都立推薦の小論文で割合の合計がずれたら—丸めた数から言い過ぎない確認方法｜武蔵野個別指導塾

人数の合計が36人で揃う表では、33.3を三つ足した99.9を欠けた人とは書かない端数の丸めです。

都立の推薦に向けた小論文で、丸めた割合を足して100にならなかったとき、その場で集計の誤りと決めることはできません。扱うのは、一人が一つの項目を選び、空欄がなく、項目に漏れも重なりもない練習用の表で、凡例に端数の処理が書いてある場合です。見るものは、元の人数を足した値、表に書いてある分母、端数の処理の三つです。人数の合計が分母と揃い、表示の差が端数の残りで説明できるなら、欠けた人とは書きません。

よくあるのは、休日に割合を足して、合計が合わないと気づく場面です。机には練習用の表と、書きかけの答案が並びます。お子さまは合計の99.9を見て赤ペンを置き、余白に「人が欠けている」と書きます。となりで見ている保護者にも、100にならない表は壊れているように見えます。たとえばこのあとで使う数は、実在の調査でも、実在の学校の記録でもありません。端数の確認のために作った数です。

数を文にする言い方や、読み取った文と意見の境目の一般は、別の特集の資料の小論文に任せ、ここでは繰り返しません。この文章が点検するのは、丸めた割合の合計のずれを、集計の誤りと決めてしまう失敗です。分母の違う割合から人数の大小を決めること、単位の桁を落とすこと、空欄をゼロと読むこと、縦軸の途中を棒の高さだけで比べることは、それぞれ別の点検です。

99.9の下書きは、どこで人の不足と書いたか

たとえば、休日の練習用の表は、文化祭の係の希望です。回答者は36人です。一人が一つの係を選び、空欄はありません。係は案内、展示、飲食の三つで、どれにも入らない人はおらず、二つの係を選んだ人もいません。単位は、人数が人、割合がパーセントです。凡例は次のとおりです。割合は、その係を選んだ人数を回答者数で割り、100を掛け、小数第2位を四捨五入して、小数第1位までにした値です。分母は回答者数の36人です。

人数は、案内12人、展示12人、飲食12人です。12に12を足すと24、24に12を足すと36です。人数の合計は分母の36人と揃います。割合は三つとも同じ計算です。12を36で割ると0.333…で、100を掛けると33.333…です。小数第1位は3、小数第2位も3です。3は5未満なので、四捨五入では小数第1位の3をそのまま残します。表示は33.3です。33.3に33.3を足すと66.6、66.6に33.3を足すと99.9です。表示の合計は99.9で、100との差は0.1です。

誤った下書きは、この0.1を見た瞬間に理由を一つに決めていました。「99.9なので、0.1人分がどこかで欠けている。集計の誤りだ。この表からは何も書けない。」人数の列は、合計を出す前に見ていません。凡例の四捨五入も、答案には残っていません。赤ペンの一文が、表の点検より先に結論になっています。

この下書きは、単位を取り違えています。0.1はパーセントの差であって、人数そのものではありません。0.1パーセントを36人へ戻すには、0.1を100で割って36を掛けます。結果は0.036人です。1人には遠く及びません。0.036人を1人に繰り上げて書くことは、端数の処理ではなく、表に無い人数を足すことになります。

差の0.1は、表示を本当の値より小さくした分と一致します。本当の割合は100を3で割った値で、33.333…です。表示の33.3との差は30分の1です。案内、展示、飲食の三つに同じ差があるので、30分の1を三つ寄せると10分の1、つまり0.1です。99.9にこの0.1を戻すと100になります。人数の列が36人で揃っていることと、この0.1が三つに分かれていたことは、同じ事実を別の側から見ています。四捨五入でも、小数第2位が5未満なら表示は本当の値より小さくなります。99.9は、切り捨てと書いた表でなくても起きます。

図1のように、上の段の12人は右端で36人一致になり、下の段の33.3は右端で99.9と即断に分かれます。上の段を飛ばして下の段から読むと、即断の枠が結論になります。

図1のように、緑の枠は人数が分母と揃う側、赤の枠は表示の99.9から集計の誤りと書いた側です。赤の枠の言葉は、表から計算した結果ではなく、合計が100でないことだけを理由にした決まりです。答案に残してよいのは、12人が三つ、合計36人、表示は33.3が三つ、合計99.9、というところまでです。0.1の理由は、次の順で戻してから書きます。

