高校受験の小論文で折れ線の傾きだけを比べたら—横軸の間隔を確かめる練習｜武蔵野個別指導塾

観測の間隔が2か月と4か月の表を使い、増加量から月あたりの変化を求めて比べるには横軸の間隔を押さえます。

折れ線の2区間を比べるときは、両端の値の差と、両端の時点の間隔を一組にして見ます。差が同じでも、その差が生じるまでの期間が違えば、1か月あたりの平均の変化は同じとは限りません。下書きの「同じ速さ」に線を引き、元の表に戻って、差を期間で割った値と単位を確かめます。

よくあるのは、長さの違う期間の増加量を同じ速さと書いた中3の場面です。折れ線の点の間を目で追い、どちらも同じ数だけ上がっていることに気づきました。そこで横軸の数字を見直す前に「増える速さは同じ」と書いてしまいます。増加量を正しく読めていても、期間を比べていなければ速さの結論は出せません。

同じ増加量の下にある期間

次は、掲示物を閲覧した回数についての自作練習です。実在の集計ではありません。各時点の値は、その時点で記録した閲覧回数を表します。各区間の増加量と、区間の長さを使うための条件として読んでください。

0か月から2か月までは18から10を引いて8回増えています。2か月から6か月までも26から18を引いて8回増えています。この2つの差だけを見た「どちらも8回増加した」は表に合います。一方、「どちらも同じ速さで増加した」は、期間を取り落とした文です。

図1のように、前の区間は2か月、後の区間は4か月です。前は8回を2か月で割って1か月あたり平均4回、後は8回を4か月で割って1か月あたり平均2回です。平均の変化を比べると、前の区間の方が大きくなります。

図1のように増加量と期間を別の行に置くと、「8回」という共通点と、期間の違いを同時に見られます。8回という差は正しいので、下書きを全部消す必要はありません。「同じ速さ」を消し、「増加量は同じだが、1か月あたりの平均増加量は前の区間が大きい」と直せます。値を添えるなら、どの区間の値なのかも書きます。

ここでいう平均は、区間全体の変化を同じ長さの月に割り当てた値です。各月に実際に4回ずつ、あるいは2回ずつ増えたという記録ではありません。途中の観測値がない以上、月ごとの増え方は表から決まりません。折れ線で両端を結んでいても、途中の実際の記録が示されているとは限らないため、区間の平均という言葉を残します。

横軸に観測点が並んでいると、隣り合う点どうしを同じ長さの期間だと考えやすくなります。数字を読めば2と4の違いに気づけますが、点の並び順だけでは違いを計算に入れられません。表から描いた図なら元の表と時点を照合し、目盛りの位置が時間の長さに対応しているかも見ます。図の描き方によって見た目の傾きが比較しにくい場合でも、表の値と時点があれば平均の変化を計算できます。

両端を拾って同じ単位にする

図2のように、作業は時点、値の差、期間、割り算の順に進めます。先に文を直そうとすると、何を何で割ったかが抜けやすくなります。まず区間を示す両端の時点を書き、次にそれぞれの値を対応させます。

図2のように順を追えば、後の区間では「2か月の18回」と「6か月の26回」が一組だと確かめられます。時点の差は6から2を引いて4か月、値の差は26から18を引いて8回です。8割る4で、1か月あたり平均2回増加したと書けます。時点の数字そのものの6で割ると、観測を始めた時点からの長さを使ってしまい、対象の区間とは合いません。

前の区間も同じ手順にそろえます。0か月の10回と2か月の18回を拾い、時点の差を2か月、値の差を8回とします。8割る2で、1か月あたり平均4回増加です。両方を同じ単位にして初めて、4回と2回を比べられます。「前は8回、後は1か月あたり2回」のように、片方が区間全体、片方が月あたりの数のままでは比較が成立しません。

引き算の順番もそろえます。後の値から前の値を引けば、増えた区間では正の数、減った区間では負の数になります。期間は後の時点から前の時点を引き、正の長さとして扱います。答えに「増加」や「減少」を添えるときは、計算の符号と文の向きが合っているか見直しましょう。値の小さい方から大きい方を無条件に引くと、実際には減っている区間でも増えたように書いてしまいます。

資料の単位が月ではなく日や年なら、その単位を計算の途中に残します。比較したい2区間の期間が同じ単位で示されていなければ、同じ単位に直してから割ります。ただし、換算に必要な条件が示されていないときは、都合のよい日数を勝手に決めません。答えには「何あたり」「何が」「平均でどれだけ変化したか」を書き、単なる数だけを置かないようにします。

時間が足りない練習では、計算を始める前に両区間の端点と期間に印を付けておきます。割り算まで到達しなければ、わかった差と期間を正確に書き、速さの大小を推測で補わずに終えます。計算を途中で間違えたと気づいたら、文章の形を整える前に端点の組へ戻ります。直した計算結果が文中の区間名に対応していることまで確認すると、数字を正しても主語を逆に残す失敗を防げます。

減少する区間でも向きを残す

別の自作練習として、工作に使う紙の残り枚数を考えます。0日には40枚、3日には28枚、5日には20枚でした。実在の作業記録ではなく、期間あたりの変化を練習するための条件です。0日から3日までは12枚減り、3日から5日までは8枚減っています。区間全体の減少量は異なります。

図3のように、前の3日間は12枚を3日で割って1日あたり平均4枚の減少です。後の2日間も8枚を2日で割って1日あたり平均4枚の減少です。減少量が異なることと、1日あたりの平均減少量が同じことは両立します。

図3のように、期間をそろえてから見ると「後の方が8枚しか減っていないので、減る速さが小さい」という下書きを直せます。「前の区間は3日で12枚、後の区間は2日で8枚減り、1日あたりの平均減少量はともに4枚」と書けば、差と期間の両方が残ります。途中の各日に同じ枚数を使ったとまでは書けません。

