と3桁の整数とは区別します。3文字の記号列なら、先頭の0も1文字として認められます。一方、012は整数としては12であり、3桁の整数ではありません。問題文が列を求めているのか、桁数の決まった整数を求めているのかで、先頭の候補を決めます。

基本例題：番号を作る

0、1、2、3の4種類の数字を使い、同じ数字を何回使ってもよいものとします。3桁の正の整数は何個作れますか。答えは整数で求めてください。

まず、求めるものは3桁の整数です。百の位に0を置くと3桁にならないため、百の位の候補は1、2、3の3種類です。使える数字が4種類あることと、先頭に置ける数字が4種類あることは同じではありません。

次に十の位を考えます。百の位に置いた数字も再び使えるので、0、1、2、3の4種類です。たとえば百の位が2でも、十の位に2を置いてかまいません。一の位にも同じ4種類が使えます。十の位の数字を一の位にもう一度置くことも認められます。

図2のように、位ごとに候補数を並べます。百の位の候補を1つ選んだ後、十の位は常に4通り、さらにそのどの場合にも一の位は4通りです。したがって積を使えます。

3 × 4 × 4

= 12 × 4

= 48

答えは48個です。百の位が1、2、3のどれかで分類すると、それぞれの下2桁は00から33までのうち、各位が0、1、2、3の数字である16通りです。よって16 + 16 + 16 = 48個とも確かめられます。

この分類は元の条件に戻る確認にもなります。百の位が1、2、3なら必ず3桁であり、残りの位にも指定された数字しか使っていません。逆に、条件を満たす整数は百の位にある数字によって3つの分類のどれかに入り、同時に2つには入りません。111や202も、数字の再使用が許されているので含みます。

もし同じ数字を使えない条件に変われば、百の位を選んだ後の十の位の候補は3種類になります。問題の条件を変えた計算を元の問題に混ぜないことが重要です。また、もし3文字の列なら、先頭にも0を使えるので4 × 4 × 4 = 64通りです。先頭が0の16通りを除くと、整数の48個に戻ります。

少し難しい例題：指定の数字を含める

1、2、3、4の4種類の数字を繰り返し使って、4桁の正の整数を作ります。このうち、数字1を少なくとも1回使うものは何個ですか。答えは整数で求めてください。

まず、1を使う回数を決めずに、作れる4桁の整数を数えます。0が候補にないため、どの位も4種類から選べます。繰り返しも許されるので、全体は4 × 4 × 4 × 4 = 256個です。

次に、求める条件の反対を考えます。「少なくとも1回使う」の反対は「1を一度も使わない」です。「1を2回以上使う」ではありません。1を使わない場合、各位の候補は2、3、4の3種類になります。したがって、1を使わない整数は3 × 3 × 3 × 3 = 81個です。

全体から1を使わない整数を除くと、求める個数は256 − 81 = 175個です。各整数は1を使うか、使わないかのどちらか一方に入り、両方には入りません。除いた残りが、1を少なくとも1回使う整数と一致します。

この答えを回数別にも確かめます。1をちょうど1回使うとき、1の位置は4通り、残り3か所はそれぞれ3通りなので4 × 3 × 3 × 3 = 108個です。ちょうど2回なら位置の組は6通りで、残りの2か所はそれぞれ3通りなので6 × 3 × 3 = 54個です。ちょうど3回なら1でない位置が4通り、その数字が3通りで12個、4回なら1111の1個です。108 + 54 + 12 + 1 = 175個となり、引き算と一致します。

回数別に数えるときは、1の位置を選んだ後、残りの位に1を置かないよう注意します。残りにも1を許すと、ちょうど1回という分類に1112などが入り、複数の分類で重複します。少なくとも1回なら、まず全体から1回も使わない場合を引けないか検討すると整理しやすくなります。

誤答から候補の変化を点検する

基本例題で「3 × 3 × 2 = 18個」と答える誤りを考えます。百の位に数字を置くたび、使った数字を候補から取り除いた計算です。しかし、問題文は同じ数字を何回使ってもよいとしています。たとえば111は条件を満たすのに、この計算では数えられません。

図3のように、百の位に1を選んだ後も、十の位には0、1、2、3の4種類があります。修正するときは、まず「百の位は0以外の3種類」と書き、次に「十の位と一の位は各4種類」と書きます。これらを掛けた3 × 4 × 4が、条件に沿った式です。