人数、分母、端数の規則へ戻る順

点検は、目に入った99.9から始めません。99.9が先に来ると、その数を誤りのしるしにする説明が、人数の照合より先に続きやすくなります。人数が36人で揃っている事実は、結論を守る側に回され、結論を疑うためには使われません。順を人数からにすると、人の過不足が先に決まり、割合のずれは端数の候補として残ります。

最初の手順は、人数を項目ごとに足すことです。案内12、展示12、飲食12を、割合の列を隠して足します。12に12を足して24、24に12を足して36です。割合の99.9が見えていると、足し算の途中で「もう足りない」と止めやすくなります。紙の上では、割合の列を別の紙で覆ってから人数を足すと、表示の合計に引っ張られません。

次の手順は、足した人数を分母と照合することです。この表の分母は、凡例に書いた回答者数の36人です。36と36は揃います。揃ったので、この表については人が欠けているとは書けません。分母の定義が表に書いてあるときだけ、その定義を写して比べます。在籍者数や出席者数へ、自分で差し替えることはしません。定義の語が表に無ければ、分母は空欄のまま残し、揃ったとも違ったとも書きません。

三番目の手順は、端数の規則を凡例から写すことです。この表は、小数第2位を見て、小数第1位までに四捨五入します。5以上は切り上げ、5未満はそのままにします。33.333…の小数第2位は3なので、33.3になります。規則の文が「およそ」や「約」だけなら、どの桁で止めたのかがわかりません。その場合は、合計のずれを端数の残りとはまだ書けません。書けるのは、表示されている数を足した結果までです。

四番目の手順は、元の人数から割合を計算し直すことです。12を36で割り、100を掛け、今写した規則で止めます。結果は33.3で、表の表示と揃います。三つとも揃うのは、人数が三つとも12人だからです。人数が項目ごとに違えば、項目ごとに別々に計算します。表示と計算が一つでも違えば、その項目の割合は、端数の話へ進む前に計算の誤りとして分けます。

四つが済んでから、丸めた表示だけを足して100と比べます。99.9と100の差は0.1です。小数第1位までの四捨五入では、一つの割合の表示と本当の値との差は0.05を超えません。項目が三つで、一人が一つ、空欄がなく、漏れも重なりもないとき、本当の割合の合計は100です。表示を足した値と100との差は、0.15を超えません。0.1はこの範囲の内側です。内側であっても、それだけで端数と決めるのではありません。人数の合計が分母と揃い、計算し直した値が表示と揃い、小さくした分や上げた分を寄せると差と一致する、という三つが揃ったときに、端数の残りと書きます。

図2のように、手順は人数を足す、分母と照合する、端数の規則を見る、再計算する、の順です。矢印は左から右へ進み、分母と照合した下に36人一致、再計算の下に差は端数、と分かれます。

図2のように、下の二つの枠は手順の途中結果です。36人一致が先に出て、差は端数が後に出ます。この順を逆にして、差は端数を最初の枠に置くと、また99.9から結論が始まります。答案に写すときも、文の順をこの矢印に合わせます。最初の文で人数と分母、次の文で規則と表示、最後の文で0.1の扱いです。

規則が違うと、同じずれでも結論が変わる

同じ人数でも、凡例の一語で表示の合計は変わります。たとえば別の練習用の表で、掲示の担当を扉、窓、廊下の三つに分けたとします。回答者は18人です。一人が一つを選び、空欄はなく、漏れも重なりもありません。人数は扉5人、窓7人、廊下6人です。5に7を足すと12、12に6を足すと18で、分母と揃います。

5を18で割って100を掛けると27.777…です。小数第1位は7、小数第2位は7です。四捨五入なら27.8、小数第2位以下を捨てて小数第1位で止めるなら27.7です。7を18で割って100を掛けると38.888…で、四捨五入なら38.9、切り捨てなら38.8です。6を18で割って100を掛けると33.333…で、小数第2位は3なので、四捨五入でも切り捨てでも33.3です。

四捨五入の表示を足すと、27.8に38.9を足して66.7、66.7に33.3を足して100.0です。切り捨ての表示を足すと、27.7に38.8を足して66.5、66.5に33.3を足して99.8です。同じ18人でも、切り捨ての表は99.8になります。99.8と100の差は0.2です。この0.2は、切り捨てで捨てた分の合計です。27.777…から27.7まで、38.888…から38.8まで、33.333…から33.3までを寄せると0.2になり、99.8に戻すと100になります。人数は1人も欠けていません。99.8を見て、人が二人分欠けている、とは書けません。