符号を使う場合、前の変化は28から40を引いてマイナス12枚、後は20から28を引いてマイナス8枚です。各期間で割ると、いずれも1日あたりマイナス4枚です。「マイナス4枚減少」と書くと向きを二重に表して読み手を迷わせるので、「4枚減少」か「変化量はマイナス4枚」のどちらかにそろえます。増加の表から減少の表へ移ったときは、値の差だけでなく、その差を説明する動詞にも戻ります。

もし途中の時点の枚数が欠けていたら、その時点を端とする区間の差は求められません。前後の値を結んだ線から途中の値を読み取れそうでも、その線が実測を表すという条件がなければ、欠けた値として採用しません。欠けていない両端を使う長い区間の平均なら計算できますが、それを短い各区間の平均と同じだとは言えません。求められる範囲を区間名で明示します。

時点の片方が不明な場合も、変化量を期間で割れません。値の差だけなら両端の値から求められることがありますが、「1日あたり」は空欄にします。負の期間になった場合は、時点を拾う順が逆になっていないか確認します。元の表の数字自体が読めない、あるいは表と図の時点が食い違う場合は、先に資料の読み取りを保留し、どちらかを推測して計算しません。

手元で試す別の観測表

次の表は、花壇の苗の高さを測るために作った練習条件です。実在の植物の成長を示すものではありません。高さはそれぞれの時点で測った値とします。

問いは、1週から4週までと、4週から6週までの1週あたりの平均の変化を比べることです。「両区間とも6cm増えたので、平均の増加量は同じ」と書いた答案を、表の値を残して直してください。途中の週の高さは示されていません。

答えは、前の区間では3週間に6cm増えたので1週あたり平均2cm、後の区間では2週間に6cm増えたので1週あたり平均3cmです。区間全体の増加量は同じですが、1週あたりの平均増加量は後の区間の方が大きいと書きます。前の期間は4から1を引いて求めます。時点の4をそのまま期間として使わないことが要点です。

両方を6cmのまま比べて同じと答えた人は、最初の「同じ増加量の下にある期間」の表へ戻り、増加量と期間を別々に書き出してください。前の期間を4週として割った人は、「両端を拾って同じ単位にする」に戻り、始点と終点の差に印を付けます。後の区間を先の区間と取り違えた人は、答えの数字より先に、各値の横に時点を書き直します。

「毎週必ず2cm、後には毎週必ず3cm伸びた」と答えた場合は、平均の意味に戻ります。表には区間の端の高さしかないので、各週の変化は決まりません。反対に、平均値を計算せず「成長の仕方はまったく不明」とするのも広すぎます。各週の内訳は不明でも、端の差を期間で割った平均の変化は求められます。何が計算でき、どこから先が不明かを分けて書いてください。

答え合わせでは、割り算の結果に単位を付けた後、元の表に戻って逆算する方法も使えます。前の平均2cmに3週間を掛けると6cm、後の平均3cmに2週間を掛けても6cmです。逆算が元の差と合わなければ、期間か割り算を点検します。逆算が合っても区間を逆に書いた可能性は残るため、最後に時点との対応を確かめます。

比較文を提出前に点検する

計算結果を文に移すときは、数だけを先に並べず、それぞれの区間名を付けます。前後という言葉は表を見ながらなら通じても、文章から表が離れると指す範囲が曖昧になることがあります。始点と終点を書けば、比較の相手が読み手にも伝わります。単位と平均という限定も、結論の文に残します。

折れ線が急に見えるかどうかも、描画の条件を確かめるきっかけにはなります。しかし、目盛りが等間隔で時間の長さを表しているか不明な図では、線の角度だけを根拠にしません。時点と数値を拾い直し、共通の期間あたりの値を求めます。見た目で立てた予想と計算が異なったら、まず端点の読み取り、次に期間の引き算、最後に割り算を順に調べます。

計算に使う道具が途中で動かなくなった場合は、書き残した差と期間から筆算で続けられます。結果が割り切れない場合は、必要な精度が示されていればその条件で丸め、示されていなければ分数などで正確な値を残します。丸めた値が同じでも元の値が異なることがあるため、大小は丸める前の値で確かめます。道具の表示だけを答えに写さず、どの区間の何を割ったかを見直します。

練習の途中で表に矛盾を見つけた場合も、都合のよい方を選んで埋めません。たとえば同じ時点に異なる値が記され、どちらを使うか条件から決められないなら、その区間の計算を保留します。資料を作った人に確認できる練習なら元の値を確かめてから再開し、確認できない問題では判断に必要な値が定まらないと記します。数字がそろった区間については、その範囲を明示して計算できます。

下書きと表を並べて持ち寄る

個別指導の場では、お子さまが書いた比較の一文と、練習に使った表や図を並べると、どこで期間が抜けたかを追えます。計算の途中も残してあれば、値の差を間違えたのか、時点をそのまま割る数にしたのかを区別できます。完成した文章だけでなく、線を引いた箇所や迷った端点も材料になります。

まず本人が、比べた2区間を表の上で指します。次に講師とそれぞれの期間と変化量を書き、同じ単位あたりに直した結果を下書きへ戻します。表が手元にない場合は、記憶で数を補わず、資料をそろえてから再開します。保護者が家庭で見直すときも、答えを先に伝える代わりに、両端の時点を示してもらうと、どこで読み違えたかを共有できます。

折れ線の2点を見つけたら、その下の時点まで目を下ろします。増えた量とそこにかかった期間がそろうと、下書きの「同じ速さ」を根拠のある比較へ直せます。