別の誤りは、4 × 4 × 4 = 64個とすることです。この式は先頭の0を認める3文字の列を数えています。たとえば012は列としては作れますが、3桁の整数ではありません。64から先頭が0の4 × 4 = 16通りを引けば48個になり、先頭を3種類として直接数えた結果と合います。

さらに、「1を少なくとも1回」の条件で、1の位置を4通り、他を各4通りとして4 × 4 × 4 × 4とする方法にも注意します。1112は1の位置として最初の3か所のどれを選んでも作られ、繰り返し数えられます。1の回数を固定するか、1を使わない場合を全体から除いて直します。

条件を変えたときの見直し

同じ数字を使えることと、すべての位に同じ数字を使わなければならないことは違います。使えるという条件は、前に選んだ数字を再び候補に残すという意味です。たとえば基本例題の123も111も認められます。後者だけに絞ると、異なる数字を混ぜた整数を数え落とします。

反対に、同じ数字を続けて使えないという条件が付けば、前の位置の数字を次の候補から除きます。ただし、その後の位置では、直前でなければ以前の数字を再び使える場合があります。条件が「どこでも重複不可」なのか「隣り合う位置だけ重複不可」なのかを読み分けます。どちらの場合も、最初の位置から具体例を作り、各段階で残る候補の数を調べると式の意味を説明できます。

また、位置によって候補数が違っても、前の選択にかかわらずそれぞれの候補数が一定なら積を使えます。例えば、表紙を3種類、用紙を2種類から独立に選んで冊子を作るなら、表紙の選択によらず用紙は2種類から選べるので、3 × 2と数えます。条件の文章を読んだら、位ごとに候補を並べる手順に戻ってください。

練習問題

いずれも答えは整数で求めてください。同じ記号や数字は、各問で何回でも使えるものとします。問題を先に解き、位置ごとの候補を書いてから答えを見てください。

1. 赤、青の2色を使って左から5か所のマスを1色ずつ塗ります。位置を区別するとき、色の並びは何通りですか。
2. 0、2、4、6、8の数字を使って2桁の正の整数を作ります。何個作れますか。
3. A、B、Cの3種類の文字を使って4文字の列を作ります。少なくとも1回Cを使う列は何通りですか。
4. 1、3、5、7、9の数字を使って3桁の整数を作ります。百の位が1または3で、一の位が5または7であるものは何個ですか。

練習の答えと確かめ

1. 各マスに赤と青の2通りがあり、前に使った色も次に使えます。2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32通りです。5か所の色のどこかが違えば別の並びで、5か所とも指定どおりの色なので、求める並びを過不足なく数えています。全部赤の並びも含みます。

2. 十の位には0を使えないので2、4、6、8の4通りです。一の位には0を含む5通りがあります。4 × 5 = 20個です。たとえば22と20のどちらも条件に合います。十の位が0の列は2桁の整数にならず、4通りの十の位には入れていません。

3. 制限のない列は3 × 3 × 3 × 3 = 81通りです。Cを使わない列は各位置がAかBなので2 × 2 × 2 × 2 = 16通りです。81 − 16 = 65通りです。残った列はCを1回以上含み、4文字とも指定された文字です。CCCCもその中に入ります。

4. 百の位は2通り、十の位は5通り、一の位は2通りです。2 × 5 × 2 = 20個です。たとえば135は百の位が1、一の位が5なので含まれ、555は百の位が条件に合わず含まれません。各位の選択を戻して読めば、数えた整数が指定を満たすことを確かめられます。

覚えておくこと

• 繰り返し使えるなら、使った候補を消しません。
• 位置ごとの候補数が前の選択に左右されないとき、それらを掛けます。
• 桁数の決まった整数では、先頭に0を置けません。
• 少なくとも1回の反対は、一度も使わないことです。

どこで迷ったかを見つける

式の2番目の数が小さくなっていたら、その位置で使えないと判断した数字を具体的に尋ねます。前の位置と同じ数字をもう一度置いた列を1つ書き、問題文がそれを認めるか確かめてください。候補を減らす理由がなければ、同じ個数に戻します。

先頭の扱いに迷う場合は、0から始まる並びを実際に読み、文字列としての長さと整数としての桁数を比べます。個別指導では、図の各枠に候補を書いてもらい、なぜその数を掛けられるのかを本人の言葉で説明してもらいます。引き算を使う場合には、除くものと残るものをそれぞれ1例ずつ挙げ、境目を確認します。例えば「少なくとも1回」と「ちょうど1回」では、2回以上現れる列の扱いが違います。具体例を分類した後に式へ戻ると、どの条件を使ったかを追えます。位置と条件を対応させれば、数える対象が見えてきます。