ここでいう切り捨ては、小数第2位以下を捨てて小数第1位で止める、という意味です。四捨五入の「5未満はそのまま」と見た目が似ていても、5以上の桁を上げない点が違います。答案には、どちらの語を使ったかを凡例の言葉のまま書きます。「丸めた」の一語にまとめると、99.8と100.0のどちらが表に出るかを隠せます。先に述べた0.15は、四捨五入のときだけ使います。切り捨ての差0.2は0.15の外に見えますが、規則が違うので、この上限では判定しません。

次は、人数の記録に不足がある練習例です。回答者は20人で、朝、昼、夜のうち各自が一つを選びました。選択肢はこの三つで、重複回答も無回答もない設定です。ただし人数欄に転記された値は、朝9人、昼6人、夜4人となっています。9に6を足すと15、15に4を足すと19です。分母の20人より1人少ないです。割合は、9を20で割って100を掛けると45.0、6なら30.0、4なら20.0です。45.0に30.0を足すと75.0、75.0に20.0を足すと95.0です。100との差は5.0です。不足の1人は20人の5パーセントにあたり、差の5.0と一致します。項目が三つの四捨五入で説明できる差は0.15までなので、5.0は端数では説明できません。この表に限って、人数の記録が1人分足りない、と書いてよいです。99.9の表の文を、こちらへ写してはいけません。

もう一つ、人数は揃っているのに割合の表示だけが計算と違う表です。分母は20人、項目は昇降口、教室前、図書前です。人数は9人、6人、5人で、9に6を足すと15、15に5を足すと20です。分母と揃います。計算し直すと45.0、30.0、25.0で、合計は100.0です。下書きの表示が45.8、30.4、20.1だったとすると、45.8に30.4を足して76.2、76.2に20.1を足して96.3です。100との差は3.7です。3.7は0.15の外です。それでも人数は欠けていません。誤っているのは割合の計算で、直す場所は人数の列ではありません。集計の誤りの一語で人数欄を疑い始めると、合っている20人を壊します。

図3のように、左は差0.1で上限の内、右は差3.7で上限の外です。上限0.15は、項目が三つのときの四捨五入の話です。左の99.9は、人数が揃い計算も表示と揃うときの端数です。右の96.3は、同じ上限では説明できない差です。図の右が、人が欠けているという意味にはなりません。外に出た差は、端数ではない、というところまでしか図は言いません。人が欠けているかどうかは、人数の合計と分母の照合で別に決めます。

図3のように、上限の内側だからといって端数と書くわけではなく、外側だからといって人の不足と書くわけでもありません。内側の0.1には、36人一致と、30分の1を三つ寄せた一致が要ります。外側の3.7には、計算し直した45.0、30.0、25.0との不一致が要ります。95.0と5.0の表は図には載せず、人数の合計19人と分母20人の差で、本文の計算のとおり照合します。

直した文を、表の外の意見まで照合する

36人の表で、下書きを直すと次のようになります。「係の希望は案内12人、展示12人、飲食12人で、合計は回答者36人と揃う。割合の表示は、小数第2位を四捨五入して、いずれも33.3%である。三つを足すと99.9%になり、100%との差は0.1である。この0.1は、各表示を本当の値より小さくした分を三つ寄せた大きさと一致し、0.036人にしかならない。欠けた人とは書かない。」

照合は、文の数を表へ戻すことです。12、36、33.3、99.9、0.1、0.036が、上の計算と一致するかを見ます。一つでも違えば、その文はまだ直せます。「いずれも」は、三つの人数が同じ12人であるときに使います。人数が違って表示がたまたま同じに見える表へは写しません。

18人の表で切り捨てを選んだときの文は、別の数になります。「扉5人、窓7人、廊下6人で合計18人は、分母と揃う。小数第2位以下を捨てて小数第1位までにすると、表示は27.7、38.8、33.3で、合計は99.8である。差の0.2は捨てた分の合計であり、人数の不足ではない。」27.8や100.0をこの文へ混ぜると、四捨五入の表と切り捨ての表が一つの文の中で入れ替わります。

20人で合計19人の表に書いてよい文は、不足を隠さない文です。「朝9人、昼6人、夜4人で合計19人は、分母20人より1人少ない。表示は45.0、30.0、20.0で合計95.0である。差の5.0は、不足の1人分と一致し、三つの四捨五入では説明できない。」99.9の文にある「欠けた人とは書かない」を、この文の末尾へ足すと、19人と20人の差を打ち消します。

凡例に四捨五入とも切り捨てとも無い表では、差の理由を書きません。書けるのは、表示を足した値と、人数の合計が分母と揃うかどうかまでです。「たぶん端数だろう」は、規則が無い場所へ規則を足しています。規則が足せないなら、答案では差の理由の文を置かず、人数と表示の事実を残します。

読み取った事実の後に意見を置くときは、意見の理由にこの差を使いません。たとえば「案内の人数を増やした方がよい」は、12人が三つに分かれている表からは出ません。表が言えるのは、表示と人数の関係です。意見を書くなら、読み取りの文の後に置き、0.1や99.9をその意見の根拠にしません。数を文にする言い方や、意見の組み立て方の一般は、ここでは広げません。照合するのは、意見の文が端数の差を人の過不足の証拠にしていないか、という一点です。

別の人数で、書いてよい文を自分で出す

ここからの表は、上の説明で使った人数とも割合とも別の練習用です。返却した本の置き場を、42人が一つずつ選んだとします。空欄はなく、上段、中段、下段の三つに漏れも重なりもなく分かれます。単位は人です。割合は、人数を42で割り、100を掛け、小数第2位を四捨五入して、小数第1位までにしたパーセントです。人数は、上段13人、中段13人、下段16人です。

問いは二つです。一つ目は、三つの表示と、その合計は何か、です。二つ目は、合計が100と違うとき、人数が欠けていると書いてよいか、です。書いてよいなら、欠けた人数を答えます。書いてはいけないなら、人数の合計と、端数の寄り方の両方を理由にします。表示になる数は、この問いの前には置いていません。計算してから、次の節で照合します。

その解答と、誤ったときに戻る節

上段は、13を42で割って100を掛けると30.952…です。小数第1位は9、小数第2位は5です。5なので9を繰り上げます。9が10になるので、整数の30が31になり、小数第1位は0です。表示は31.0です。中段も13人なので、同じ31.0です。下段は、16を42で割って100を掛けると38.095…です。小数第1位は0、小数第2位は9です。9は5以上なので、0を1にして38.1になります。31.0に31.0を足すと62.0、62.0に38.1を足すと100.1です。合計は100.1で、100との差は0.1です。

人数は、13に13を足すと26、26に16を足すと42です。分母の42人と揃います。欠けた人はいません。三つの表示は、いずれも本当の値より大きくなっています。31.0と30.952…の差は21分の1、38.1と38.095…の差は210分の1です。21分の1を二つと210分の1を足すと0.1です。一つの表示の差は0.05を超えていません。項目は三つなので、合計の差は0.15を超えません。0.1はその内側です。したがって、人数が欠けているとは書きません。書ける文は次です。「上段13人、中段13人、下段16人で合計42人は分母と揃う。表示は31.0、31.0、38.1で合計100.1である。差の0.1は、四捨五入で上げた分の合計であり、人の過不足ではない。」

30.952…の小数第2位以下を捨てて30.9にし、38.095…を38.0にすると、30.9に30.9を足した61.8へ38.0を足して99.8になります。合計の見た目は、切り捨ての別の表と似ます。こちらの凡例は四捨五入なので、この99.8は採りません。9の繰り上げを忘れて30.9のままにしたときも、同じ節へ戻ります。戻る場所は、規則が違うと結論が変わる節です。5を上げたか、9が10になって整数が繰り上がったかを、30.952…と38.095…の両方で見直します。

合計が100でないことを理由に、人数が欠けていると書いた場合は、人数、分母、端数の規則へ戻る順の節へ戻ります。13と13と16を、割合を隠してからもう一度足します。42と42が揃うなら、不足の人数は無し、と書きます。100.1を人の数へ読み替えません。

机に出す1枚と、赤ペンを止める場所

個別指導の机に出す紙は1枚です。左の列に項目と人数、中央の列に分母、右の列に凡例の端数の処理と、人数から計算し直した割合を書きます。下書きの答案は別紙のままにして、この1枚と突き合わせます。お子さまが赤ペンを持つ前に、保護者は右の列を覆って、左の列の人数を足してもらいます。確かめる一点は、100との差を書く前に、人数の合計が分母と同じかどうかです。同じなら、差の文は端数の計算が終わるまで、欠けた人とは書きません。違うなら、違う人数を先に文へ書き、割合の差がその人数と一致するかを後から見ます。

休日に99.9へ赤ペンが向くとき、先に戻るのは36人という人数の合計です。その合計が分母と揃っているなら、0.1を欠けた人の証拠にして文を終えることはできません。